摘 要：針對高中數(shù)學(xué)中普遍存在的涉及二次曲線上動點的距離極值問題，本文從理論基礎(chǔ)、思維實踐和方法特色三個方面論述運用“二次曲線及其相交情形的退化”處理動點距離最值問題，使方法系統(tǒng)化，理論與思維實踐緊密融合，讓高中數(shù)學(xué)教師體會到運用通法解決問題時，比通常所謂“巧解”、“特解”更簡潔流暢，更具有數(shù)學(xué)美.

關(guān)鍵詞：二次曲線；動點；同心圓系；距離；最值；相交；相切；退化

高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考中普遍涉及二次曲線上動點的距離類極值問題. 試看下述問題：

在某恒星周圍空間建立坐標(biāo)系，宇航員和飛船位置坐標(biāo)為（5，0），星際空間一顆小行星沿拋物線軌道y2=8x而來，恒星恰好處于拋物線焦點上，若不考慮其他星球的影響，試求此小行星距離宇航員最近為多少單位？

此類問題一般由題設(shè)背景條件限制出一個定點A，另有一動點B在已知直線上或圓上、橢圓上、雙曲線上，求AB之間距離的最小值或最大值. 許多高中數(shù)學(xué)教師對此缺少系統(tǒng)解決方法與教學(xué)分析、處理，通常一題一法，學(xué)生感到變化復(fù)雜、較難掌握. 究其原因，在涉及動點的距離極值類問題中，若動點在二次曲線上，求解涉及眾多二次方程組、高次方程或復(fù)雜的根式方程，高等數(shù)學(xué)常用高階導(dǎo)數(shù)處理，在初等數(shù)學(xué)范圍通常貌似棘手. 通過教學(xué)反思，筆者認(rèn)為不妨回歸到問題的本源上思考.

掀起一類題的“蓋頭”，引出一套理論的“奧妙”

首先，二次曲線方程一般式中二次項系數(shù)為零后就得到一次方程，直線?？梢暈槎吻€退化形式. 也可從幾何角度理解. 誠如數(shù)千年前阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，所有圓錐曲線可統(tǒng)一視為空間的一個平面從不同方向截共軸共頂點雙錐面所得截線：平面垂直于雙錐面對稱軸時，截線為一圓，此平面過錐面頂點時，圓退化為點；若平面斜交于雙錐面對稱軸，截線為橢圓或拋物線，若平面恰過錐面頂點，橢圓或拋物線退化為一對直線或一點；若平面平行于雙錐面對稱軸，截線為雙曲線，若此平面恰過錐面頂點，雙曲線退化為一對直線. 值得注意的是，以上各例直線與點都可視為二次曲線的特殊退化情況.

其次，兩個二次曲線相交點坐標(biāo)應(yīng)為對應(yīng)的兩個二元二次方程構(gòu)成的方程組的實數(shù)解. 將純粹代數(shù)方程解的討論與對應(yīng)的幾何意義結(jié)合起來，存在下表各類情形，值得注意的是，有且只有某兩對實數(shù)解因相同而退化為一組實數(shù)解時，兩個二次曲線有兩個交點退化為一個切點.

再次，最為特殊的二次曲線是圓：方程在二次曲線中最簡潔，二次項系數(shù)同為1；平面圖形中對稱度最高，旋轉(zhuǎn)變換中圓作為一個整體不動，在平移變換中，只需抓住圓心的平移變換特征，整個圓上的點就確定；從點集拓?fù)鋵W(xué)看，圓作為歐氏空間中的特殊凸集，具有一系列寶貴特征，圓周上所有點到圓心的距離都相等，圓內(nèi)任一點到圓心的距離都小于圓周上的點到圓心的距離，圓外任一點到圓心的距離都大于圓周上的點到圓心的距離. 特別是平面上所有的點可以視為以一個定點為圓心而半徑不定的同心圓系的并集.若此定點為（x0，y0），則同心圓系可表為（x-x0）2+（y-y0）2=r2，r視為參數(shù)，其實就是動點到（x0，y0）的距離.