摘 要：數(shù)學公式是一類用純數(shù)學符號表達概念之間數(shù)量關系且在一定范圍內恒成立的數(shù)學命題. 公式是高中數(shù)學知識的重要組成部分. 本文從一節(jié)課例出發(fā)，嘗試探尋公式教學過程中各個環(huán)節(jié)的策略，為公式教學提供一些建議.

關鍵詞：課堂實錄；數(shù)學公式；教學策略

筆者近期聽取了一節(jié)名為《三角函數(shù)誘導公式》的錄像課，現(xiàn)以本節(jié)課為例，談談公式教學的策略問題. 本課由南京師范大學附屬中學劉洪璐老師執(zhí)教，所用教材為普通高中課程標準實驗教科書（江蘇教育出版社2008年出版，以下簡稱教材）必修4.

課堂實錄分析

1. 問題情境，引入課題

片斷一：

T：同學們，在前面的學習當中，咱們已經將角的概念由銳角擴充到任意角了，而且也已經知道了任意角三角函數(shù)的定義.那么任意角三角函數(shù)值怎么去求呢？先來看問題1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT給出），請同學們思考.

T：那么和30°角終邊相同的角的同名三角函數(shù)值都相等嗎？？搖？搖

S2：相等. 終邊相同的角計算三角函數(shù)值時都可以取終邊與單位圓的交點，結果相同.

分析：進行公式教學時，應首先關注公式的來龍去脈. 所謂“來龍”不僅指對公式的推導. 筆者認為，公式存在的必要性也是“來龍”的一部分. 因此，公式的引入就顯得非常重要. 本課以390°的正弦值、余弦值這個看似簡單的問題激發(fā)學生對于任意角與常用角的同名三角函數(shù)值之間關系的探討，使誘導公式的出現(xiàn)自然、不突兀.

2. 公式推導，方法總結

片斷二：

T：非常好，這兩個角的數(shù)量間有什么關系，它們角的終邊間有什么關系？

S4：30°+150°= 180°，它們的終邊關于y軸對稱.

T：那就有sin（180°-30°）=sin30°. 同學們思考，式子中的30°用α替換是否成立？

S5：任作一個角的終邊與單位圓交于P，作終邊關于y軸的對稱線與單位圓的交點P′，P與P′縱坐標相同（如圖2），這兩個終邊表示的角的正弦值相同. （教師幾何畫板展示）

T：很好，總結一下，剛才我們怎么得到公式的？

S8：先作單位圓，找到α與180°-α的終邊與單位圓交點，它們關于y軸對稱，那么橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，就有了正弦值、余弦值的關系，正切可由余弦與正弦得到.

T：非常好，我們得到如下的關系轉化圖.

（板書）？搖 角的關系→對稱關系→坐標關系→三角函數(shù)值間的關系

下面同學們沿著這個思路，找找還有哪些角的終邊與α在坐標系中有特殊的對稱關系？它們的同名三角函數(shù)值有沒有特殊的對應關系？

S9：（板演，作答）我研究的關于x軸對稱，如果α在第一象限，關于x軸對稱的角就在第四象限，可以用-α來表示，這時P′點橫坐標與P點相同，縱坐標互為相反數(shù)（如圖3），就可得到sin（-α）= -sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.

分析：三角函數(shù)的誘導公式是具有相關并列關系的公式群，相互之間結構類似，若通過死記硬背，往往容易產生混淆.

本例中通過師生合作找到了研究的共同出發(fā)點——圖形中終邊的對稱關系. 從單位圓這一公共圖形中開辟了一條相同的研究方法.學生通過自主探究，經歷從數(shù)量關系到圖形關系再到數(shù)量關系之間的相互轉化，從而生成新的公式. 同時在公式記憶時，學生可將公式的代數(shù)映象轉換為視覺映象，使抽象的數(shù)學知識形象化. 整個學習過程中，學生能主動用所掌握的知識進行師生、生生間的交流，由此學生數(shù)學學習能力與學習自信心得到增強.

3. 公式運用，深化理解

T：請同學們完成下列練習：

例1 求下列三角函數(shù)值

（2）cos（-60°）；

（3）tan（-855°）

（學生板演） ……

分析：本課練習只安排了例1.題目設置與本課的問題引入“求出390°的正弦值、余弦值”保持了呼應，使得整節(jié)課有問有答，前后呼應. 同時三個小題涉及不同情況下角的轉化，對誘導公式進行了基本運用，且教師引導學生探尋不同的轉化途徑，題與題之間保證了統(tǒng)一性.

數(shù)學公式的教學策略

1. 公式引入的策略

在新公式的引入階段，為了激發(fā)學生的意義學習，加深對所學公式的感知和理解，教師應盡力創(chuàng)設有利于學生集中注意、激發(fā)學習動機的情境，并以此情境為契機，促進學生調動原有知識結構與經驗基礎積極同化新公式.

（1）創(chuàng)設數(shù)學問題情境

在新公式學習之前，教師可以從與原有知識類似但原有知識無法解決的問題出發(fā)，激發(fā)學生學習的熱情，促進學生溫故知新. 學生若能以新舊知識的聯(lián)系為橋梁，以新舊知識的區(qū)別為突破口，對新知識產生探究的渴望，那么這一情境的創(chuàng)設就是成功的. 如由“390°的正弦值、余弦值”引入誘導公式；再如由兩角和與差的正余弦公式引入二倍角公式.

（2）創(chuàng)設生活實際情境

數(shù)學公式往往很多最初都來源于生活世界，但是當它們在教材中呈現(xiàn)時，這些生活面貌大多已經隱去了. 如果教師能在公式展示之前賦予這些公式生活的背景，那么學生就能從被動轉為主動. 此時數(shù)學公式的外表往往也能更加親和、容易接近，從而降低學生對于新知識的畏懼程度，消除他們對新知識的抵抗心理. 如教材必修5第39頁等差數(shù)列前n項和的引入“某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)？”

（3）創(chuàng)設實驗操作情境

公式引入也可以以一些簡單的、可操作的數(shù)學實驗來呈現(xiàn).數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)并不一定要以嚴密的邏輯推理或證明形式呈現(xiàn). 教師可以設計與教學內容有關的、便于課堂實施的實驗，以此為索引，引導學生操作、歸納、猜想新知識，再通過邏輯論證得到數(shù)學公式. 如空間幾何體的表面積公式的引入，可以在學生制作紙質的常見幾何體，將幾何體剪開得到側面展開圖的操作過程中引導學生找到表面積公式.

（4）創(chuàng)設數(shù)學史情境

古今中外典籍里有很多問題的解決都與教育形態(tài)的數(shù)學知識相關，它們在歷史長河中閃爍著智慧的光輝，教師有必要將這些無價之寶呈現(xiàn)給學生. 這一情境的創(chuàng)設過程可以是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新知識的契機，可以是知識發(fā)現(xiàn)過程中數(shù)學家所付出的努力，也可以是新知識在數(shù)學發(fā)展過程中的作用. 如等差數(shù)列求和公式的引入可以用一個學生熟知的高斯求1+2+3+…+100的和的故事，在學生給出答案后給出求1+4+7+…+67與求等差數(shù)列前n項和兩個問題引導學生逐步深入.

2. 公式推導過程的策略

當學生通過各種情境對公式有初步朦朧認識的時候，數(shù)學公式的教學就要轉向公式的推導，讓學生在教師的帶領下感受知識的產生、發(fā)展，主動參與新知識的構建.

（1）公式推導過程中的思維展現(xiàn)

教材中公式的面貌往往都是以最簡潔的語言、最完善的符號來表達，而公式來源過程中那些真實存在過的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、探索、證明，以及種種嘗試、種種失敗都隱藏在完美結果的背后. 因此，教師在教學過程中必須要讓學生感受到人的思維活動的存在，否則公式就只能是文字、符號，沒有溫度的堆砌.

公式教學過程中可以展現(xiàn)學生思考的思維活動. 每當學生展現(xiàn)一次思維過程，教師可通過問題系列的設計將學生帶入更深層次的思考. 公式教學過程中可以展現(xiàn)的還有數(shù)學家的思維過程或數(shù)學教師的思維過程. 對于一些條件隱藏得較深、推導目標又所知甚少的問題，教師不妨還原教師或數(shù)學家推導公式的歷程，讓學生看到真實的思維過程是怎樣的. 如教材選修2-2推理案例賞析中的“棱臺體積的推導. 這一過程并不一定要直接指向正確的解答，而是要讓學生看到教師或前人如何發(fā)現(xiàn)成果或如何從困境中尋找新的思路.

（2）公式推導過程中的思想方法總結

數(shù)學學習過程中蘊涵著眾多的數(shù)學思想與數(shù)學方法，如數(shù)學方法中有給人們如何思考、探索、發(fā)現(xiàn)的邏輯思維方法，包括一般化、歸納、類比等；有較為固定的操作步驟的操作程序方法，如待定系數(shù)法；也有解法奇妙的技巧性方法、非常規(guī)方法. 數(shù)學思想中有以相關數(shù)學概念為內容背景的概念型數(shù)學思想，如函數(shù)思想、方程思想、公理化思想等.

在公式的教學過程中，教師要努力讓公式課成為以知識為明線，以思想為暗線的發(fā)展過程. 隨著多節(jié)課在不同公式、不同知識點中反復分析、提煉、概括、反思，學生數(shù)學思想方法的習得將不再是難事，公式的教學價值也將得以充分發(fā)揮.

3. 數(shù)學公式運用的教學策略

學生在掌握了公式的來龍去脈后將進入公式運用階段. 這一階段教師要給學生創(chuàng)設由簡單到復雜、由單一到多重、從抽象到實際的問題背景，促進學生對公式的理解.

（1）公式運用中呈現(xiàn)載體的選擇

根據(jù)數(shù)學背景的不同可分為純數(shù)學題與應用題. 公式運用的呈現(xiàn)載體可以是在數(shù)學知識系統(tǒng)內部，也可以是在實際中. 例如，“已知直角梯形ABCD，AB∥CD，AB=9 m，CD=15 m，∠CAD=45°，求直角梯形的一條腰BD的長”，這是一條純數(shù)學題，給它賦予不同的實際背景便得到教材必修4第103頁的數(shù)學應用題例5：“如圖4，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9 m和15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD”.

（2）公式運用中的認知層次

可變形為a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，也可變形為a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.

公式教學應是公式自然出現(xiàn)、公式探索推導、公式靈活運用三位一體的過程. 每個環(huán)節(jié)都需要教師精心設計，學生充分參與，長此反復，公式教學才能成為學生數(shù)學學習的知識動力、情感源泉.