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列一元一次方程解應(yīng)用題中的思想方法

2013-12-29 00:00:00夏宗榮
初中生世界·七年級 2013年12期

眾所周知,數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂,列一元一次方程解應(yīng)用題也不例外,在列一元一次方程解應(yīng)用題的過程中也蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想,如果能靈活運(yùn)用,往往能更好地列出一元一次方程去輕松解答應(yīng)用題. 現(xiàn)就列一元一次方程解應(yīng)用題中常見的思想方法舉例說明.

一、 設(shè)k法

利用一元一次方程解應(yīng)用題時經(jīng)常會遇到有關(guān)比例問題,這時若能巧妙地設(shè)定未知單位量k,就能輕松地列出方程求解.

例1 一個三角形三條邊長的比是2∶4∶5,最長的邊比最短的邊長6厘米,求這個三角形的周長.

【分析】要求三角形的周長,若知道三邊即可,由于三角形三條邊長的比是2∶4∶5,可設(shè)這三條邊長分別為2k、4k、5k,這樣根據(jù)最長的邊比最短的邊長6厘米,即可列出方程求解.

解:因?yàn)槿切稳龡l邊長的比是2∶4∶5,所以設(shè)這三條邊長分別為2k、4k、5k,則根據(jù)題意,得5k-2k=6. 解得k=2.

所以三角形的周長為2k+4k+5k=22厘米.

答:這個三角形的周長為22厘米.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問題的過程中,由數(shù)思形、由形想數(shù),把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題的思想方法.

例2 如圖,是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖,由6個顏色不同的正方形組成. 設(shè)中間最小的一個正方形邊長為1,則這個矩形色塊圖的面積為_______.

【分析】通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn),除了邊長為1的正方形,其余5個正方形中,右下角的兩個大小相等,順時針方向上的正方形邊長依次增加1.

解:設(shè)右下角兩個邊長相等的正方形邊長為x,則順時針方向的其余三個正方形的邊長依次為x+1、x+2、x+3. 根據(jù)矩形的對邊相等,可得x+x+(x+1)=(x+2)+(x+3),解得x=4.

所以(x+2)+(x+3)=13,(x+2)+(x+1)=11,即13×11=143.

答:矩形的面積為143平方單位.

三、 整體思想

在研究應(yīng)用問題時,若能將所要思考的問題看成一個整體,通盤考慮,則既便于列方程,又便于解方程.

例3 一個六位數(shù)左端的數(shù)字是1,如果把左端的數(shù)字1移到右端,那么所得新的六位數(shù)等于原數(shù)的3倍,求原來的六位數(shù).

【分析】本題若逐個設(shè)出各位數(shù)字,則未知數(shù)過多,不易列出方程. 如果從整體思考,視后五位數(shù)為一個整體,則方便簡捷.

解:設(shè)原六位數(shù)為100 000+x,則根據(jù)題意,得10x+1=3(100 000+x),

解得x=42 857.

答:原六位數(shù)為142 857.

四、 分類思想

數(shù)學(xué)的思維是嚴(yán)密的,所以求解許多數(shù)學(xué)應(yīng)用題時,為保證答案全面、完整,需要分情況解決,這有利于培養(yǎng)思維的縝密性.

例4 在一條直的長河中有甲、乙兩船,現(xiàn)同時由A地順流而下,乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任務(wù),甲船繼續(xù)順流航行. 已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時7.5千米,水流的速度是每小時2.5千米,A、C兩地間的距離為10千米,如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時,問乙船從B地到達(dá)C地時,甲船離B地有多遠(yuǎn)?

【分析】因?yàn)镃地的位置不確定,它既可能在A、B兩地之間,也可能在A地的上游,所以應(yīng)進(jìn)行分類討論.

解:設(shè)乙船由B地航行到C地用了x個小時,那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了(4-x)小時. 下面分兩種情況:

1. 若C地在A、B兩地之間,則根據(jù)題意,得(4-x)(7.5+2.5)-x(7.5-2.5)=10.

解得x=2. 這時10×2=20(千米).

2. 若C地在A地的上游,則根據(jù)題意,得x(7.5-2.5)-(4-x)(7.5+2.5)=10.

解得x=■. 這時10×■ = ■(千米).

答:乙船從B地到達(dá)C地時,甲船離B地有20千米或■千米.

五、 逆向思維

數(shù)學(xué)中有些問題,如果按照題意敘述由后往前推算就顯得很簡單,這種解決問題的方法叫逆推法. 逆推法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法. 有些數(shù)學(xué)問題若按常規(guī)思維方法考慮非常困難,而用逆推法就十分簡便.

例5 李颯的媽媽買了幾瓶飲料. 第一天,他們?nèi)液攘巳匡嬃系囊话肓惆肫?;第二天,李颯招待來家中做客的同學(xué),又喝了第一天剩下的飲料的一半零半瓶;第三天,李颯索性將第二天所剩的飲料的一半零半瓶喝了. 這三天,正好把媽媽買的全部飲料喝光,則李颯的媽媽買的飲料一共有多少瓶?

【分析】如果設(shè)媽媽買的飲料一共有x瓶,則第一天喝了■+■瓶,第二天喝了■x-■-■?搖+■瓶,第三天……這種做法很繁. 若能依據(jù)題意,反過來考慮,問題或許就簡單多了.

解:設(shè)第三天李颯喝飲料之前,還有x瓶飲料,則x-■+■=0,即■-■=0. 解得x=1. 這也是第二天喝飲料之后所剩的飲料瓶數(shù).

設(shè)第二天喝飲料之前,還有y瓶飲料,則■-■=1. 解得y=3. 這也是第一天李颯全家喝飲料之后所剩的飲料瓶數(shù).

再設(shè)李颯全家喝飲料之前,還有z瓶飲料,則■-■=3.

解得z=7. 這就是李颯全家喝飲料之前媽媽買的飲料瓶數(shù).

答:李颯的媽媽買的飲料一共有7瓶.

下面一道題目供同學(xué)們自己練習(xí):

甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向出發(fā),在離B地6千米處相遇后又繼續(xù)前進(jìn),甲到B地,乙到A地后,都立即返回,又在離A地8千米處相遇,求A、B兩地間的距離.

參考答案

【分析】用常規(guī)方法解決本題具有一定難度,若把兩個運(yùn)動過程一起處理,便可使問題迎刃而解.

解:第一次相遇,甲、乙兩人合走一個全程,對應(yīng)乙走6千米;第二次相遇,甲、乙兩人合走了三個全程,故乙共走了18千米.設(shè)A、B兩地間的距離為x千米,第二次相遇時乙走了(x+8)千米,所以x+8=18,x=10.

答:A、B兩地間距離為10千米.

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