初中階段是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要時(shí)期，這一階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是學(xué)知識(shí)，更是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、鍛煉思維能力的關(guān)鍵時(shí)期. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能把所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與掌握的技能轉(zhuǎn)化為分析和解決問(wèn)題的能力. 《走進(jìn)圖形世界》這一章涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：分類思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想.

一、 分類思想

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想. 本章中對(duì)幾何體和平面圖形的分類都用到了分類思想. 在應(yīng)用分類思想解題時(shí)，要注意分類必須按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，而且要做到不重復(fù)、不遺漏.

1. 幾何體的分類

例1 請(qǐng)將圖1中的幾何體按相同的特征進(jìn)行分類，并說(shuō)明理由.

【分析】對(duì)事物進(jìn)行分類先要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，我們常常把具有某些共性的事物作為一類.

解：按組成幾何體是平面還是曲面來(lái)分可分為三類：（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，組成它們的都是平面；（7）為一類，組成它的都是曲面；（1）、（2）為一類，組成它們的既有平面又有曲面. 按幾何體是柱體、錐體、球體劃分也分成三類：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，它們都是柱體；（2）為一類，它是錐體；（7）為一類，它是球體. 按有無(wú)頂點(diǎn)可分為兩類：（1）、（7）為一類，它們沒(méi)有頂點(diǎn)；（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，它們都有頂點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】“分類”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)幾個(gè)幾何圖形進(jìn)行分類時(shí)，首先要明確其形狀特征，特別是明確這些幾何體的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，然后選擇適合的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類. 此類題目一般答案不唯一，只要按照某種標(biāo)準(zhǔn)分類，且分類合理即可.

2. 正方體展開(kāi)圖的分類

例2 一個(gè)正方體的紙盒，將它展開(kāi)為平面圖形，有幾種可能？

【分析】運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想和簡(jiǎn)單的枚舉法，將正方體平面展開(kāi)圖的情況一一列舉出來(lái).

解：所有可能的情況共11種，可分為三類：

第一類：中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)（簡(jiǎn)稱一四一型），共六種.

第二類：中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)（簡(jiǎn)稱二三一型），共三種.

第三類：中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)（簡(jiǎn)稱二二二型），只有一種.

第四類：兩排各三個(gè)（簡(jiǎn)稱三三型），只有一種.

【點(diǎn)評(píng)】同一個(gè)多面體，按不同的方式展開(kāi)可能得到不同的平面圖形，要充分發(fā)揮空間想象力，將平面圖形的所有可能情況一一列舉出來(lái).

二、 類比思想

類比是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出它們存在其他相同或相似的屬性的思維方法. 本章中一些幾何特征的對(duì)比體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想.

1. 幾何體展開(kāi)圖的判斷

例3 圖2中的幾個(gè)圖形是一些常見(jiàn)幾何體的展開(kāi)圖，你能正確說(shuō)出這些幾何體的名字嗎？

【分析】一般地，在幾何體的展開(kāi)圖中，由六個(gè)正方形組成的是正方體；只有兩個(gè)多邊形其余為長(zhǎng)方形的為棱柱；只有一個(gè)多邊形，其余為三角形的為棱錐；兩個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)方形組成的為圓柱.

解：（1） 正方體；（2） 長(zhǎng)方體；（3） 四棱錐；（4） 三棱柱；（5） 三棱錐；（6） 三棱柱；（7） 圓柱.

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)幾何特征的對(duì)比，可以迅速、準(zhǔn)確地判斷一些常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖. 熟悉幾何體平面展開(kāi)圖的特征是解題的關(guān)鍵.

三、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是指將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題順利解決的數(shù)學(xué)思想. 本章中一些幾何體的表面可以展開(kāi)為平面圖形，一些平面圖形可以折疊成幾何體，點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體，作一個(gè)幾何體的三視圖的過(guò)程充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想9T+lpNM9ZE6DrhYZWBiVtQ==.

1. 立體圖形表面展開(kāi)問(wèn)題

例4 如圖3，一只螞蟻要從正方體表面上E點(diǎn)爬到距離它最遠(yuǎn)的C點(diǎn)，則怎么爬行可使得路線最短？畫圖加以說(shuō)明.

【分析】螞蟻在正方體表面上. 從E點(diǎn)爬到距離它最遠(yuǎn)的C點(diǎn)，路線很多，如EGC，EFBC，EADC……如何確定一條最短的路線？在平面上，兩點(diǎn)之間線段最短，怎樣使點(diǎn)E與點(diǎn)C在同一個(gè)平面內(nèi)？此時(shí)我們可以把正方體展開(kāi)（如圖4），連接E、C，線段EC就是最短的爬行路線.

解：如圖4，線段EC就是最短的爬行路線.

【點(diǎn)評(píng)】把立體圖形展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形是處理類似問(wèn)題的重要方法，在平面圖形上問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單易解.

2. 平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形

例5 如圖5是一個(gè)正方體盒子的展開(kāi)圖，原正方體中與“★”字所在的面相對(duì)的是哪一個(gè)面？

【分析】先把六個(gè)面通過(guò)折疊轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方體，可發(fā)現(xiàn)“我”與“歡”相對(duì)，“喜”與“學(xué)”相對(duì)，“數(shù)”與“★”相對(duì).

解：“★”與“數(shù)”相對(duì).

【點(diǎn)評(píng)】由平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形，主要考查同學(xué)們轉(zhuǎn)化過(guò)程中的空間想象力. 對(duì)于此類題目，為防止出錯(cuò)，可以實(shí)際動(dòng)手操作.

例6 下列說(shuō)法中正確的有（ ）個(gè).

（1） 直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐.（2） 等邊三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐.（3） 矩形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱.（4） 等腰梯形繞一條底邊旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱.（5） 直角梯形繞垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱.（6） 圓繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到球體.

A. 1個(gè) B. 2個(gè)

C. 3個(gè) D. 5個(gè)

【分析】等邊三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的是兩個(gè)底面重合的圓錐，故（2）不正確；等腰梯形繞一條底邊旋轉(zhuǎn)一周得到上下各一個(gè)圓錐、中間一個(gè)圓柱，故（4）不正確；直角梯形繞垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周得到圓臺(tái)，故（5）不正確.

解：選C.

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)充分理解平面圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)形成立體圖形這一轉(zhuǎn)化過(guò)程.

3. 幾何體與三視圖的相互轉(zhuǎn)換

例7 畫出圖6中由幾個(gè)正方體組成的幾何體的三視圖.

【分析】從正面看有三列，第一列2層，第二列1層，第三列1層；從左面看有兩列，第一列2層，第二列1層；從上面看有三列，第一列2排，第二列1排，第三列1排.

解：如圖7.

【點(diǎn)評(píng)】作正方體三視圖時(shí)要看列數(shù)、層數(shù)（排數(shù)），主視圖要從正面看有幾列，每列有幾層；左視圖要從左面看有幾列，每列有幾層；俯視圖要從上面看有幾列，每列有幾排.