葛禮霞， 劉海明， 姬春秋

(牡丹江師范學(xué)院 理學(xué)院， 黑龍江 牡丹江157012)

差分方程是一個很重要的數(shù)學(xué)工具，差分方程解的性質(zhì)的研究不僅在理論上而且在實際應(yīng)用中都是非常重要的，特別是近年來，隨著管理、生物等自然學(xué)科的發(fā)展，在許多領(lǐng)域提出了由差分方程描述的數(shù)學(xué)模型.具有離散變量的差分方程的解的振動性研究已有許多好的結(jié)果[1-3].與此同時，具有連續(xù)變量的時滯差分方程也得到了人們的廣泛研究[4-5]，在文獻(xiàn)[6]中研究了如下具有連續(xù)變量的非線性差分方程

得到了方程振動的兩個充分條件，在文獻(xiàn)[7]中作者利用微分中值定理研究了具有連續(xù)變量的差分方程

解的振動性，得到了方程振動的一個充分條件.因為，考慮脈沖現(xiàn)象對狀態(tài)的影響，能夠更深刻、更精確地反映事物變化的規(guī)律，也是十分必要的.隨后脈沖也被引入到微分差分方程中來[8-10]，而這類方程在實際中也是大量存在的.

考慮具連續(xù)變量的脈沖時滯差分方程

(1)

rδ=min{δ-τ,δ-σj,j=1,2,…，m}

任給Φ∈C([rδ,δ],R)，稱函數(shù)x:[rδ,∞]→R為方程(1)滿足初始條件

x(t)=Φ(t),t∈[rδ,δ]

(2)

的解，x(t)在[rδ,∞]幾乎處處連續(xù)，在tk左連續(xù)，對t∈[δ,∞]滿足方程(1)，對t∈[rδ,δ]滿足方程(2)，方程(1)的解稱為振動的，如果它有任意大的零點(diǎn)，否則稱為非振動的，若方程(1)的每一解都是振動的，則稱方程(1)是振動的.方程(1)的輔助方程為

(3)

方程(3)滿足初始條件(2)的解y(t)是在[rδ,∞)幾乎處處連續(xù)的，在tk(tk>δ)處右連續(xù)的函數(shù).

1 兩個引理

引理1[11]若存在自然數(shù)K，使當(dāng)k>K時，有bk>-1，則方程(1)振動，當(dāng)且僅當(dāng)方程(3)振動.

2 主要結(jié)果

(i)對任意大的T0，都存在T>T0,使pi(t)在區(qū)間[T,T+2σ*+(σ0-τ)]上非負(fù)；

(4)

最終成立.

證明由引理1可知，欲證方程(1)振動,只需證方程(3)振動即可.

設(shè)y(t)是方程(3)的任意一個解，要證方程(3)振動，只需證對任意大的T0，均可找到一有限區(qū)間，使y(t)在此區(qū)間上有零點(diǎn)即可.取T0充分大，由條件(i)可知，存在T>T0,使pi(t)在區(qū)間[T,T1]上非負(fù)，下面只需來證在區(qū)間[T,T1]上y(t)有零點(diǎn)即可，這里T1=T+2σ*+(σ0-τ).

用反證法.假設(shè)y(t)在區(qū)間[T,T1]上恒不等于零，不妨設(shè)y(t)>0，當(dāng)t∈[T+σ*,T1]時，有

y(t)>0,y(t-τ)>0,y(t-σi)>0,

i=1,2,…，m

從t-τ到t對方程(3)積分得

即

(5)

(6)

且

z′(t)=y(t)-y(t-τ)≤

ω′(t)=z(t)-z(t-τ)≤0

(7)

ω(t)≤τz(t-τ)

即

(8)

由(6)式、(7)式和(8)式有

(9)

對(9)式兩邊從T+2σ*到T1積分，再由(4)式可得

ω(T1)≤ω(T+2σ*)-

這與ω(T1)≥0矛盾，故方程(3)無最終正解，證畢.

定理2設(shè)bk>0對所有k=1,2,…，成立，pi(t)是非負(fù)實數(shù)，若時滯微分方程

證明由引理1可知，欲證方程(1)振動,只需證方程(3)振動即可.

用反證法.設(shè)y(t)是方程(3)的一個最終正解，仿照定理1的證明，可得

振動矛盾，方程(1)振動，證畢.

[1]Ladas G, Philos C G, Sficas Y G. Sharp condition for the oscillation of delay difference equations[J].Appl Math,1989(2):101-112.

[2]Yu J S,Zhang B G,Wang Z C.Oscillation of delay difference equation[J].Appl Anal,1994,133:117-124.

[3]楊莉.具有變系數(shù)的偶數(shù)階中立型差分方程的振動性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(4):796-801.

[4]申建華.具有連續(xù)變量差分方程的振動性的比較定理及應(yīng)用[J].科學(xué)通報,1996,41(16):1 441-1 444.

[5]黃梅,申建華.具連續(xù)變量的偶數(shù)階中立型差分方程的振動性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(3):399-404.

[6]谷麗彥.具有連續(xù)變量的非線性差分方程的振動性[J].首都師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2000,21(4):16-20.

[7]楊玉華.連續(xù)變量非線性時滯差分方程振動的充要條件[J].河北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2001,25(3):281-283.

[8]Wei G P, Shen J H. Oscillation of solutions of impulsive difference equations with continuous variable[J].Math Appl,2005,18(2):293-296.

[9]李建利,申建華.二階脈沖時滯微分方程的振動性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2010,30(7):990-997.

[10]魏耿平,申建華.具連續(xù)變量差分方程非振動解在脈沖擾動下的保持性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2006,26A(4):595-600.

[11]Tang X H,Yu J S.Oscillation and stability of linear impulsive delay difference equations[J].Math Appl,2001,14(1):28-32.

[12]Ladas G,Pakula L,Wang Z.Necessary and sufficient conditions for the oscillation of difference equations[J].Pan Amer Math J.1992:2(1)16-27.