麥 戈，唐照平，唐欣薇

(1.仲愷農(nóng)業(yè)工程學院城市建設學院，廣州 510225;2.中交第三航務工程勘察設計院有限公司，上海 200032;3.華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣州 510640)

1 研究背景

單軸壓縮強度是衡量巖石力學特性的重要指標，通過試驗所確定的各種巖石強度要受到試件的尺寸、形狀、加載速率、濕度等的影響，例如，由于端部效應的存在，巖石試件在靠近端部會存在復雜的應力分布，引起變形破壞的局部化，從而影響巖石的強度［1］。文獻［2］對2種極端墊板情況進行了力學分析，得出端部效應的影響與墊板的剛度性質有關的結論。文獻［3］通過大理巖的單軸試驗發(fā)現(xiàn)，端部加有聚四氟乙烯墊片試驗的單軸抗壓強度要低于端部未加墊片的。文獻［4］利用FLAC3D模擬了因端部摩擦效應而產(chǎn)生的應變局部化。文獻［5］通過試驗分析指出，若采用特殊的裝置減小巖樣端部摩擦后，巖石材料強度的尺寸效應就消失了。

雖然許多學者采取許多措施來減少加載端部和巖石試件之間的摩擦力來消除或者減小端部效應，如在試件的兩端加特殊墊板(片)，如聚四氟乙烯(PC)墊片、氣墊等墊板，仍然不能很好地解決此問題［6－9］。

隨著現(xiàn)代數(shù)值分析技術和計算機技術的進步，人們開始立足于材料的細觀結構，發(fā)展數(shù)值試驗測試技術。區(qū)別于實驗室力學試驗，數(shù)值試驗不但可以實現(xiàn)各種復雜邊界條件，而且可以滿足各種理想的邊界條件。這為研究材料破損行為的機理，提供了有力支持。

本文基于連續(xù)介質力學的方法，采用非線性損傷本構關系描述材料的力學行為，在此基礎上，引入巖石力學性能的Weibull隨機概率分布，以表征巖石力學參數(shù)的非均質特性與損傷局部化現(xiàn)象，建立了巖石細觀力學模型。對巖石試件單軸壓縮試件進行了數(shù)值試驗，對不同摩擦系數(shù)下，端部效應對巖石試件單軸壓縮強度及破壞模式的影響進行了分析。

2 巖石細觀本構模型

2.1 單軸應力－應變關系

本文模型基于連續(xù)介質損傷力學框架以描述巖石材料在細觀尺度下各離散單元的力學特性。按照Lemaitre應變等價原理，受損材料的本構關系可通過無損材料的名義應力與應變關系表示，即

式中:E0為初始彈性模量;為損傷后的彈性模量;D為損傷變量。

2.2 損傷演化定義和強度準則

巖石試件在單軸拉伸時，試件的破裂縫與加載方向垂直且只有一條，即沿最大拉伸變形方向拉斷破壞;單向壓縮時，試件的破裂呈現(xiàn)平行的多條裂縫，即沿加載方向開裂，這主要由于受壓時自由面向外膨脹產(chǎn)生拉伸變形，由此可以認為巖石的受力變形與損傷破裂主要是拉伸變形起控制作用。為簡化計算，采用圖1所示雙折線應力－應變軟化本構關系。其中，ft，fm分別為單元材料的初始抗拉強度和拐點M處的殘余抗拉強度;εt，εm分別為單元應力達到ft，fm時的主拉應變;εf為材料完全喪失抗拉強度時的極限拉應變。引入fm=λft，(εf－εt)=η(εm－εt)，λ 和 η 分別為單元的殘余強度系數(shù)和極限應變系數(shù)(通常取λ=0.1，η=10)。引入軟化段折線模量Et1與Et2以表征上述關系。相應地，式(1)中剛度退化變量D的定義可由式(3)確定。

圖1 應力－應變本構關系Fig.1 Stress-strain constitutive relation

計算模型中采用最大拉應力準則。為滿足斷裂能守恒準則，定義裂縫擴展單位面積所吸收的能量是唯一的，根據(jù)Baz?nt的斷裂能守恒原理，基于細觀單元的離散尺度以及材料斷裂能參數(shù)對圖1采用的應力應變關系進行調整，以避免計算結果對網(wǎng)格的敏感性。為推廣至二維及三維應力狀態(tài)，本文參考Fenves模型中關于損傷定義由一維擴展至多維的方法，將上述本構模型推廣至平面及三維應力狀態(tài)［10］。

3 單軸壓縮的數(shù)值試驗

3.1 數(shù)值模型

數(shù)值模型采用二維平面應變有限元模型(如圖2)，巖石試樣尺寸100 mm×100 mm，劃分為100×100個單元，采用位移控制的加載方式。

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element meshes

考慮到巖石本身存在各種缺陷，如微裂紋、孔洞等，材料力學參數(shù)的分布具有一定的隨機性。為了更加合理地描述巖石的非均質性，可假定巖石材料細觀單元的力學性質(彈性模量、強度)滿足Weibull分布，該分布可依照如下分布函數(shù)來定義:

式中:u代表滿足該分布參數(shù)(如強度、彈性模量等)的數(shù)值;m為材料均質度，反映了統(tǒng)計模型中材料結構的均勻程度，當其由小到大變化時，材料細觀單元強度分布函數(shù)由扁而寬向高而窄變化，細觀單元強度趨于均勻;u0是一個與均值E(u)有關的參數(shù)。

為了研究端部效應對巖石力學性能的影響，保證結果的可靠性，本文選取6組加載鋼板與巖石間的摩擦系數(shù)，即 f=0.01，0.2，0.3，0.4，0.5和0.6，基于Monte Carlo法每組產(chǎn)生5個樣本，用以反映宏觀力學性質相同的巖石的細觀結構隨機性。隨機分布的數(shù)值樣本如圖3所示。顏色灰度反映了單元力學參數(shù)的高低。根據(jù)衡陽產(chǎn)砂巖的相關試驗結果［11］，可選取如下力學性質參數(shù)(見表1)。

圖3 巖石試件的隨機樣本Fig.3 Random samples for rock specimens

表1 巖石主要力學參數(shù)表Table 1 Mechanical parameters of rock

3.2 結果與分析

圖4為不同摩擦系數(shù)下巖石試件開裂形態(tài)，可見，當加載板與巖石試件摩擦力較小時(f=0.01)，巖石試件的宏觀壓縮破裂形式主要表現(xiàn)出與加載方向平行的縱向破裂。隨著加載板與巖石試件間摩擦系數(shù)的增加，巖石試件端部受加載板的側向約束越強，使得試件的宏觀壓縮破裂形式表現(xiàn)出X型劈裂或近似斜面剪切破裂。

圖4 巖石試件開裂形態(tài)Fig.4 Failure patterns of rock specimens

巖石試件的破裂大致分為線性變形—裂紋發(fā)展—裂紋貫穿3個階段。在加載初期，巖石試件受到側向的約束，在試件兩端開始出現(xiàn)局部破壞，并在靠近加載板的一側形成局部的縱向劈裂裂紋。隨著荷載的不斷增加，局部裂紋逐漸向試件中間快速發(fā)展，直至貫穿整個試樣。

圖5展示了不同摩擦系數(shù)下巖石試件的抗壓強度－應變包絡曲線。隨著端部摩擦系數(shù)的增加，巖石試件表現(xiàn)出來的單軸抗壓強度趨于增大。這表明試驗機壓頭作用于壓墊板壓縮試樣時，試樣的側向膨脹受到抑制，存在指向試樣中心的剪切摩擦力，這有助于提高試樣的測試強度。在試樣長度較小時尤其顯著。

此外，在各組端部摩擦包絡曲線下，巖石試件彈性段差別較小，進入非線性軟化后，則出現(xiàn)較大的差異。隨著端部摩擦系數(shù)的增加，巖石試件的應力－應變曲線的峰值逐漸提高，軟化段也變得平緩一些。

圖5 不同摩擦系數(shù)的上下包絡曲線比較Fig.5 Comparison of upper and lower envelope curves of uniaxial compression of specimens in the presence of different friction indexes

圖6給出了不同摩擦系數(shù)下，巖石試件抗壓強度的變化?？梢?，隨著端部摩擦系數(shù)的增加，試件的單軸抗壓強度逐漸增加。當摩擦系數(shù)達到0.4后，抗壓強度增加幅度變小。

圖6 不同摩擦系數(shù)的抗壓強度比較Fig.6 Comparison of compressive strength in the presence of different friction indexes

4 結語

本文基于細觀力學，考慮巖石材料的非均質特性，假定巖石材料力學性質符合Weibull概率統(tǒng)計分布，在連續(xù)介質損傷力學框架上建立了有限元概率損傷數(shù)值模型。基于該模型對巖石單軸壓縮強度的端部效應進行了數(shù)值仿真試驗。結果表明:受端部效應的影響，巖石試件(特別是長度較小)的破裂形態(tài)、強度－應變曲線出現(xiàn)顯著的影響。為獲取真實的巖石力學特性，需有效地控制實驗室試驗條件，降低端部效應對測量結果的影響。

［1］TANG C A.THAM L G，LEE PK K，et al.Numerical Studies of the Influence of Microstructure on Rock Failure in Uniaxial Compression PartⅡ:Constraint，Slenderness and Size Effect［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2000，37(4):571 －583.

［2］TANG C A，LIU H，LEE P K K，et al.Numerical Studies of the Influence of Microstructure on Rock Failure in Uniaxial Compression Part I:Effect of Heterogeneity［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2000，37(4):555 －569.

［3］尤慶明，蘇承東.大理巖試樣的長度對單軸壓縮試驗的影響［J］.巖石力學與工程學報，2004，23(22):2754－2760.(YOU Qing-ming，SU Cheng-dong.Effect of Length of Fine and Coarse Crystal Marble Specimens on Uniaxial Compression Tests［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2004，23(22):2754 －2760.(in Chinese))

［4］劉繼國.端部摩擦對應變局部化影響的數(shù)值模擬［J］.土工基礎，2006，20(5):47－60.(LIU Ji-guo.The Simulation to the Effects on Strain Localization Due to End Friction［J］.Soil Engineering and Foundation，2006，20(5):47－60.(in Chinese))

［5］楊圣奇，蘇承東，徐衛(wèi)亞.巖石材料尺寸效應的試驗和理論研究［J］.工程力學，2005，22(4):112－118.(YANG Sheng-qi，SU Cheng-dong，XU Wei-ya.Experimental and Theoretical Study of Size Effect of Rock Material［J］.Engineering Mechanics，2005，22(4):112 －118.(in Chinese))

［6］梁正召，唐春安，張娟霞，等.巖石三維破壞數(shù)值模型及形狀效應的模擬研究［J］.巖土力學，2007，28(4):699 －704.(LIANG Zheng-zhao，TANG Chun-an，ZHANG Juan-xia， et al.Three-dimensional Damage Model for Failure Process of Rocks and Associated Numerical Simulation of Geometry Effect［J］.Rock and Soil Mechanics，2007，28(4):699 －704.(in Chinese))

［7］MOGI K.Dilatancy of Rocks under General Triaxial Stress States with Special Reference to Earthquakes Precursors［J］.Journal of Physics of the Earth，1977，(25):203－217.

［8］MOGI K.Experimental Rock Mechanics［M］.London:Taylor＆ Francis/Balkema，2007.

［9］許東俊.茂木巖石真三軸壓縮儀的結果及特點［J］.巖土力學，1980，2(3):77－84.(XU Dong-jun.The Structural and Features of Mogi’s True Triaxial Compression Apparatus for Rock［J］.Rock and Soil Mechanics，1980，2(3):77 －84.(in Chinese))

［10］TANG Xin-wei，ZHOU Yuan-de，ZHANG Chu-han，et al.Study on the Heterogeneity Character of Concrete Failure Based on the Equivalent Probabilistic Model［J］.Journal of Materials in Civil Engineering，ASCE，2011，23(4):402－413.

［11］TANG Xin-wei，ZHANG Chu-han，SHI Jian-jun.A Multiphase Mesostructure Mechanics Approach to the Study of the Fracture-damage Behavior for Concrete［J］.Science China in Series E，2008，51(Sup.2):8－24.