圓的方程內(nèi)容由圓的標(biāo)準方程、圓的一般方程和圓的參數(shù)方程三個部分組成，主要考查運算能力.　在客觀題中，突出考查簡單運算，主要以直線和圓的位置關(guān)系問題居多；解答題中以中等難度題為主，重點考查圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．

重點：熟練掌握圓的方程，掌握待定系數(shù)法，并能解決一些簡單的有關(guān)圓的實際問題．要學(xué)會把圓的幾何性質(zhì)與解析法結(jié)合起來解決問題．同時不斷培養(yǎng)觀察能力，尋找參數(shù)之間的聯(lián)系，掌握必要的技巧，把握準確的解題方向．

難點：其一，如何把題目中的隱含條件挖掘出來；其二，數(shù)形結(jié)合的使用．

1．　基本思路：

圓的問題大多與圓心相關(guān)，在解決直線與圓的位置（相切、相離、相交）關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系以及利用圓的標(biāo)準方程解題等都從圓心入手．

２．　基本策略：

（1）點與圓的位置關(guān)系：

設(shè)點P（x0，y0），圓C：（x－a）2+（y－b）2=r2，則點P在圓上？圳（x0－a）2+（y0－b）2=r2？圳PC=r；

點Ｐ在圓外？圳（x0－a）2+（y0－b）2>r2？圳PC>r；

點Ｐ在圓內(nèi)？圳（x0－a）2+（y0－b）2

（２）（x-x1）2+（y-y1）2=r■■，圓心C1（x1，y1），半徑r1；（x-x2）2+（y-y2）2=r■■，圓心C2（x2，y2），半徑r2．　則C1C2>r1+r2？圳兩圓相離；C1C2=r1+r2？圳兩圓外切；r1－r2

求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x－4y－7=0相切的圓的方程.

思索 直線和圓相切的性質(zhì)是解決有關(guān)直線和圓的問題的重要知識，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d>r等價于直線與圓相離，d=r等價于直線與圓相切，d

破解 因為圓C和直線3x－4y－7=0相切，所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離.　根據(jù)點到直線的距離公式，得r=■=■.　因此，所求圓的方程是（x－1）2+（y－3）2=■.

思索 此方程表示圓的充要條件是D2+E2－4F>0.

破解 由D2+E2－4F>0，得（4m）2+（－2）2－4×5m>0，解得m<■或m>1.　故選D.

注意 二元二次方程M：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，A=C≠0，B=0是方程M表示圓的必要而不充分條件；A=C≠0，B=0，D2+E2－4F>0是方程M表示圓的充要條件．

已知圓C1：x2+y2－2mx+4y+m2－5=0，圓C2：x2+y2+2x－2my+m2－3=0，圓C1與C2相外切，則m的取值范圍為________．

思索 （1）注意利用圓心距離C1C2確定兩圓的位置關(guān)系.

（2）圓和圓的位置關(guān)系：（x-x1）2+（y-y1）2=r■■，圓心C1（x1，y1），半徑r1；（x-x2）2+（y-y2）2=r■■，圓心C2（x2，y2），半徑r2．　相離的充要條件是■>r1+r2；外切的充要條件是■=r1+r2；內(nèi)切的充要條件是■=r1-r2；相交的充要條件是r1－r2<■

破解 對于圓C1，圓C2的方程，經(jīng)配方后C1：（x－m）2+（y+2）2=9；C2：（x+1）2+（y－m）2=4.　因為圓C1和圓C2外切，則有■=3+2，即（m+1）2+（m+2）2=25，解得m=－5或m=2．

已知點P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2為直徑的圓的方程．

思索 本題從確定圓的條件考慮，需要圓心和半徑，圓心為線段P1P2的中點C，半徑為CP，因而可從不同的角度思考．一般地，以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑兩端點的圓的方程是（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0，此結(jié)論在教材課后習(xí)題出現(xiàn)，被稱為圓的直徑式方程，注意此結(jié)論的運用，可帶來許多方便．

破解 （法一）設(shè)圓心C（a，b），半徑為r．　由中點坐標(biāo)公式，得a=■=5，b=■=6；由兩點間的距離公式，得r=CP1=■=■，故所求圓的方程為（x－5）2+（y－6）2=10．

（法二）設(shè)P（x，y）是圓上不同于P1，P2的任意點，由于直徑所對的圓周角是直角，則PP1⊥PP2.

①當(dāng)PP1和PP2的斜率都存在時，k■·k■=-1，所以■·■=－1，則C1：x2+y2－10x－12y+51=0，即（x－5）2+（y－6）2=10.

②當(dāng)PP1和PP2的斜率有一個存在時，有x=4或x=6，這時點P的坐標(biāo)是（4，3）或（6，9），它們都滿足（x－5）2+（y－6）2=10.

綜上可得，圓的方程為（x－5）2+（y－6）2=10．

（法三）設(shè)P（x，y）是圓上任意一點，則PP12+PP22=P1P22，所以（x－4）2+（y－9）2+（x－6）2+（y－3）2=（6－4）2+（3-9）2，化簡，得x2+y2－10x－12y+51=0，故圓的方程為（x－5）2+（y－6）2=10．

圓心在直線y=2x+1上，且到x軸的距離恰好等于圓的半徑，在y軸上截得的弦長為2■，求此圓的方程．

思索 設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，則分析題設(shè)條件，利用弦長、弦心距和半徑的關(guān)系列出關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組得到a，b，r.注意題中的隱含條件，圓的半徑r=b，把常見的隱含條件列出如下：

①圓心在圓點，條件：a=b=0；②圓過圓點，條件：a2+b2=r2；③圓心在x軸上，條件：b=0；④圓心在y軸上，條件：a=0；⑤圓心在x軸上，且過原點，條件：b=0，a=r；⑥圓心在y軸上，且過原點，條件：a=0，b=r；⑦圓與x軸相切，條件：b=r；⑧圓與y軸相切，條件：a=r；⑨圓與兩坐標(biāo)軸相切，條件：a=b=r.

已知圓心為C的圓經(jīng)過點A（1，1）和B（2，－2），且圓心C在直線l：x－y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準方程．

思索 本題圓心為C的圓過A（1，1）和B（2，－2），由于圓心C和A，B的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線上，圓心C也在直線l：x－y+1=0上，因此圓心C是兩條直線的交點，其中半徑為AC或CB．　利用數(shù)形結(jié)合和圓的幾何性質(zhì)解答本題．

破解 因為A（1，1）和B（2，－2），所以可得線段AB的中點D的坐標(biāo)為D■，－■，直線AB的斜率為kAB=■=－3，因此線段AB的垂直平分線的方程為y+■=■x－■，即x－3y－3=0.圓心C的坐標(biāo)是方程組x－y+1=0，x－3y－3=0的解，解此方程組，可得x=－3，y=－2.所以圓心C的坐標(biāo)是（－3，－2）．圓心為C的圓的半徑長r=AC=■=5．　所以，圓心為C的圓的標(biāo)準方程是（x+3）2+（y+2）2=25．

注意 求AB的垂直平分線的方程也可以不用求AB的中點和斜率，而是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”得到（x－1）2+（y－1）2=（x－2）2+（y+2）2，化簡可得AB的垂直平分線的方程為x－3y－3=0．

注意圓的方程與其他知識的聯(lián)系，如與向量、直線、圓錐曲線等，提高解綜合題的能力；強化基本知識的理解與記憶，形成清晰的知識結(jié)構(gòu)圖表，以便理清概念，使其系統(tǒng)化；善于及時總結(jié)，加強通性通法的練習(xí)，找到解題的突破口．