賈學(xué)如

應(yīng)用題是高考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容，也是同學(xué)們失分較多的一種題型.高考應(yīng)用題既考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，又考查同學(xué)們對(duì)已學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用的情況.所以在平時(shí)學(xué)習(xí)中，我們要注重分析應(yīng)用題解決的辦法，培養(yǎng)解題能力.其實(shí)，解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是深刻理解題意，學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化，找到數(shù)量關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.

應(yīng)用題解題的一般步驟分為四步，即審題、建模、求解、評(píng)價(jià).

審題：審題是解題的基礎(chǔ)，它包括閱讀、理解、分析、綜合等.通過(guò)審題，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，弄清問(wèn)題的變換過(guò)程，找出主要關(guān)系.

建模：在理解題意的基礎(chǔ)上，將題中的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式.

求解：選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)和方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、化歸，使問(wèn)題得到解決.

評(píng)價(jià)：應(yīng)用問(wèn)題既要符合數(shù)學(xué)科學(xué)，又要符合實(shí)際背景，因此，對(duì)解出的結(jié)果要進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估.

近年來(lái)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題模型，主要有以下一些類(lèi)型：函數(shù)模型、三角模型、數(shù)列模型等.本文就這幾種常見(jiàn)模型進(jìn)行剖析，給同學(xué)們以參考.

一、函數(shù)模型

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著的最優(yōu)化問(wèn)題，常?？蓺w結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法去解決.

例1（2012年高考江蘇卷17）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）求炮的最大射程；

（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解.

（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解.

解析：在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0，

由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，

∴x=20k1+k2=201k+k≤10，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵a>0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，

即關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.

由Δ=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6.

∴當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、方程和基本不等式等知識(shí)，考查數(shù)學(xué)閱讀能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

例2（2011年高考江蘇卷17）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)p，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=x（cm）.

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.

分析：（1）包裝盒的側(cè)面積就是四個(gè)全等的矩形的面積之和，其長(zhǎng)（即包裝盒的底面邊長(zhǎng)）為2x，寬（即包裝盒的高）為60-2x2，這樣包裝盒的側(cè)面積S就用x表示出來(lái)了，是關(guān)于x的一元二次函數(shù)（注：要根據(jù)x的實(shí)際意義求出其取值范圍）.

（包裝盒的體積V=a2h=22（-x3+30x2），只需求導(dǎo)就能解決問(wèn)題.

解析：設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長(zhǎng)為a（cm），由已知得

a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0

S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，所以當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值.

（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），

由V′=0得x=0（舍）或x=20.當(dāng)x∈（0，20）時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈（20，30）時(shí)，V′<0.

所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最大值.

此時(shí)ha=12，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為12.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

二、三角函數(shù)模型

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)與我們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐密切相關(guān)，常見(jiàn)問(wèn)題有以下幾種模式：在建筑學(xué)方面的應(yīng)用，在測(cè)量方面的應(yīng)用，在氣象學(xué)中的應(yīng)用，在天文學(xué)方面的應(yīng)用.

例3（2010年高考江蘇卷17）某興趣小組測(cè)量電視塔AH的高度H（單位m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4cm，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；

（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精度，若電視塔實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，α-β最大？

分析：（1）在直角三角形中利用三角函數(shù)的定義，求出H的值.（2）求出α-β的正切值，利用基本不等式解決問(wèn)題.