寧 娣

(中南民族大學 數學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

混沌同步在生物、化學、醫(yī)學和信息科學領域具有良好的應用前景， 自Pecora和Carroll提出了一種混沌同步方法以來[1-3]，混沌同步受到越來越多的關注，隨之也出現了各種各樣的同步方法，如驅動響應法、變量耦合法、自適應法、變量反饋法等[4-6].然而這些方法都是針對完全同步而言，在實際中難以產生兩個完全相同的混沌系統(tǒng)，參數失配和各種失真總是存在且不可避免.為此，人們提出了“廣義同步”的概念，它比完全同步具有更廣闊的應用前景.

廣義同步，即在主從混沌系統(tǒng)之間建立一種函數關系，這種函數關系可能已知，也可能未知.一般來說，在函數關系已知時，是通過自適應控制器的方法設置控制器主從系統(tǒng)滿足給定的函數關系[7,8]，而當函數關系未知時，則是通過輔助系統(tǒng)的方法[9]來實現同步，即構造與受控響應系統(tǒng)相同的輔助系統(tǒng)，如下：

1 問題的描述

考慮如下數學模型描述的兩個非線性動力系統(tǒng)，分別作為驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)：

(1)

(2)

其中x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，y=(y1，y2，…，ym)T∈Rm分別為驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f∈Rn,g∈Rm分別為驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的非線性項，F∈Rn×l,G∈Rm×s為連續(xù)的向量函數，α∈Rl,β∈Rs為系統(tǒng)的未知參數向量，u(x,y)為控制器.

為了使系統(tǒng)(1)、(2)達到廣義同步，在這里借助輔助系統(tǒng)的方法，因此構造系統(tǒng)(2)相應的輔助系統(tǒng)：

(3)

假設1(全局Lipschitz條件) 假設存在一常數L≥0，使得對于任意的x(t),y(t)∈Rn，有：

‖g(x(t))-g(y(t))‖≤L‖x(t)-y(t)‖,

這里‖·‖是2-范數.

假設2 假設存在一常數L′≥0，使得對于任意的y(t),z(t)∈Rn，有：

‖G(z(t))β*-G(y(t))β*‖≤L′‖z(t)-y(t)‖，

這里β*是一個常數向量.

定理1 假定假設1、假設2成立，且控制器滿足：

u(x,y)=-k(y-x),u(x,z)=-k(z-x),

(4)

以及參數自適應律滿足：

(5)

則驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)達到廣義同步.

證明定義系統(tǒng)(2)和(3)的誤差為e=z-y，將(3)式減去(2)式，得到誤差系統(tǒng)為：

u(x,y).

令u(x,y)=-k(y-x)，u(x,z)=-k(z-x)，則誤差系統(tǒng)可以轉換為：

(G(z)-G(y))β.

(6)

構造Lyapunov函數：

由誤差系統(tǒng)(6)，將(4)、(5)式代入可得：

eT(-ke+g(z(t))-g(y(t)))+eT(G(z(t))

-keTe+LeTe+(G(z)β*-G(y)β*)Te≤

-keTe+LeTe+L′eTe.

2 R?ssler系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結構廣義同步

在這部分中，我們用R?ssler系統(tǒng)[10]和Chen系統(tǒng)[11]來驗證上述理論的正確性，這里的驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的維數相同，且兩個系統(tǒng)的參數均未知.

驅動系統(tǒng)：

其中α=(a,b,c)T是未知參數.因為R?ssler系統(tǒng)是混沌的，所以狀態(tài)變量xi(i=1,2,3)是有界的，如圖1所示.

圖1 R?ssler吸引子的相圖，系統(tǒng)參數為a=0.2,b=0.2,c=5.7

響應系統(tǒng)：

其中β=(l,m,n)T是未知參數.

輔助系統(tǒng)：

數值模擬中采用Matlab中的Ode45這個命令，隨機選擇混沌動力系統(tǒng)的初值，取常數k=20，r=10.圖2給出了受控響應系統(tǒng)和其對應的輔助系統(tǒng)的誤差圖，由圖2可知隨著時間的增加，同步誤差迅速趨向于零，即R?ssler系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)達到廣義同步，這些都說明了該理論的有效性和正確性.

圖2 在系統(tǒng)維數相同的情況下，受控的響應系統(tǒng)與輔助系統(tǒng)的誤差隨時間的演化曲線

3 超R?ssler系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結構廣義同步

在這部分中，主要討論的是混沌系統(tǒng)維數不相同的情況，其中驅動系統(tǒng)選擇超R?ssler混沌系統(tǒng)[10]，響應系統(tǒng)選擇Chen系統(tǒng).因為二者維數不同，故對Chen系統(tǒng)進行擴階，即在Chen系統(tǒng)中增加一維，但不改變Chen系統(tǒng)的混沌動力學行為，其動力學行為在三維空間中的投影如圖3所示.

圖 3 四維的Chen混沌系統(tǒng)在三維空間(y1,y3,y4)上的投影

驅動系統(tǒng)的動力學方程為：

其中α=(a,b,c,d)T是未知參數向量.

此時受控的響應系統(tǒng)可以寫為：

其中β=(l,m,n)T是未知參數向量.

其對應的輔助系統(tǒng)為：

數值模擬中同樣采用Matlab中的Ode45命令，隨機選擇混沌動力系統(tǒng)的初值，此時取常數k=20，r=10.圖4給出了受控響應系統(tǒng)和其對應的輔助系統(tǒng)的誤差圖，由圖4可知隨著時間的增加，同步誤差迅速趨向于零，即超R?ssler混沌系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)達到廣義同步，這些都說明了該理論的有效性和正確性.

圖4 在系統(tǒng)維數不同的情況下，受控的響應系統(tǒng)與輔助系統(tǒng)的誤差隨時間的演化曲線

4 結語

研究參數未知的混沌系統(tǒng)的廣義同步的文章已經很多了，但這些文章主要用自適應控制的方法來研究，本文借助構造輔助系統(tǒng)的方法研究了參數未知情況下，混沌系統(tǒng)維數相同和不相同兩種情況下的異結構廣義同步，利用R?ssler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、超R?ssler系統(tǒng)進行了數值仿真，驗證了理論的正確性和有效性.

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[3] 胡 崗，蕭井華，鄭志剛.混沌控制[M].上海:上海科技教育出版社,2000:78.

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[5] 寧 娣,陸君安.一個臨界系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的異結構同步[J].Acta Physica Sinica,2005,54(10):4590-4596.

[6] Yang S S,Duan C K. Generalized synchronization in chaotic systems[J]. Chaos Solitons Fract,1998,10: 1703-1707.

[7] 王興元,孟 娟.自治混沌系統(tǒng)的線性和非線性廣義同步[J].物理學報,2008,57(2):726-730.

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[9] Pecora L M,Carroll T L. Master stability functions for synchronized coupled systems [J].Phys Rev L,1998,80(10):2109-2112.

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[11] Chen G R,Ueta T. Yet another chaotic attractor[J]. Int J Bifurcat Chaos,1999,9(7):1465-1466.