嚴(yán)曼麗

概率與統(tǒng)計(jì)是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容之一，也是高考的重要問(wèn)題.復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)同學(xué)們要理清概念，明白公式的適用條件，靈活地運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)思想解決實(shí)際問(wèn)題，特別要注意對(duì)平時(shí)訓(xùn)練中出現(xiàn)的易錯(cuò)題多加分析.下面通過(guò)對(duì)本章節(jié)的典型易錯(cuò)知識(shí)與方法加以分析，以提高大家的辨別能力，提高解題速度與正確率.

易錯(cuò)剖析一：抽樣方法含義理解不清致誤

例1學(xué)校附近的一家小型超市為了了解一年的客流量情況，決定用系統(tǒng)抽樣從一年中抽出52天作為樣本實(shí)施調(diào)查（即從每周抽取1天，一年恰好有52個(gè)星期），你覺(jué)得這樣的選擇合適嗎？為什么？

錯(cuò)解：在這種情況下適合采取系統(tǒng)抽樣.

錯(cuò)因分析：這家超市位于學(xué)校附近，其顧客很多為學(xué)生，客流受到學(xué)生作息時(shí)間的影響，如周末時(shí)，客流量會(huì)明顯減少，如果用系統(tǒng)抽樣來(lái)抽取樣本，起始點(diǎn)抽到星期天的話，樣本代表的客流量會(huì)明顯偏低，另外，寒暑假也會(huì)直接影響超市的客流量.

正解：利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣，可以把一周分為7天，一年分52層，每層用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取適當(dāng)?shù)臉颖具M(jìn)行調(diào)查.

易錯(cuò)剖析二：概率與頻率的關(guān)系不清致誤

例2下列說(shuō)法：

①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大?。?/p>

②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的概率為mn；

③頻率是不能脫離n次試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果，而概率是具有確定性的，不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；

④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.

其中正確命題的序號(hào)為.

錯(cuò)解：①④.

錯(cuò)因分析：對(duì)概率和頻率的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，導(dǎo)致誤判.如對(duì)于說(shuō)法②，認(rèn)為事件發(fā)生的頻率就是事件發(fā)生的概率，再如對(duì)事件發(fā)生的概率的確定性認(rèn)識(shí)不清，就可能認(rèn)為說(shuō)法③不正確等.

正解：①③④.

易錯(cuò)剖析三：誤解基本事件的等可能性致誤

例3任意投擲兩枚骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率.

錯(cuò)解：點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，可取3，5，7，9，11共5種可能，點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)可取2，4，6，8，10，12共6種可能，于是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率為55+6=511.

錯(cuò)因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此時(shí)必須保證每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性均等，而上述解法點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)顯然不均等，則不能用等可能性事件的概率模型來(lái)解答.

正解1：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，由數(shù)組（奇、偶）、（偶，奇）組成共有3×3+3×3=18個(gè)不同的結(jié)果，這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，故所求的概率為1836=12.

正解2：若把隨機(jī)事件的全部等可能結(jié)果取為：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的結(jié)果為（奇、偶）、（偶，奇）兩種，故所求概率為24=12.

易錯(cuò)剖析四：幾何概型概念的不清致誤

例4在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C，在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

錯(cuò)解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB內(nèi)作射線CM看作在線段AC′上任取一點(diǎn)M，過(guò)C，M作射線CM，則概率為AC′AB=ACAB=22.

錯(cuò)因分析：上述作法好像很有道理，為什么錯(cuò)誤呢？值得深思.考查此解法是否滿足幾何概型的要求，雖然在線段上任取一點(diǎn)是等可能的，但過(guò)點(diǎn)C和任取的點(diǎn)所作的射線是均勻的，因而不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線，在確立基本事件時(shí)，一定要選擇好觀察角度，注意判斷基本事件的等可能性.

正解：在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=67.5°，故滿足條件的概率為67.5°90°=34.

易錯(cuò)剖析五：互斥與對(duì)立事件相混淆致誤

例5把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是：.（填寫“對(duì)立事件”、“不可能事件”、“互斥但不對(duì)立事件”）

錯(cuò)解：對(duì)立事件.

錯(cuò)因分析：本題的錯(cuò)誤在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，要準(zhǔn)確解答這類問(wèn)題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別：兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；互斥的概念適合多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適合于兩個(gè)事件；兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；兩事件對(duì)立則表示他們有且只有一個(gè)發(fā)生.

正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰好有一個(gè)發(fā)生，也可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)選“互斥但不對(duì)立事件”.

易錯(cuò)剖析六：混淆互斥事件與相互獨(dú)立事件致誤例6一個(gè)通訊小組有A、B兩套通訊設(shè)備，只要有一套設(shè)備正常工作，就能進(jìn)行通訊，A、B設(shè)備各有2個(gè)、3個(gè)部件組成，只要其中有1個(gè)部件出現(xiàn)故障，這套設(shè)備就不能正常工作，如果在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)部件不出現(xiàn)故障的概率都為p，試計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊的概率.

錯(cuò)解：由題意知：在某段時(shí)間內(nèi)A、B兩套通訊設(shè)備能正常工作的概率分別為P（A）=p2，P（B）=p3，則在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊即A、B至少有一個(gè)能正常工作，故在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊的概率為P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.

錯(cuò)因分析：題中A、B兩套通訊設(shè)備能正常工作這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，上面所用的公式是兩個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，互斥與獨(dú)立是不同的兩種關(guān)系，一般沒(méi)有必然聯(lián)系，不能混淆，把互斥結(jié)果套用在獨(dú)立事件中是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)A、B中一個(gè)是必然事件，另一個(gè)是不可能事件時(shí)，A、B既是互斥事件，又是獨(dú)立事件.

正解1（逆向思考）：A、B至少有一個(gè)能正常工作的對(duì)立事件為：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率為1-p2，B不能正常工作的概率為1-p3，則在這段時(shí)間內(nèi)能正常進(jìn)行通訊的概率為1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.

正解2（正向思考）：A、B兩套通訊設(shè)備在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊這一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且這三個(gè)事件彼此互斥.故在這段時(shí)間內(nèi)能正常進(jìn)行通訊的概率為p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.

易錯(cuò)剖析七：忽視公式成立的條件致誤

例710張獎(jiǎng)券中有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，則前3個(gè)購(gòu)買者中，恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為（）

（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3

（C） 310（D） 3A27A13A310

錯(cuò)解：因題中有“恰好有1人中獎(jiǎng)”，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，馬上得到答案（B）.

錯(cuò)因分析：用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，它有三個(gè)前提條件：

（1）每次試驗(yàn)都是在同一條件下重復(fù)進(jìn)行的；

（2）每一次試驗(yàn)都彼此獨(dú)立；

（3）每一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè).

只有這三個(gè)條件均滿足才可使用，而此題中3個(gè)購(gòu)買者去購(gòu)買獎(jiǎng)券時(shí)，由于是不放回抽樣，所以彼此之間不獨(dú)立的，則不能用上述公式解答.

正解：3個(gè)人從10張獎(jiǎng)券中各購(gòu)買1張獎(jiǎng)券出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A310個(gè)，且出現(xiàn)的可能性均等，恰好有1人中獎(jiǎng)出現(xiàn)的結(jié)果為3A27A13，故恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為3A27A13A310，選（D）.

易錯(cuò)剖析八：求概率過(guò)程中把有序還是無(wú)序混為一談致誤例8一個(gè)口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從口袋中取球兩次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次從剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.

錯(cuò)解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只紅球，故取到的2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14，依據(jù)等可能性事件的概率的求法，則取到的2只球中至少有1只白球的概率為A24+A12A14A26=23.

錯(cuò)因分析：這是古典概率常見(jiàn)的模型——摸球模型，有“有序”與“無(wú)序”之分，不能混淆.從上述解法中可知：取球的過(guò)程是有順序的，那么取到1只白球1只紅球這種情況中有第一次取到白球、第二次取到紅球與第一次取到紅球、第二次取到白球兩種不同的情況.

正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14+A14A12，故所求概率為A24+2A12A14A26=1415.

正解2（逆向思考）：所求事件的對(duì)立事件是：取到的2只球都是紅球，故所求概率為1-A22A26=1415.

概率與統(tǒng)計(jì)部分的定義、公式較多，學(xué)習(xí)時(shí)由于抽樣方法混淆、概型錯(cuò)用、互斥事件與獨(dú)立事件混淆等經(jīng)常出錯(cuò)，這都是由于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢造成的.因此，應(yīng)更加注重基本概念、基本公式與基本方法的強(qiáng)化訓(xùn)練，總結(jié)相應(yīng)題型的通性通法并不斷反思，定能取得理想的成績(jī).

（作者：朱振華，江蘇省海門中學(xué)）endprint

正解2（正向思考）：A、B兩套通訊設(shè)備在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊這一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且這三個(gè)事件彼此互斥.故在這段時(shí)間內(nèi)能正常進(jìn)行通訊的概率為p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.

易錯(cuò)剖析七：忽視公式成立的條件致誤

例710張獎(jiǎng)券中有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，則前3個(gè)購(gòu)買者中，恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為（）

（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3

（C） 310（D） 3A27A13A310

錯(cuò)解：因題中有“恰好有1人中獎(jiǎng)”，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，馬上得到答案（B）.

錯(cuò)因分析：用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，它有三個(gè)前提條件：

（1）每次試驗(yàn)都是在同一條件下重復(fù)進(jìn)行的；

（2）每一次試驗(yàn)都彼此獨(dú)立；

（3）每一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè).

只有這三個(gè)條件均滿足才可使用，而此題中3個(gè)購(gòu)買者去購(gòu)買獎(jiǎng)券時(shí)，由于是不放回抽樣，所以彼此之間不獨(dú)立的，則不能用上述公式解答.

正解：3個(gè)人從10張獎(jiǎng)券中各購(gòu)買1張獎(jiǎng)券出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A310個(gè)，且出現(xiàn)的可能性均等，恰好有1人中獎(jiǎng)出現(xiàn)的結(jié)果為3A27A13，故恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為3A27A13A310，選（D）.

易錯(cuò)剖析八：求概率過(guò)程中把有序還是無(wú)序混為一談致誤例8一個(gè)口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從口袋中取球兩次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次從剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.

錯(cuò)解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只紅球，故取到的2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14，依據(jù)等可能性事件的概率的求法，則取到的2只球中至少有1只白球的概率為A24+A12A14A26=23.

錯(cuò)因分析：這是古典概率常見(jiàn)的模型——摸球模型，有“有序”與“無(wú)序”之分，不能混淆.從上述解法中可知：取球的過(guò)程是有順序的，那么取到1只白球1只紅球這種情況中有第一次取到白球、第二次取到紅球與第一次取到紅球、第二次取到白球兩種不同的情況.

正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14+A14A12，故所求概率為A24+2A12A14A26=1415.

正解2（逆向思考）：所求事件的對(duì)立事件是：取到的2只球都是紅球，故所求概率為1-A22A26=1415.

概率與統(tǒng)計(jì)部分的定義、公式較多，學(xué)習(xí)時(shí)由于抽樣方法混淆、概型錯(cuò)用、互斥事件與獨(dú)立事件混淆等經(jīng)常出錯(cuò)，這都是由于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢造成的.因此，應(yīng)更加注重基本概念、基本公式與基本方法的強(qiáng)化訓(xùn)練，總結(jié)相應(yīng)題型的通性通法并不斷反思，定能取得理想的成績(jī).

（作者：朱振華，江蘇省海門中學(xué)）endprint

正解2（正向思考）：A、B兩套通訊設(shè)備在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊這一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且這三個(gè)事件彼此互斥.故在這段時(shí)間內(nèi)能正常進(jìn)行通訊的概率為p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.

易錯(cuò)剖析七：忽視公式成立的條件致誤

例710張獎(jiǎng)券中有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，則前3個(gè)購(gòu)買者中，恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為（）

（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3

（C） 310（D） 3A27A13A310

錯(cuò)解：因題中有“恰好有1人中獎(jiǎng)”，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，馬上得到答案（B）.

錯(cuò)因分析：用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，它有三個(gè)前提條件：

（1）每次試驗(yàn)都是在同一條件下重復(fù)進(jìn)行的；

（2）每一次試驗(yàn)都彼此獨(dú)立；

（3）每一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè).

只有這三個(gè)條件均滿足才可使用，而此題中3個(gè)購(gòu)買者去購(gòu)買獎(jiǎng)券時(shí)，由于是不放回抽樣，所以彼此之間不獨(dú)立的，則不能用上述公式解答.

正解：3個(gè)人從10張獎(jiǎng)券中各購(gòu)買1張獎(jiǎng)券出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A310個(gè)，且出現(xiàn)的可能性均等，恰好有1人中獎(jiǎng)出現(xiàn)的結(jié)果為3A27A13，故恰好有1人中獎(jiǎng)的概率為3A27A13A310，選（D）.

易錯(cuò)剖析八：求概率過(guò)程中把有序還是無(wú)序混為一談致誤例8一個(gè)口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從口袋中取球兩次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次從剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.

錯(cuò)解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只紅球，故取到的2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14，依據(jù)等可能性事件的概率的求法，則取到的2只球中至少有1只白球的概率為A24+A12A14A26=23.

錯(cuò)因分析：這是古典概率常見(jiàn)的模型——摸球模型，有“有序”與“無(wú)序”之分，不能混淆.從上述解法中可知：取球的過(guò)程是有順序的，那么取到1只白球1只紅球這種情況中有第一次取到白球、第二次取到紅球與第一次取到紅球、第二次取到白球兩種不同的情況.

正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A12A14+A14A12，故所求概率為A24+2A12A14A26=1415.

正解2（逆向思考）：所求事件的對(duì)立事件是：取到的2只球都是紅球，故所求概率為1-A22A26=1415.

概率與統(tǒng)計(jì)部分的定義、公式較多，學(xué)習(xí)時(shí)由于抽樣方法混淆、概型錯(cuò)用、互斥事件與獨(dú)立事件混淆等經(jīng)常出錯(cuò)，這都是由于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢造成的.因此，應(yīng)更加注重基本概念、基本公式與基本方法的強(qiáng)化訓(xùn)練，總結(jié)相應(yīng)題型的通性通法并不斷反思，定能取得理想的成績(jī).

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