殷紅燕，劉晶晶,周 靜

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院， 武漢 430074)

黨的十八大報(bào)告指出：“推動(dòng)能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命，控制能源消費(fèi)總量，加強(qiáng)節(jié)能降耗，支持節(jié)能低碳產(chǎn)業(yè)和新能源、可再生能源發(fā)展，確保國(guó)家能源安全．”能源問(wèn)題引起我國(guó)政府的重視．而隨著能源需求的高速增長(zhǎng)，能源短缺的現(xiàn)象越來(lái)越劇烈，能源價(jià)格的持續(xù)增長(zhǎng)影響著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的平衡增長(zhǎng)．國(guó)內(nèi)外已有很多學(xué)者對(duì)能源價(jià)格與能源供需關(guān)系做了研究．在我國(guó)，田立新等一批學(xué)者首次將非線性混沌動(dòng)力學(xué)理論引入能源經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，在能源供需和能源價(jià)格的建模與分析中取得了顯著成果．其中文獻(xiàn)[1]建立了能源價(jià)格的動(dòng)態(tài)模型，通過(guò)對(duì)模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，得出了均衡價(jià)格的穩(wěn)定條件．考慮到現(xiàn)實(shí)的能源市場(chǎng)不可能每期都能達(dá)到市場(chǎng)出清，能源供需總處在不均衡狀態(tài)，文獻(xiàn)[2]建立了更能準(zhǔn)確反映能源經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的能源價(jià)格與能源供需的非線性時(shí)滯微分方程模型，即：

μbP(t)-μaP(t-τ)+μ(d0-s0)，

(1)

其中參數(shù)μ>0，a>0，b>0，d0>0，s0≥0，α,β,γ是任意常數(shù)．

(2)

文獻(xiàn)[2]給出了方程(1)的意義，并利用了主項(xiàng)分析法和Hopf分支理論對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，給出了各種參數(shù)條件下能源價(jià)格的局部穩(wěn)定性條件和出現(xiàn)Hopf分支的條件，得出能源經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的相關(guān)條件．本文以時(shí)滯τ為參數(shù)，利用Hassard等在文獻(xiàn)[3]中所介紹的規(guī)范型方法，討論系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性以及分支方向、分支周期解的穩(wěn)定性.

1 平衡點(diǎn)的全時(shí)滯穩(wěn)定性

為了討論問(wèn)題方便，給出如下已有的結(jié)論.

引理1[4]具有時(shí)滯的常系數(shù)線性系統(tǒng)

其零解全時(shí)滯穩(wěn)定的充要條件為：

(i) 其特征方程Δ(λ,τ)=0，當(dāng)τ=0時(shí)所有根具有負(fù)實(shí)部．

(ii) 對(duì)?y,τ∈R,τ>0，均有Δ(iy,τ)≠0．

(3)

系統(tǒng)(3)的特征方程為：

λ2+Aλ+B+Ce-λτ=0,

(4)

當(dāng)τ=0，方程(4)變?yōu)椋?/p>

λ2+Aλ+B+C=0，

(5)

當(dāng)τ≠0時(shí)，若λ=iω(ω>0)是特征方程(4)的一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)ω滿足：

(6)

對(duì)方程組(6)的兩個(gè)方程分別平方再相加得：

ω4+(A2-2B)ω2+B2-C2=0,

(7)

方程(7)的根為：

由上討論，應(yīng)用引理1，可得如下定理1.

定理1 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)全時(shí)滯穩(wěn)定的充要條件是：

2 Hopf分支的存在性

(8)

顯然當(dāng)τ=τj時(shí)，λ=±iω0是方程(4)的一對(duì)共軛純虛根．

3 分支方向及分支周期解的穩(wěn)定性

(9)

對(duì)φ∈(φ1,φ2)T∈C[-1,0]=C([-1,0],R2)，定義一個(gè)算子:

Lσφ=Dφ(0)+Eφ(-1),

其中:

且定義：

f(σ,φ)=

對(duì)φ∈(φ1,φ2)T∈C1[-1,0]，定義：

和:

于是可把方程(9)寫(xiě)成如下形式[7]：

(10)

對(duì)于φ∈C[-1,0]，Ψ∈C1[0,1]，定義雙線性積

其中η(θ)=η(θ,0)，則算子A=A(0)與A*是共軛算子，而±iτ0ω0是算子A(0)的特征值，且其它特征值具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部，從而±iτ0ω0也是算子A*的特征值，于是經(jīng)過(guò)計(jì)算可得到下面的結(jié)論.

下面計(jì)算中心流形C0在σ=0時(shí)的坐標(biāo)，令Ut是方程(10)在σ=0時(shí)的解，定義：

z(t)=〈q*,Ut〉,W(t,θ)=Ut(θ)-2Rez(t)q(θ).

(11)

既然σ=0時(shí)，解Ut∈C0，有：

再把上式改寫(xiě)成：

其中：

由(11)式有：

注意到q(θ)=(1,iω0)Teiω0τ0θ，所以可得：

因此：

下面計(jì)算W20(θ)和W11(θ)，根據(jù)(10)和(11)式有：

其中：

當(dāng)θ∈[0,1)，可以得到：

(A-2iω0τ0)W20(θ)=-H20(θ),

AW11(θ)=-H11(θ)．

(12)

經(jīng)計(jì)算可知：

其中E1，E2的值可由θ=0時(shí)H的值來(lái)確定．由A的定義和(12)式，利用文[3]或文[8]中的方法，可解得E1=(A1,A2)T，其中：

A2=2iω0A1.

E2=(B1,B2)T，

更進(jìn)一步，我們可以求出g21，那么gij完全可以由系統(tǒng)(9)的系數(shù)表示出了，于是通過(guò)計(jì)算得到：

定理3 對(duì)方程(9)，分支周期解的分支方向由μ2決定：如果μ2>0(或μ2<0)，則Hopf分支為上臨界(或下臨界)；分支周期解的穩(wěn)定性由β2決定：當(dāng)β2<0(或β2>0)時(shí)，分支周期解是穩(wěn)定的(或不穩(wěn)定的)；分支周期解的周期由T2決定：如果T2>0(或T2<0)，周期解是增加的(或減少的)．

[1] 鄧祥周，田立新，段希波. 能源價(jià)格的動(dòng)態(tài)模型及分析[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策，2007,36(2):9-10.

[2] 田立新，錢(qián)和平．能源價(jià)格時(shí)滯微分方程模型及動(dòng)力學(xué)分析[J]．江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，24(2)：240-244．

[3] Hassard B，Kazarinoff D，Wan Y H．Theory and applications of Hopf bifurcation [M].London: Cambridge University Press，1981:181-191.

[4] 秦元?jiǎng)?，劉永清，?聯(lián). 帶有時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[M].北京:科學(xué)出版社,1963:51-52.

[5] 田曉紅，徐 瑞. 一類具時(shí)滯和階段結(jié)構(gòu)的捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,2010,25(3):285-291.

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[7] Hale J K.Theory of functional differential equations[M].Berlin：Springer-Verlag,1977:112-159.

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