張瑞祥+花奎

矩陣是線性代數(shù)（高等代數(shù)）的基礎(chǔ)和核心.高中數(shù)學(xué)選修42矩陣與變換，是高中階段新增內(nèi)容之一，也是江蘇新課標(biāo)高考中理科附加卷中必做題.“矩陣與變換”這一選修專題，以二維矩陣為載體，目的是讓同學(xué)們初步了解矩陣的“運(yùn)算”規(guī)律，理解二維空間中的變換可以用矩陣表示，可以從幾何變換的角度來學(xué)習(xí)矩陣.這將為我們以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作鋪墊.問題是高考對此內(nèi)容有何要求？會考什么？怎么考？這是同學(xué)們迫切想知道的.在此，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)與近幾年的高考談?wù)劸仃嚺c變換，供同學(xué)們在復(fù)習(xí)迎考時參考.

一、細(xì)說考點(diǎn)

選修42是通過平面圖形的變換討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念，并以變換和映射的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，以變換為主線貫穿于整個教材，要求通過圖形變換理解并掌握初等變換，理解矩陣對向量的作用.考試的重點(diǎn)是初等變換與矩陣的乘法、矩陣的特征值和特征向量.具體要求如下：1.了解以映射和變換的觀點(diǎn)認(rèn)識矩陣與向量乘法的意義，如求一個二階矩陣與一列向量相乘的結(jié)果；理解矩陣可表示如下常見的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影，如一個矩陣將已知圖形（或方程表示的圖形）變成了什么圖形，并指出表示什么變換？2.了解矩陣與矩陣的乘法的意義，會通過具體的幾何圖形變換說明矩陣乘法，如求兩個二階矩陣相乘的結(jié)果，并指出表示什么樣的復(fù)合變換.3.理解逆矩陣的意義；會用二階行列式求逆矩陣.4.會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組，會用二階行列式解方程組.5.會求二階矩陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實(shí)數(shù)的情形），會用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡單的表示.

二、典例解析

1.二階矩陣的運(yùn)算

例1（2013年江蘇卷）已知矩陣A=-10

02，B=12

06，求矩陣A-1B.

解析一：設(shè)矩陣A的逆矩陣為ab

cd，則-10

02ab

cd=10

01，即-a-b

2c2d=10

01，故a=-1，b=0，c=0，d=12.

∴矩陣A的逆矩陣為A-1=-10

012，

∴A-1B=-10

01212

06=-1-2

03.

解析二：因為A=-10

02，所以A-1=-10

012（依據(jù)逆矩陣公式），

∴A-1B=-10

01212

06=-1-2

03.

評注：本題要求A-1B，應(yīng)先求A-1，再借助二階矩陣乘法運(yùn)算法則求得.其中求一矩陣的逆矩陣可以根據(jù)A-1A=10

01，利用待定系數(shù)法（如解析一）；也可以直接運(yùn)用逆矩陣公式（如解析二）.

例2（2011年江蘇卷）已知矩陣A=11

21，向量β=1

2，求向量α，使得矩陣A2α=β.

解析：A2=11

2111

21=32

43，

設(shè)α=x

y，由A2α=β，得32

43x

y=1

2，從而3x+2y=1

4x+3y=2，

解得x=-1，y=2，所以α=-1

2.

評注：本題先利用二階矩陣乘法運(yùn)算法則求得A2，再設(shè)出α，根據(jù)矩陣與向量乘法的意義，利用待定系數(shù)法，求出α.

2.求特征值和特征向量

例3（2012年江蘇卷[選修42：矩陣與變換]）已知矩陣A的逆矩陣A-1=-1434

12-12，求矩陣A的特征值.

解析：∵A-1A=E，∴A=（A-1）-1.

∵A-1=-1434

12-12，

∴A=（A-1）-1=23

21.

∴矩陣A的特征多項式為f（λ）=λ-2-3

-2λ-1 =λ2-3λ-4.

令f（λ）=0，解得矩陣A的特征值λ1=-1，λ2=4.

評注：由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，利用特征多項式求出矩陣A的特征值，正確地寫出矩陣A特征多項式是解決本題的關(guān)鍵（設(shè)A=ab

cd是一個二階矩陣，λ∈R，則稱行列式f（λ）=λ-a-b

-cλ-d為特征多項式）.

例4已知矩陣M=3-2

-41，求矩陣M的特征值和特征向量.

解析：解特征方程f（λ）=λ2-（3+1）λ+3-（-2）（-4）=0，

解得λ1=-1，λ2=5，

將λ1=-1代入方程組（-1-3）x-（-2）y=0

-（-4）x+（-1-1）y=0，即2x-y=0，取得非零向量1

2，則矩陣M屬于λ1=-1的一個特征向量為1

2，

所以向量2

4也是屬于λ1=-1的一個特征向量，

同理求得矩陣M屬于λ2=5的一個特征向量為1

-1.

評注：本題首先由特征方程求出特征值，再根據(jù)二階矩陣的特征值與特征向量定義，即Mα=λα求得特征向量.要提醒的是當(dāng)向量α是一矩陣的特征向量時，則tα（t≠0）也為矩陣的特征向量.

3.平面變換與矩陣的關(guān)系

例5（2010年江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），設(shè)k≠0，k∈R，M=k0endprint

01，N=01

10，點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1，B1，C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值.

解析：由題設(shè)得MN=k0

0101

10=0k

10.

由0k

100

0=0

0，0k

10-2

0=0

-2，0k

10-2

1=k

-2，

可知A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2），

經(jīng)計算可得△ABC面積是1，而△A1B1C1的面積為|k|，

又因為△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，

所以實(shí)數(shù)k的值為2或-2.

評注：二階矩陣作用在一個向量上可以得到一個新的向量，實(shí)際上它是平面到平面的映射.本題首先求MN，再根據(jù)矩陣與向量乘法法則求出A1，B1，C1的坐標(biāo)即可.主要考查圖形在矩陣對應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)及同學(xué)們的運(yùn)算求解能力.

例6（2008年江蘇卷[選修42：矩陣與變換]）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2+y2=1在矩陣A=20

01對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程.

解析：設(shè)P（x0，y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P（x0，y0）在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x′0，y′0）則有

x′0

y′0=20

01x0

y0，即x′0=2x0

y′0=y0，

所以x0=x′02

y0=y′0，

又因為點(diǎn)P在橢圓上，故4x20+y20=1，從而（x′0）2+（y′0）2=1，

所以，曲線F的方程是x2+y2=1.

評注：通過變換矩陣建立已知曲線上點(diǎn)與所求曲線上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵.矩陣與變換的關(guān)系是什么？一方面幾何變換賦予了矩陣運(yùn)算的一種幾何解釋；另一方面，矩陣又是幾何變換的一種代數(shù)表示，是研究平面圖形變換的基本工具.另外，由本題說明當(dāng)知道“變換矩陣、已知曲線和變換后的曲線”中兩個可以求第三個，即知二求一.

4.矩陣的乘方運(yùn)算

例7已知矩陣A有特征向量i=1

1和j=3

-2，且它們的特征值分別為λ1=6，λ2=1，若向量α=4

-1，求Anα.

解析：設(shè)α=mi+nj，不難解得m=1，n=1，即α=i+j

Anα=An（i+j）=λn1i+λn2j=6n1

1+3

-2=3+6n

-2+6n.

評注：矩陣的平方可以直接進(jìn)行矩陣相乘，更高次的運(yùn)算可運(yùn)用矩陣的特征向量與特征值進(jìn)行計算.研究矩陣對任意非零向量連續(xù)變化結(jié)果的方法，通常是利用矩陣的特征向量與特征值將矩陣的乘方轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的乘方與向量的積，簡化運(yùn)算.

通過上述典型例題的分析可以看出，在“矩陣與變換”復(fù)習(xí)中要重點(diǎn)理解二階方陣對向量的作用，理解矩陣幾何意義即矩陣與常見變換的關(guān)系；能進(jìn)行二階矩陣乘法的運(yùn)算；會求二階矩陣的逆矩陣；會求簡單二階矩陣的特征值和特征向量；會用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡單的表示；知道“變換矩陣、已知曲線和變換后的曲線”中兩個要會求第三個，即知二求一.另外，二階行列式也不要忘記，會用二階行列式解方程組.以上是矩陣與變換的考點(diǎn)透視，望同學(xué)們在復(fù)習(xí)時有的放矢，進(jìn)行針對性訓(xùn)練，提高學(xué)習(xí)的效率，迎戰(zhàn)高考.

嘗試練習(xí)

1.已知矩陣A=12

01，B=01

10，求點(diǎn)P（2，3）在矩陣AB對應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)坐標(biāo).

2.已知可逆矩陣M=12-32

3212，求矩陣M的逆矩陣M-1.

3.若x2y2

-11=xx

y-y，求x+y的值.

4.求函數(shù)f（x）=2cosx

sinx-1的值域.

5.若矩陣A有特征向量i=1

0和j=1

-1，且它們的特征值分別為λ1=2，λ2=-1，求矩陣A.

6.設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A=a0

b1（a>0）對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值.

（2）求A2的逆矩陣.

7.已知直線l：ax+y=1在矩陣A=12

01對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x+by=1.

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）若點(diǎn)P（x0，y0）在直線上，且Ax0

y0=x0

y0，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.已經(jīng)矩陣M=40

05.

（1）求直線4x-10y=1在M作用下的方程；

（2）求M的特征值與特征向量.

參考答案

1.矩陣B對應(yīng)的變換為：以直線y=x為反射軸的反射變換，此變換將點(diǎn)P（2，3）變換為P1（3，2），

矩陣A對應(yīng)的變換為：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按縱坐標(biāo)比例增加，即（x，y）→（x+2y，y）的切變變換，因而將P1（3，2）變換為P2（7，2），

所以點(diǎn)P（2，3）在矩陣AB對應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)坐標(biāo)為（7，2）.

2.∵矩陣M所對應(yīng)的變換為：把坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)π3；endprint

∴它的逆變換為：把坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：設(shè)A=ab

cd，則ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因為P′（x′，y′）在圓x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化簡可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依題意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）設(shè)直線l：ax+y=1上任意一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依題意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又點(diǎn)P（x0，y0）在直線上，所以x0=1，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）.

8.（1）因為M=40

05.設(shè)直線4x-10y=1上任意一點(diǎn)P′（x′，y′）在40

05作用下對應(yīng)點(diǎn)P（x，y），則40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲線的方程為x-2y=1.

（2）矩陣M的特征多項式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值為λ1=4，λ2=5.

當(dāng)λ1=4時，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

當(dāng)λ2=5時，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

1.

（作者：張瑞祥、花奎，江蘇省儀征中學(xué)）endprint

∴它的逆變換為：把坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：設(shè)A=ab

cd，則ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因為P′（x′，y′）在圓x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化簡可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依題意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）設(shè)直線l：ax+y=1上任意一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依題意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又點(diǎn)P（x0，y0）在直線上，所以x0=1，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）.

8.（1）因為M=40

05.設(shè)直線4x-10y=1上任意一點(diǎn)P′（x′，y′）在40

05作用下對應(yīng)點(diǎn)P（x，y），則40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲線的方程為x-2y=1.

（2）矩陣M的特征多項式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值為λ1=4，λ2=5.

當(dāng)λ1=4時，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

當(dāng)λ2=5時，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

1.

（作者：張瑞祥、花奎，江蘇省儀征中學(xué)）endprint

∴它的逆變換為：把坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：設(shè)A=ab

cd，則ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因為P′（x′，y′）在圓x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化簡可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依題意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）設(shè)直線l：ax+y=1上任意一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又點(diǎn)M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依題意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又點(diǎn)P（x0，y0）在直線上，所以x0=1，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）.

8.（1）因為M=40

05.設(shè)直線4x-10y=1上任意一點(diǎn)P′（x′，y′）在40

05作用下對應(yīng)點(diǎn)P（x，y），則40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲線的方程為x-2y=1.

（2）矩陣M的特征多項式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值為λ1=4，λ2=5.

當(dāng)λ1=4時，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

當(dāng)λ2=5時，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

1.

（作者：張瑞祥、花奎，江蘇省儀征中學(xué)）endprint