摘 要：“函數(shù)的單調(diào)性”是高中蘇教版的實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修（1）第2·1·3節(jié)“函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)”的第一課時(shí)，在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和圖象、函數(shù)的表示方法，體會(huì)了兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，需進(jìn)一步系統(tǒng)地研究?jī)蓚€(gè)變量之間的變化關(guān)系.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想；層次性；高效課堂

基本情況

一、授課對(duì)象

授課對(duì)象是四星級(jí)高中普通班學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，數(shù)學(xué)思維能力較活躍. 在初中，學(xué)生已經(jīng)歷了函數(shù)學(xué)習(xí)的第一階段，接受了初步的函數(shù)知識(shí)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有“形”的直觀的認(rèn)識(shí)，了解“y隨x增大而增大（減小）”來(lái)描述圖象的上升（下降）走勢(shì)，但還沒(méi)有對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行系統(tǒng)的定義，還不能形式化、符號(hào)化的表示函數(shù)的單調(diào)性，因此，他們非常迫切地想從“數(shù)”的角度知道如何理論地定義函數(shù)的單調(diào)性.

二、教材分析

1. 教材的地位和作用

“函數(shù)的單調(diào)性”是高中蘇教版的實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修（1）第2·1·3節(jié)“函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)”的第一課時(shí)，在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和圖象、函數(shù)的表示方法，體會(huì)了兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，需進(jìn)一步系統(tǒng)地研究?jī)蓚€(gè)變量之間的變化關(guān)系，故將學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)提上了日程.

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，可以幫助解決許多實(shí)際問(wèn)題. 作為數(shù)學(xué)模型，它需要從概念、表示、性質(zhì)等多角度建構(gòu)完善自己的數(shù)學(xué)體系，函數(shù)的單調(diào)性正是這諸多方面中一個(gè)重要的性質(zhì)，它決定了函數(shù)的變化、函數(shù)圖象的形狀，是函數(shù)諸多性質(zhì)中最核心的內(nèi)容，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要關(guān)注和使用的一個(gè)性質(zhì)，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，它在判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、比較大小、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍、利用單調(diào)性解不等式、對(duì)函數(shù)作定性分析、求函數(shù)的極值，以及與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用上都有著廣泛的應(yīng)用. 同時(shí)，本小節(jié)又是后繼學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)之一，故本節(jié)內(nèi)容在函數(shù)教學(xué)中起到承前啟后的樞紐作用.

2. 教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)教學(xué)大綱的要求及本人所教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，筆者把教學(xué)目標(biāo)確定如下：

（1）知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，理解函數(shù)單調(diào)性的幾何特征，初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明簡(jiǎn)單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）能力目標(biāo)：通過(guò)函數(shù)單調(diào)性概念的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納、抽象、類比的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生推理論證的能力；

（3）情感目標(biāo)：通過(guò)對(duì)新知識(shí)的探索，培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的符號(hào)功能和工具功能及不斷探求新知識(shí)的精神.

3. 教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念及證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的生成及利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性.

這是因?yàn)?，?duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，函數(shù)的單調(diào)性早已有所知，然而沒(méi)有給出定義，只是從直觀上接觸過(guò)這一性質(zhì)，學(xué)生對(duì)此有一定的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)概念的理解有一定好處，但另一方面學(xué)生也會(huì)覺(jué)得是已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，感覺(jué)乏味，容易疲勞，因此，授課時(shí)需重視概念的生成，讓學(xué)生體會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的螺旋上升，從理論層面上二次認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性，其中甚至包含著辯證法的原理.另外，對(duì)概念的分析是在引入一個(gè)新概念時(shí)必須要做的，對(duì)概念的深入的正確的理解往往是學(xué)生認(rèn)知過(guò)程中的難點(diǎn)，因此在課堂上突出對(duì)概念的分析不僅是為了分析函數(shù)的單調(diào)性的定義，而是想讓學(xué)生對(duì)如何學(xué)會(huì)、弄懂一個(gè)概念有初步的認(rèn)識(shí)，并且在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)有所用. 所以筆者把教學(xué)重點(diǎn)定為“函數(shù)單調(diào)性的概念”.

還有，學(xué)生首次接觸“使用定義證明單調(diào)性”的代數(shù)論證方法，給出步驟，體現(xiàn)了算法思想，有利于學(xué)生理解概念，對(duì)學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助，這也是不等式證明方法中比較法的基本思路，現(xiàn)在提出要求，為今后的教學(xué)作一定的鋪墊.

教學(xué)過(guò)程

一、設(shè)計(jì)情境、引入新課

教師：圖1是我市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，我們已經(jīng)知道它是氣溫θ關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，觀察這張氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐漸升高的或下降的.

學(xué)生1：在0時(shí)到4時(shí)氣溫逐漸下降，在4時(shí)到14時(shí)氣溫逐漸上升，從14時(shí)到24時(shí)，氣溫又逐漸下降.

教師：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)上述時(shí)間段內(nèi)“隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高”這一特征呢？為解決這個(gè)問(wèn)題，首先需要建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義. （引入課題）

2. 歸納探索，形成概念

問(wèn)題1 觀察下列4個(gè)函數(shù)的圖象，當(dāng)自變量x逐漸增大時(shí)，研究圖象的變化趨勢(shì).

教師：對(duì)一次函數(shù)來(lái)說(shuō)，圖象一直上升或下降，但是對(duì)二次函數(shù)y=x2來(lái)說(shuō)，圖象先下降后上升，這說(shuō)明了什么？

學(xué)生4：說(shuō)明在研究二次函數(shù)的圖象時(shí)需要分情況討論. 當(dāng)x≤0時(shí)，圖象下降；當(dāng)x≥0時(shí)，圖象上升.

問(wèn)題2 你能說(shuō)出“圖象呈上升趨勢(shì)或呈下降趨勢(shì)”的意思嗎？

學(xué)生5：圖象呈上升趨勢(shì)？圳y隨x的增大而增大；圖象呈下降趨勢(shì)？圳y隨x的增大而減小.

教師：當(dāng)函數(shù)圖象在某區(qū)間上上升時(shí)，則稱函數(shù)為該區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)圖象下降時(shí)，則稱函數(shù)為該區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù). 這是我們對(duì)單調(diào)性的“形”的認(rèn)識(shí)，根據(jù)“形”的定義，你能說(shuō)出氣溫變化圖這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性嗎？

學(xué)生6：函數(shù)在區(qū)間[0，4]上是減函數(shù)，在區(qū)間[4，14]上為增函數(shù)，在區(qū)間[14，24]上減函數(shù).

教學(xué)設(shè)想：通過(guò)生活實(shí)例感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力與數(shù)形結(jié)合語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力.

問(wèn)題3 利用函數(shù)y=x2的圖象，試比較下列各數(shù)的大?。?2，32，42，（4.1）2，（5.2）2，（6.4）2

學(xué)生7：從函數(shù)y=x2圖象上看，因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，圖象上升，y隨x的增大而增大，故22<32<42<（4.1）2<（5.2）2<（6.4）2.

問(wèn)題4 對(duì)函數(shù)f（x），如果-2<3時(shí)，有f（-2）

學(xué)生8：不能，比如函數(shù)y=x2，圖象在（-2，3）上先下降后上升，函數(shù)應(yīng)該先減后增.

問(wèn)題5 若函數(shù)f（x）對(duì)于區(qū)間（0，+∞）上無(wú)數(shù)多個(gè)自變量x1，x2，x3，…，當(dāng)0

學(xué)生9：不能，如圖6所示.

問(wèn)題6 在函數(shù)y=x2的圖象位于y軸右側(cè)部分隨便（任意）取兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為x1，x2即0

學(xué)生：是. （齊聲）

問(wèn)題7 在函數(shù)在函數(shù)y=x2的圖象上任意取兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為x1，x2，當(dāng)x1

學(xué)生10：不是. 當(dāng)點(diǎn)都取在y軸左側(cè)部分上時(shí)，x1y2. 當(dāng)點(diǎn)一個(gè)取在y軸左邊，一個(gè)取在y軸右邊時(shí)，x1y2，主要看哪個(gè)點(diǎn)高.

問(wèn)題8 能不能試著用數(shù)學(xué)符號(hào)說(shuō)說(shuō)什么是單調(diào)增函數(shù)？并且畫(huà)出示意圖嗎？

學(xué)生11：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I？哿D.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1gQWUQMa5em4o0oZDpR2l2IO14DPru5uhqUkR2SlDWiY=是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間.

問(wèn)題9 對(duì)于定義中的關(guān)鍵詞“區(qū)間內(nèi)”、“任意”、“當(dāng)x1

學(xué)生12：不能，否則要出現(xiàn)問(wèn)題4、5、7中的情況.

問(wèn)題10 類比單調(diào)增函數(shù)概念，你能給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎？

學(xué)生13：如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1f（x2），那么就說(shuō)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間.

教師：這樣我們得到了單調(diào)增函數(shù)、單調(diào)減函數(shù)的定義，并且如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性. 單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

教學(xué)設(shè)想：通過(guò)問(wèn)題串，鋪設(shè)形成概念的階梯，不斷創(chuàng)設(shè)疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、討論，讓學(xué)生一步步體會(huì)出概念，把握住概念中的關(guān)鍵詞“區(qū)間內(nèi)”、“任意”、“當(dāng)x1

3. 數(shù)學(xué)應(yīng)用，掌握方法

例1 畫(huà)出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：

練習(xí)1 課本37頁(yè)練習(xí)？搖？搖 1、2、6、7

教學(xué)設(shè)想：1. 利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，從“形”的方面體會(huì)函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)性的幾何意義，體會(huì)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).

2. 進(jìn)一步體會(huì)單調(diào)性定義中的“任意”這一詞；理解區(qū)間I？哿A.

教師：對(duì)于給定的圖象的函數(shù)，借助于圖象，我們可以直觀地判斷函數(shù)的單調(diào)性，也能找到單調(diào)區(qū)間，而對(duì)于一般的函數(shù)，我們?cè)鯓优袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性呢？我們需要學(xué)習(xí)“數(shù)”的方法研究函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)設(shè)想：（1）應(yīng)用定義給出形式化的證明，從“數(shù)”的方面理解單調(diào)性.

（2）為了學(xué)生能很快形成證明思路，掌握證明方法，指出函數(shù)單調(diào)性證明的要點(diǎn).

方法：作差比較法.

步驟：

①設(shè)變量：設(shè)區(qū)間上的任意兩個(gè)值x1，x2，且x1

②作差：f（x1）-f（x2）；

③變形：主要使用通分、因式分解、配方等手段使之成為幾個(gè)因式乘積形式；

④斷號(hào)；

⑤定論.

其中作差是依據(jù)，變形是手段，判斷正負(fù)是目的.

4. 回顧小結(jié)，提高能力

本節(jié)課主要內(nèi)容：

1. 函數(shù)單調(diào)性及生成的過(guò)程，感受了數(shù)學(xué)研究問(wèn)題從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程；

2. 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：圖形法、變量值法、定義法；

3. 利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，感受代數(shù)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性；

4. 本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、類比思想.

教學(xué)設(shè)想：學(xué)生概括，教師補(bǔ)充共同完成，體現(xiàn)師生互動(dòng).

5. 作業(yè)布置，鞏固成效

習(xí)題2.1（3） 1、7 （2） （4）

思考：已知函數(shù)y=f（x）在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且f（a+1）>f（2a），求a的取值范圍.

教學(xué)設(shè)想：課后及時(shí)復(fù)習(xí)可以溫故知新；作業(yè)分層對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生能起到開(kāi)闊思維的作用.

教學(xué)反思

1. 依據(jù)的理論

美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須遵循APOS的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，這個(gè)理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷四個(gè)階段：（1）活動(dòng)階段：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，在本課設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生像科學(xué)家一樣，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的生成過(guò)程，通過(guò)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)獲得新知；（2）過(guò)程階段：通過(guò)不斷重復(fù)函數(shù)自變量x的改變對(duì)函數(shù)值y的影響這樣的過(guò)程，讓學(xué)生從中不斷反思，在大腦中進(jìn)行了一種心理建構(gòu)，使得概念的呈現(xiàn)表現(xiàn)出自動(dòng)化的形式，呼之欲出，不需要外部的不斷刺激；（3）對(duì)象階段：當(dāng)學(xué)生意識(shí)到可以把前面經(jīng)歷的過(guò)程看做是一個(gè)整體，并且意識(shí)到可以對(duì)這個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)變和操作的時(shí)候，其實(shí)已經(jīng)把這個(gè)過(guò)程作為一個(gè)一般的數(shù)學(xué)對(duì)象，形成一個(gè)“實(shí)體”，也就是函數(shù)的單調(diào)性概念形成的最佳時(shí)機(jī)，從而很自然地就得到了函數(shù)的單調(diào)性概念；（4）圖式階段：通過(guò)圖示可以把學(xué)生在頭腦中具體函數(shù)的單調(diào)性的圖象升級(jí)為一般性函數(shù)單調(diào)性的圖形，對(duì)概念的理解上升到更高的層次.

2. 突出的數(shù)學(xué)思想

本節(jié)課以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生從“形”到“數(shù)”認(rèn)識(shí)單調(diào)性，利用二次函數(shù)圖象讓學(xué)生感受函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，從具體到一般，從有限到無(wú)限一步步引導(dǎo)學(xué)生感受概念中自變量x1，x2的任意性，幫助學(xué)生從直觀到抽象、從感性到理性建立起正確的函數(shù)單調(diào)性的概念，將“數(shù)形結(jié)合”、“類比推理”、“等價(jià)轉(zhuǎn)化”“特殊與一般”等數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)過(guò)程中，依附于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)上，優(yōu)化了知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高了學(xué)生的能力，潛移默化地影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生今后的發(fā)展提供了有力的保障.

3. 體現(xiàn)了層次性

本節(jié)課是函數(shù)性質(zhì)的起始課，重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念，它是函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)提供了方法依據(jù). 學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中面臨兩個(gè)問(wèn)題：1. 如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)函數(shù)圖象的上升與下降；2. 證明函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在學(xué)習(xí)生涯中第一次遇到的代數(shù)論證方法，他們?cè)谶@個(gè)方面的能力還比較薄弱. 為解決第一個(gè)問(wèn)題，在本節(jié)課中以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生從“形”到“數(shù)”認(rèn)識(shí)單調(diào)性，利用二次函數(shù)圖象讓學(xué)生感受函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，從具體到一般，從有限到無(wú)限一步步引導(dǎo)學(xué)生感受概念中自變量x1，x2的任意性，幫助學(xué)生從直觀到抽象、從感性到理性建立起正確的函數(shù)單調(diào)性的概念；為解決第二個(gè)問(wèn)題，從算法角度和學(xué)生一起歸納出利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元——作差——變形——斷號(hào)——定論，讓學(xué)生有章可循，熟練掌握證明單調(diào)性的方法，又為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)提供了方法模式.

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，編排的例題與變式體現(xiàn)了層次性，例1從“形”上進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性認(rèn)識(shí)，把握概念中的關(guān)鍵詞“區(qū)間內(nèi)”；例2從代數(shù)論證的角度把握函數(shù)的單調(diào)性概念中的關(guān)鍵詞“任意”和“當(dāng)x1f（x2））”，從“數(shù)”的角度從更高的層次上理解了概念；課后的思考題要使用概念的外延來(lái)解決，對(duì)能力有一定的要求，在整個(gè)應(yīng)用過(guò)程對(duì)概念的應(yīng)用層次分明，步步遞進(jìn).

4. 實(shí)現(xiàn)高效課堂

記得有位詩(shī)人說(shuō)過(guò)：教育不是注滿一桶水，而是點(diǎn)燃一把火. 反思“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)效果，筆者認(rèn)為類似這樣的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)要重視“過(guò)程性”，教學(xué)過(guò)程要重視學(xué)生的“參與性”，讓學(xué)生“參與”到學(xué)習(xí)的過(guò)程中，才能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)造性，將學(xué)生學(xué)習(xí)的燎原之火點(diǎn)燃，才能較好地激發(fā)其主動(dòng)學(xué)習(xí)，確立其主體地位.

高效課堂注重的是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的教學(xué)，而不是讓學(xué)生在大量的題海中“悟”數(shù)學(xué)思想、解題方法和規(guī)律，數(shù)學(xué)概念、定理、公式的形成或推到過(guò)程本身就蘊(yùn)涵了眾多的數(shù)學(xué)思想和方法，只有充分地暴露思維過(guò)程，才能挖掘其內(nèi)在規(guī)律，幫助學(xué)生掌握科學(xué)的方法，達(dá)到培養(yǎng)和提高學(xué)生能力的目標(biāo). 本節(jié)課筆者圍繞函數(shù)單調(diào)性的概念形成的過(guò)程，立足于學(xué)生的“最進(jìn)發(fā)展區(qū)”，設(shè)計(jì)了若干具體問(wèn)題，以問(wèn)題為中心，學(xué)生為主體，讓他們從具體問(wèn)題中體會(huì)概念，然后歸納概念，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了本課設(shè)計(jì)的基本理念：過(guò)程性、問(wèn)題性和主體性.