摘 要：本文試著用向量的幾何意義來解決求一類根式函數(shù)值域的問題. 向量作為工具，它溝通了幾何與代數(shù)間的聯(lián)系，為處理和解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題增添了新的思想方法.

關(guān)鍵詞：值域；最值；根式；向量

向量的引入使立體幾何、解析幾何、代數(shù)問題和三角函數(shù)等問題有機(jī)地結(jié)合在了一起. 在解決實(shí)際問題中，往往能起到簡化解題思路、減少解題計(jì)算量、開拓新思路的奇效；在平面、立體幾何中，尤其能起到減少添輔助線的作用. 關(guān)于向量的教學(xué)探討和向量在幾何中的應(yīng)用研究，已有許多文章進(jìn)行了探討，本文主要針對教學(xué)中“根式函數(shù)”的值域問題淺談自己的體會.

“根式函數(shù)”的值域求法是高中學(xué)生比較難掌握的一個(gè)知識點(diǎn)，通常需要通過函數(shù)的單調(diào)性、換元法、函數(shù)平方去根號等辦法才可以解決. 構(gòu)造的思想一直禁錮著學(xué)生的思維.但對于更一般的形式，學(xué)生很難系統(tǒng)地掌握它，找到解題的路徑. 而向量的幾何意義恰恰在解決根式函數(shù)問題上發(fā)揮了極大的作用.現(xiàn)通過幾個(gè)實(shí)例來探索根式函數(shù)的值域解法.

例題5中對于a，p不等于1的情況下也可以求函數(shù)的值域. 只要把系數(shù)a提取到根號外面，仍舊能用上面的方法來解決.

利用向量的幾何意義，巧妙構(gòu)造向量，把根式函數(shù)的值域問題和向量巧妙地進(jìn)行了聯(lián)系. 最主要的是尋找兩個(gè)合適的向量，把函數(shù)式看成是兩個(gè)向量的數(shù)量積的形式，利用向量數(shù)量積的幾何意義來解題，使得代數(shù)與幾何緊密地結(jié)合起來，拓展了學(xué)生的視野，使解題更簡潔、更直觀. 用向量法的證明方法，還可以解決一類函數(shù)最值的求法.

現(xiàn)在來看下列幾題：