王汗三，陳 杰

(西安電子科技大學理學院，陜西西安 710071)

圖像恢復是通過計算機處理，對質量下降的圖像加以重建或恢復的處理過程。因攝像機與物體相對運動、系統(tǒng)誤差、畸變、噪聲等因素的影響，使圖像往往不是真實景物的完善映像［1－3］。在遙感圖像處理中，為消除遙感圖像的失真、畸變，恢復目標的反射波譜特性和正確的幾何位置，通常需要對圖像進行恢復處理，包括輻射校正、大氣校正、條帶噪聲消除、幾何校正等內容。在圖像恢復中，對于一個目標函數求極小值，其中要求解的目標函數就是如下的一個不受約束的最優(yōu)化問題［4－7］

其中，f為Rn→R光滑函數，c為Rn→R 正則函數其中定義域x∈Rn。

對于式(1)具體到l2－l1中，有

其中，y∈Rn，A∈Rk×n，k ＜n，τ∈R+標準歐幾里得范數代表lp范數，其中p≥1。式(2)可以用于求出欠定線性方程y=Ax的稀疏近似解［8－9］。

之前涉及上述快速算法包括文獻［2］中的方法。在信號處理中關于l1懲罰項的記載參見文獻［10］。對于上述最優(yōu)化問題比較流行的新的應用，就是壓縮感知(CS)［9］。最新結果顯示，一個稀疏信號相對較少的數據投影，可以包含絕大多數信息。當設置了沒有噪聲的情況下，通過發(fā)現一個可以匹配原始信號的稀疏信號從而精確逼近。

1 方法概述

求解式(1)，可以通過生成一些列的{xt，t=0，1，…}進行迭代求解，首先通過泰勒公式進行展開，并運用MM算法進行簡化

其中，αt∈R+。將式(3)進行化簡得到

其中，ut∈xt－▽f(xt)。將式(3)中前兩項，即(zxt)T▽f(xt)+z－x可以看作一個二次可分離的逼近f(x)，如果對于正則項c(z)是可分離的情況，則式(3)是可分離的形式。對于正則項c(z)是可分離的情況，可寫為如下形式

式(2)中的l1正則項顯然如式(5)所示，即ci(z)=，當正則項是lpp范數時，也滿足式(5)，即正則項是可分離的。

對于正則項是塊可分離的情況，如式(6)所示

其中，x［1］，x［2］，…，x［m］是 x 中 m 個不相交的子集。

綜上所述，可以得到式(3)每一次迭代的解。當正則項c(x)是可分離的或者塊分離的，可以得到有限的極小值。隨后可以證明極小值的解收斂。

2 算法

2.1 算法框架

圖1 算法流程圖

通過選取不同的正則項c(x)，不同的方法選擇αt，序號8中xt+1滿足的條件不同，可以得到不同的實例化。

2.2 正則項c(x)是可分離的，對于子問題的求解

2.3 對于αt的選取

可以用αtI來代替 Hessian矩陣▽2f(x)，令，st=xt－xt－1，Rt= ▽f(xt)－ ▽f(xt－1)，要求 αtst≈Rt從而得到αt

2.4 解的條件

對于每一次迭代，xt+1滿足如下

其中，σ∈(0，1)是一個常量，通常取一個接近于零的數。

2.5 終止條件

終止條件用于迭代程序的最后終止的條件。

2.6 對于的自適應選取

就像GPRS和IST算法，好的初始值對于問題的解是有益處的。關于自適應的選擇就是首先給定一個初始的τ0，用于初始化算法，當第二次運行算法程序時，可以自適應地選擇一個τ，這樣可以減少算法的迭代次數。如果用一個稍大的τ來解決式(1)，然后逐漸縮小到期望值，比直接給定一個較小的τ，通常會更有效。

3 實驗結果

前提條件選取A是［20×40］的隨機矩陣，分別選取x為不同的稀疏度，ζ=1.1。

圖2 參數選取流程

表1 改進后算法與SpaRSA算法的比較

圖3 改進后算法與SpaRSA算法的比較

4 結束語

介紹了用于解決大欠定最優(yōu)化問題的稀疏重構算法SpaRSA，并改進了SpaRSA的解法以及對τ的選取，仿真結果表明，該算法能夠更快的求出近似解，在正則項是凸的情況下，可以證明目標函數的極小解是收斂的。

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