本部分內(nèi)容由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系組成.　直線(xiàn)與圓主要考查位置關(guān)系的判斷，利用位置關(guān)系解決切線(xiàn)方程、公共弦方程及弦長(zhǎng)等有關(guān)直線(xiàn)與圓的問(wèn)題；圓與圓主要考查位置關(guān)系的判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用.

重點(diǎn)：掌握直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，尋求圓的弦長(zhǎng)、切線(xiàn)長(zhǎng)、圓的切線(xiàn)方程等問(wèn)題的最優(yōu)解法.

難點(diǎn)：圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題等.

1.　判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的兩種常見(jiàn)方法

（1）幾何法：①確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑r；②計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離d；③判斷d與圓半徑r的大小關(guān)系：d>r？圯相離，d=r？圯相切，d

（2）代數(shù)法：①把直線(xiàn)方程代入圓的方程；②得到一元二次方程；③求出Δ的值：Δ>0？圯相交；Δ=0？圯相切；Δ<0？圯相離.

2.　計(jì)算直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)的常用方法

（1）幾何法：運(yùn)用由半徑、弦心距和半弦長(zhǎng)所組成的直角三角形求解（有關(guān)位置判斷、弦長(zhǎng)、弦心距等問(wèn)題優(yōu)先利用幾何方法）.

（2）代數(shù)法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式.

3.　解決圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的基本思路

（1）用圓心之間的距離d與兩半徑r1，r2的和或差進(jìn)行大小比較：d>r1+r2？圯相離；d=r1+r2？圯相外切；r1－r2

（2）圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交所得的公共弦方程為（D1－D2）x+（E1－E2）y+（F1－F2）=0.

（2012重慶）對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是（ ）

A．　相離

B．　相切

C．　相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心

D．　相交且直線(xiàn)過(guò)圓心

思索 處理判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，可以用代數(shù)法聯(lián)立方程組，也可以用幾何法比較點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與半徑的大小，我們應(yīng)根據(jù)題目選擇合適的方法.　當(dāng)然，特殊的題目還有更為快捷的方法.

破解 （法一）圓心C（0，0）到直線(xiàn)kx－y+1=0的距離為d=■<■<■=r，且圓心C（0，0）不在該直線(xiàn)上.　故選C.

（法二）直線(xiàn)kx－y+1=0恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），而該點(diǎn)在圓C內(nèi)，且圓心不在該直線(xiàn)上，故選C.

過(guò)點(diǎn)（3，3）作圓x2－2x+y2－3=0的切線(xiàn)，切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.

思索 求過(guò)圓外一點(diǎn)（x0，y0）的圓的切線(xiàn)方程：①幾何方法.設(shè)切線(xiàn)方程為y－y■=k（x－x0），由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，可求得k，切線(xiàn)方程即可求出.?、诖鷶?shù)方法.　設(shè)切線(xiàn)方程為y－y0=k（x－x0），與圓的方程聯(lián)立，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0求得k，切線(xiàn)方程即可求出.　兩種方法都需注意，若只求出了一條切線(xiàn)方程，則還有一條斜率不存在的切線(xiàn).

破解 設(shè)切線(xiàn)的斜率為k，則切線(xiàn)方程為y－3=k（x－3），即y－kx+3k－3=0，圓心到直線(xiàn)的距離d=■=2，得到k=■，所以切線(xiàn)方程為5x－12y+21=0.　當(dāng)k不存在時(shí)，x=3亦為切線(xiàn)方程.所以切線(xiàn)方程為5x－12y+21=0和x=3.

（2012天津）設(shè)m，n∈R，若直線(xiàn)l：mx+ny－1=0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為_(kāi)_____.

思索 本題的突破口仍然是直線(xiàn)與圓相交，利用幾何方法中的特殊三角形得到m，n的關(guān)系式，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出，而△AOB為直角三角形，面積可以用m，n表示，進(jìn)而求解.　注意基本不等式的應(yīng)用.

（2010山東）已知圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)l：y=x－1被該圓截得的弦長(zhǎng)為2■，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

思索 利用幾何方法，由半徑、弦心距和半弦長(zhǎng)所組成的直角三角形求解.

破解 設(shè)圓心為（a，0），則圓心到直線(xiàn)x－y－1=0的距離為d=■.因?yàn)閳A截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)為2■，根據(jù)半弦、半徑、弦心距之間的關(guān)系有■■+2=（a－1）2，即（a－1）2=4，所以a=3或a=－1（舍去），則半徑r=3－1=2，圓心為（3，0）.　所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－3）2+y2=4.

（1）已知直線(xiàn)l：y=x+b與曲線(xiàn)C：y=■有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）若關(guān)于x的不等式■＞x+b的解集為R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

思索 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，畫(huà)出草圖.注意曲線(xiàn)為半個(gè)圓.

破解 （1）如圖1（數(shù)形結(jié)合），方程y=x+b表示斜率為1，在y軸上的截距為b的直線(xiàn)l；方程y=■表示單位圓在x軸上及其上方的半圓.　當(dāng)直線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，與半圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)b=1，直線(xiàn)即為l1；當(dāng)直線(xiàn)與半圓相切時(shí)，b=■，直線(xiàn)即為l2.　直線(xiàn)l要與半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須滿(mǎn)足l在l1與l2之間（包括l1但不包括l2），所以1≤b<■，即所求b的取值范圍是［1，■）.

（2）不等式■＞x+b恒成立，即半圓y=■在直線(xiàn)y=x+b上方，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，0）時(shí)，b=－1，所以所求b的取值范圍是（－∞，－1）.

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y■－8x+15=0，如果直線(xiàn)y=kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，那么k的最大值是_______.

思索 本題考查圓與圓的位置關(guān)系.　圓與圓有公共點(diǎn)，所以位置關(guān)系為相切或相交.　設(shè)出動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)，求出兩圓圓心距離的范圍，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線(xiàn)的距離.

破解 因?yàn)閳AC的方程可化為（x－4）2+y2=1，所以圓C的圓心為（4，0），半徑為1.　由題意，直線(xiàn)y=kx－2上至少存在一點(diǎn)A（x0，kx0－2），以該點(diǎn)為圓心，　1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，所以存在x0∈R，使得AC≤1+1成立，即ACmin≤2.　又因?yàn)锳Cmin即為點(diǎn)C到直線(xiàn)y=kx－2的距離■，所以■≤2，解得0≤k≤■.　所以k的最大值是■.

已知圓O的方程為x2+y2=4，定點(diǎn)A（4，0），求過(guò)點(diǎn)A且和圓O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

思索 利用兩圓相切時(shí)圓心距與兩半徑和或差的關(guān)系，列出關(guān)系式.注意兩種相切的形式.

破解 設(shè)動(dòng)圓的圓心為P（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A，所以PA即為動(dòng)圓半徑.　當(dāng)動(dòng)圓P與圓O外切時(shí)，PO=PA+2；當(dāng)動(dòng)圓P與⊙O內(nèi)切時(shí)，PO=PA－2.　結(jié)合這兩種情況，可得PO？搖－PA？搖=2.　將此關(guān)系式坐標(biāo)化，得■－（x－4）2+y2■=2，化簡(jiǎn)可得（x-2）2－■=1.