張濤

在數(shù)學解題中，如果你對哪個知識點沒有掌握，那么在解決相關題目時就會有“巧婦難為無米之炊”的困惑.如果你對數(shù)學解題方法沒有掌握，那么在解題時就猶如“航海沒有了燈塔，旅行迷失了方向”.可見數(shù)學解題方法的重要性，下面就讓我們一起賞析古典概型與幾何概型中的常用方法吧.

一、求和法

如果所求事件較為復雜，我們可以將事件分為幾個彼此互斥的事件分別求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（當事件A與B互斥時，P（A∪B）=P（A）+P（B））

例1某商場舉行抽獎活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0，1，2，3的四個小球的抽獎箱中每次抽出一個小球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎.（1）求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率.

分析：列出取球的所有結(jié)果，中三等獎包括兩個互斥事件，分別求解，然后求和，中獎包括三個互斥事件，分別求解，然后求和.

解析：設“中三等獎”為事件A，“中獎”為事件B.

從四個小球中有放回地取兩個共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16種不同的結(jié)果.

（1）記兩個小球的號碼之和為x，則由題意可知，事件A包括兩個互斥事件：x=4，x=3.

事件x=4的取法有3種：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；

事件x=3的取法有4種：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.

由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.

（2）由題知事件B包括三個互斥事件：中一等獎（x=6），中二等獎（x=5），中三等獎（事件A）.

事件x=5的取法有2種：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；

事件x=6的取法有1種：（3，3），故P（x=6）=116，

由（1）可知，P（A）=716，

由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.

點評：將復雜事件的概率轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的概率進行求解，其關鍵在于確定事件劃分的標準，要保證不重不漏，即依據(jù)此標準劃分后，任意兩個事件不同時發(fā)生，并且這些互斥事件的并集就是所求事件.

二、正難則反法

對于較復雜的古典概型問題，如果直接求解有困難時，可利用正難則反的思維策略，將其轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率求解.此類試題的典型條件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.

例2一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n

分析：利用列舉法求解編號之和大于4的概率，列舉出又放回抽取兩球編號的所有結(jié)果，滿足n

解析：（1）從袋中隨機抽取兩個球，其一切可能結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個.從袋中隨機取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個.

因此所求事件的概率為13.

（2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個.

所有滿足條件n≥m+2的事件為（1，3）（1，4）（2，4），共3個.

所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=316，

故滿足條件n

點評：在數(shù)學解題中，若從正面或順向難以解決，則不妨進行反面或逆向思考，這就是正難則反策略.這種策略提醒我們，從正面解決困難時可考慮反面求解，直接解決困難時可考慮間接解決，順推困難時可考慮逆推.這種思維實際上是逆向思維，體現(xiàn)了思維的靈活.

三、數(shù)形結(jié)合法

根據(jù)已知條件作出大致的幾何圖形.從而確定運用何種測度公式.

例3已知關于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1.

（1）設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；

（2）設點（a，b）是區(qū)域x+y-8≤0

x>0

y>0內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率.

分析：根據(jù)原函數(shù)是增函數(shù)確定a，b的范圍，枚舉基本事件總數(shù)與事件A的個數(shù)，可求第（1）問，作出可行域，計算測度（面積），計算第（2）問.

解析：（1）∵函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1圖象的對稱軸為x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當且僅當a>0且2ba≤1，即2b≤a.

若a=1，則b=-1；若a=2，則b=-1，1；若a=3，則b=-1，1.

∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5，∴所求事件的概率為515=13.

（2）由（1）知當且僅當2b≤a且a>0時，

函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，

依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交點坐標為（163，83）.

∴所求事件的概率為P=12×8×8312×8×8=13.

點評：幾何概型問題難度不大，但需要準確理解題意.解決此類問題首先要確定所求事件中對應的圖形的形狀，該圖形的確定往往取決于元素的個數(shù)，一個元素多與線段的長度或角度相關，兩個元素多與平面圖形的面積相關，三個元素多與幾何體的體積有關，然后確定該事件的度量依據(jù)，最后確定度量方法.

四、構(gòu)造模型法

當一些代數(shù)問題的概率不能直接計算時，可通過建立函數(shù)關系，確定約束條件，構(gòu)造幾何模型來求之.

例4在區(qū)間[0，1]上任取三個實數(shù)x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）構(gòu)造出此隨機事件對應的幾何圖形；

（2）利用該圖形求事件A的概率.

分析：由于事件A對應的結(jié)果是由三維數(shù)構(gòu)成的，所以試驗的所有結(jié)果都是由三維數(shù)構(gòu)成，轉(zhuǎn)化成與體積有關的幾何概型問題.

解析：（1）如圖，由區(qū)間[0，1]上的三個實數(shù)組成的基本事件總體構(gòu)成以1為邊長的正方體，對應的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而隨機事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}對應的幾何圖形為在正方體內(nèi)以O為球心，以1為半徑的球的18部分.

（2）由于x，y，z屬于區(qū)間[0，1]，當x=y=z=1時，為正方體的一個頂點，事件A為球在正方體內(nèi)的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

點評：基本事件的對應結(jié)果用有序?qū)崝?shù)組表示，要注意概率的取值范圍，若數(shù)的取值是離散的，則為古典概型；若數(shù)的取值是連續(xù)的，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意實數(shù)，其構(gòu)成三維空間，轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.構(gòu)造幾何圖形時要注意變量的取值范圍對圖形的限制.在將概率問題進行轉(zhuǎn)化時，要注意表示事件結(jié)果的數(shù)值的個數(shù)，一個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與長度有關的幾何概型，兩個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與面積有關的幾何概型.三個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.endprint

∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5，∴所求事件的概率為515=13.

（2）由（1）知當且僅當2b≤a且a>0時，

函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，

依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交點坐標為（163，83）.

∴所求事件的概率為P=12×8×8312×8×8=13.

點評：幾何概型問題難度不大，但需要準確理解題意.解決此類問題首先要確定所求事件中對應的圖形的形狀，該圖形的確定往往取決于元素的個數(shù)，一個元素多與線段的長度或角度相關，兩個元素多與平面圖形的面積相關，三個元素多與幾何體的體積有關，然后確定該事件的度量依據(jù)，最后確定度量方法.

四、構(gòu)造模型法

當一些代數(shù)問題的概率不能直接計算時，可通過建立函數(shù)關系，確定約束條件，構(gòu)造幾何模型來求之.

例4在區(qū)間[0，1]上任取三個實數(shù)x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）構(gòu)造出此隨機事件對應的幾何圖形；

（2）利用該圖形求事件A的概率.

分析：由于事件A對應的結(jié)果是由三維數(shù)構(gòu)成的，所以試驗的所有結(jié)果都是由三維數(shù)構(gòu)成，轉(zhuǎn)化成與體積有關的幾何概型問題.

解析：（1）如圖，由區(qū)間[0，1]上的三個實數(shù)組成的基本事件總體構(gòu)成以1為邊長的正方體，對應的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而隨機事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}對應的幾何圖形為在正方體內(nèi)以O為球心，以1為半徑的球的18部分.

（2）由于x，y，z屬于區(qū)間[0，1]，當x=y=z=1時，為正方體的一個頂點，事件A為球在正方體內(nèi)的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

點評：基本事件的對應結(jié)果用有序?qū)崝?shù)組表示，要注意概率的取值范圍，若數(shù)的取值是離散的，則為古典概型；若數(shù)的取值是連續(xù)的，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意實數(shù)，其構(gòu)成三維空間，轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.構(gòu)造幾何圖形時要注意變量的取值范圍對圖形的限制.在將概率問題進行轉(zhuǎn)化時，要注意表示事件結(jié)果的數(shù)值的個數(shù)，一個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與長度有關的幾何概型，兩個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與面積有關的幾何概型.三個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.endprint

∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5，∴所求事件的概率為515=13.

（2）由（1）知當且僅當2b≤a且a>0時，

函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，

依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|a+b-8≤0

a>0

b>0}.

構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分，由a+b-8=0

b=a2得交點坐標為（163，83）.

∴所求事件的概率為P=12×8×8312×8×8=13.

點評：幾何概型問題難度不大，但需要準確理解題意.解決此類問題首先要確定所求事件中對應的圖形的形狀，該圖形的確定往往取決于元素的個數(shù)，一個元素多與線段的長度或角度相關，兩個元素多與平面圖形的面積相關，三個元素多與幾何體的體積有關，然后確定該事件的度量依據(jù)，最后確定度量方法.

四、構(gòu)造模型法

當一些代數(shù)問題的概率不能直接計算時，可通過建立函數(shù)關系，確定約束條件，構(gòu)造幾何模型來求之.

例4在區(qū)間[0，1]上任取三個實數(shù)x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.

（1）構(gòu)造出此隨機事件對應的幾何圖形；

（2）利用該圖形求事件A的概率.

分析：由于事件A對應的結(jié)果是由三維數(shù)構(gòu)成的，所以試驗的所有結(jié)果都是由三維數(shù)構(gòu)成，轉(zhuǎn)化成與體積有關的幾何概型問題.

解析：（1）如圖，由區(qū)間[0，1]上的三個實數(shù)組成的基本事件總體構(gòu)成以1為邊長的正方體，對應的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而隨機事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}對應的幾何圖形為在正方體內(nèi)以O為球心，以1為半徑的球的18部分.

（2）由于x，y，z屬于區(qū)間[0，1]，當x=y=z=1時，為正方體的一個頂點，事件A為球在正方體內(nèi)的部分.

∴P（A）=18×43π×1313=π6.

點評：基本事件的對應結(jié)果用有序?qū)崝?shù)組表示，要注意概率的取值范圍，若數(shù)的取值是離散的，則為古典概型；若數(shù)的取值是連續(xù)的，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意實數(shù)，其構(gòu)成三維空間，轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.構(gòu)造幾何圖形時要注意變量的取值范圍對圖形的限制.在將概率問題進行轉(zhuǎn)化時，要注意表示事件結(jié)果的數(shù)值的個數(shù)，一個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與長度有關的幾何概型，兩個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與面積有關的幾何概型.三個數(shù)的轉(zhuǎn)化為與體積有關的幾何概型.endprint