汪建勛

（吉林大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林 長春130012）

0 引 言

多分量感應(yīng)測井儀器是一種能夠同時提供地層縱橫向電阻率信息的新一代測井技術(shù)［1－3］，該儀器包含有3個相互正交的發(fā)射線圈（Tx、Ty和Tz）和接收線圈（Rx、Ry和Rz），利用不同方向發(fā)射源在地層中產(chǎn)生出的感應(yīng)電磁場，同時測量9個不同分量的感應(yīng)磁場，提取出地層縱橫向電阻率、井眼相對傾角等參數(shù)。

由于共面線圈系電磁場不再具有軸對稱性，需要借助電磁三維數(shù)值模擬技術(shù)［4－8］進行多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的研究，其運算效率較低且計算機內(nèi)存占用量較大。所以，三維數(shù)值模擬往往采用較為簡單的地層模型，且對電阻率反差較大及層數(shù)較多的復(fù)雜模型，三維測井響應(yīng)的準確模擬仍然面臨諸多問題。針對感應(yīng)測井三維數(shù)值模擬中存在的問題，研究效率更高和精度更好的其他算法一直受到廣泛關(guān)注，例如，水平層狀和柱狀各向異性地層中測井響應(yīng)的解析算法［9－12］、層狀非均質(zhì)地層中的數(shù)值模式匹配算法等均具有精確高效的特點［13－14］，特別是數(shù)值模式匹配算法在側(cè)向、感應(yīng)等常規(guī)電測井數(shù)值模擬和反演方面已發(fā)揮了重要作用［15－19］。此外，數(shù)值模式匹配算法同時解決了不含井眼的水平層狀地層中多分量感應(yīng)響應(yīng)的快速模擬與反演問題，最近已經(jīng)被成功推廣應(yīng)用與含有井眼和侵入帶的水平層狀非均質(zhì)地層中多分量感應(yīng)測井的數(shù)值模擬與反演［20－22］。用數(shù)值模式匹配算法進行含有井眼和侵入帶的層狀非均質(zhì)地層中多分量感應(yīng)測井數(shù)值模擬的主要困難是柱狀電導(dǎo)率界面上的積累面電荷。

本文利用文獻［20］至文獻［21］中的相關(guān)方法，針對柱狀分界面上的積累面電荷對電磁場的影響問題，通過傅氏級數(shù)展開與分離變量法以及電阻率徑向?qū)?shù)的奇異性，建立電磁場水平分量的2個奇異算子方程，用于描述柱狀分界面上積累面電荷的效應(yīng)。并利用模式匹配技術(shù)給出層狀非均質(zhì)各向異性地層中磁場并矢Green函數(shù)的半解析解以及多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的計算方法，最后通過數(shù)值模擬結(jié)果考察不同井眼泥漿電阻率和侵入深度上多分量感應(yīng)測井響應(yīng)。

1 理 論

圖1是水平層狀各向異性非均質(zhì)地層模型的示意圖。模型中的地層總層數(shù)假定為N；σHT，n、σVT，n（σHx，n和σVx，n）、（n＝1，2，…，N）分別表示地層n中的原狀地層（侵入帶）橫向和縱向電導(dǎo)率；rxo，n（n＝1，2，…，N）、dn（n＝2，3，…，N）分別是侵入半徑和水平界面位置；井眼半徑和井眼泥漿電導(dǎo)率分別為a、σmd。圖1中還建立了相應(yīng)坐標系xyz，其中z軸與井軸重合且垂直于地層層面，正交發(fā)射和接收線圈分別用（êx，êy，êz）、（Rx，Ry和Rz）表示，它們構(gòu)成一個簡單的多分量感應(yīng)測井儀器。此外，從圖1可以看出地層中的縱橫向電導(dǎo)率的空間分布是分片常數(shù)的且具有軸對稱性，同時電導(dǎo)率函數(shù)在柱狀界面上出現(xiàn)間斷。

圖1 地層模型與陣列多分量感應(yīng)儀器結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 Fourier級數(shù)展開與奇異算子方程

多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的數(shù)值模擬實質(zhì)上是求解Maxwell方程［13－14］

式中，Ep、Hp是發(fā)射線圈（p＝x，y，z）產(chǎn)生的電磁場＝dian（σH，σH，σV）是電導(dǎo)率張量；磁導(dǎo)率μ為常數(shù)；ρs假定為發(fā)射線圈的半徑；ω為發(fā)射信號的角頻率，且忽略位移電流影響。利用直角坐標與柱坐標間的轉(zhuǎn)化關(guān)系ρ＝和θ＝arctan（x／y），柱坐標系（ρ，θ，z）下，式（1）中的3個正交發(fā)射線圈可分別展開為如下形式傅氏級數(shù)

其中，l＝0。

由于電導(dǎo)率空間分布的軸對稱性的，式（1）中的電磁場水平分量＝（σH，）T和＝（，）T也具有類似的傅氏級數(shù)展開形式［20－21］

式中，

，l是2×2階微分算子。由于導(dǎo)電率的導(dǎo)數(shù)在徑向邊界上是奇異的，右端項中的第2算子是奇異算子，用于描述柱狀分層界面上積累面電荷影響。

磁場水平分量與電場水平分量間的關(guān)系方程為

式中，

是2×2階的微分算子且右端的第2算子也是奇異算子。

此外，磁場垂直分量與間的關(guān)系方程為

式（6）至式（10）中的各個變量均與極角θ無關(guān)，因此，式（1）中電磁場的三維數(shù)值模擬問題通過傅氏展開被轉(zhuǎn)化為3個軸對稱問題，簡化了數(shù)值模擬過程，有效提高了模擬效率，特別是式（7）和式（9）中奇異算子的引入，有效描述了積累面電荷對電磁場的影響。

1.2 水平層狀非均質(zhì)地層中的電磁場

利用數(shù)值模式匹配算法并經(jīng)過一系列復(fù)雜推導(dǎo)，第n個非均質(zhì)地層中的電場水平分量可表示為半解析形式［20－21］

式（12）中的是模式匹配算法中第n個地層上的本征值組成的對角矩陣。進一步將式（11）代入式（8）和（10）中，經(jīng)整理，得第n個地層中的磁場強度水平分量和垂直分量為

最后，利用柱坐標到直角坐標系的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將式（15）得到的3個正交磁偶極子磁場轉(zhuǎn)換到直角坐標系中，得磁場張量為

對于給定的測量位置，利用磁場張量的3個主分量Hxx、Hyy和Hzz，可計算出多分量感應(yīng)測井儀器的3個主響應(yīng)［1，7］，為

式中，L是發(fā)射線圈和接收線圈間的距離。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

首先利用完全柱狀各向異性地層中解析法（AM）［10］與本文中的數(shù)值模式匹配算法（NMM）得到的數(shù)值結(jié)果的對比，檢驗數(shù)值模式匹配算法（NMM）的有效性；然后，進一步考察泥漿電阻率和侵入半徑變化對多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的影響。數(shù)值模擬中，多分量感應(yīng)測井儀器的源距假定為0.8m，發(fā)射線圈的工作頻率為20kHz，井眼半徑假定為a＝0.1m。由于垂直井眼中的2個共面線圈系主分量相等即＝，且所有交叉分量等于0，所以這里僅給出2個主分量和的數(shù)值結(jié)果。

圖2是完全柱狀各向異性地層中，分別由數(shù)值模式匹配（NMM）和解析法（AM）得到的主分量和的對比結(jié)果，模型中原狀地層縱橫向電阻率RV和RH分別是90Ω·m和20Ω·m。圖2（a）和圖2（b）分別對應(yīng)于泥漿電阻率為Rmud＝1Ω·m和Rmud＝1 000Ω·m情況下的結(jié)果，其中，實線和虛線是由解析法得到的，分散的三角形和五角星是數(shù)值模式匹配法的計算結(jié)果。結(jié)果清楚顯示，在收發(fā)距為0.1～20m的變化范圍內(nèi)NMM算法和AM所得的數(shù)值結(jié)果吻合得非常好，說明在大反差電阻率地層以及在大收發(fā)距變化范圍內(nèi)，NMM仍然能夠得到滿意的計算效果。此外，結(jié)果也清楚反映出在收發(fā)距較小的情況下，泥漿電阻率變化對多分量感應(yīng)響應(yīng)的影響往往很大。

為考察層狀非均質(zhì)地層中泥漿電阻率和侵入深度不同時多分量感應(yīng)測井的響應(yīng)特征，本文設(shè)計出一個9層非均質(zhì)模型。該模型包含4個高電阻率層和3個低電阻率層以及上下圍巖，且所有地層具有各向異性。高電阻率層和低電阻率層厚度均是3m，4個高電阻率層的侵入帶和原狀地層電阻率相同且分別是（Rhx，Rvx）＝（8，26）Ω·m 和（Rht，Rvt）＝（15，65）Ω·m，從上到下4個高電阻率地層的侵入半徑分別是0.1、0.3、0.5m和0.7m。低電阻率層與上下圍巖電阻率相等，其值為（Rht，Rvt）＝（2，5）Ω·m且沒有侵入。圖3是該模型在低電阻率泥漿和高電阻率泥漿2種不同情況下的由NNM算法得到的模擬結(jié)果，其中，粗實線和粗虛線分別代表Rmud＝1Ω·m和Rmud＝1 000Ω·m情況下的測井響應(yīng)。結(jié)果顯示，泥漿電阻率對視電導(dǎo)率的影響非常明顯，且高電阻率泥漿情況下的視電導(dǎo)率與地層電導(dǎo)率更接近。仔細對比不同侵入深度地層上的視電導(dǎo)率的大小，可以看出最上面的無侵高電阻率地層上的視電導(dǎo)率與下面各個有侵高電阻率層上的視電導(dǎo)率存在明顯差異，說明侵入對視電導(dǎo)率有明顯影響，但其他不同侵入深度的高電阻率地層上視電導(dǎo)率的值相差較小，說明共面線圈系視電導(dǎo)率的探測深度不大。此外，共軸線圈系的響應(yīng)與常規(guī)測井響應(yīng)相同，高電阻率泥漿上的視電導(dǎo)率小于低電阻率泥漿上的視電導(dǎo)率值，且在不同侵入深度的地層上，視電導(dǎo)率均存在一定差異，說明共軸線圈系比共面線圈系具有更大的探測深度。

圖2 完全柱狀各向異性地層中NMM與AM所得數(shù)值結(jié)果的對比

圖3 9層水平層狀非均質(zhì)各向異性地層上不同井眼泥漿和侵入深度情況下多分量感應(yīng)測井響應(yīng)

3 結(jié) 論

（1）針對柱狀分界面上積累面電荷對共軸線圈系電磁響應(yīng)的影響問題，通過傅氏級數(shù)展開與分離變量法以及電阻率徑向?qū)?shù)的奇異性，給出關(guān)于電磁場水平分量的2個奇異算子方程。

（2）利用模式匹配技術(shù)得到了層狀非均質(zhì)各向異性地層中磁場并矢Green函數(shù)的半解析表達式，能夠進行層狀非均質(zhì)各向異性地層中多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的數(shù)值模擬。

（3）數(shù)值計算結(jié)果顯示，共面線圈系與共軸線圈系的測井響應(yīng)和存在著較大差異，高電阻率泥漿上視電導(dǎo)率大于低電阻率泥漿上的值，且高電阻率泥漿情況下的視電導(dǎo)率與地層電導(dǎo)率更接近，因此，高電阻率泥漿更有利于共面線圈系資料的解釋。

（4）多分量感應(yīng)響應(yīng)中另一個現(xiàn)象是視電導(dǎo)率在水平界面附近出現(xiàn)明顯犄角以及負的響應(yīng)，這是由于水平界面上的積累面電荷產(chǎn)生的。此外，多分量感應(yīng)測井的響應(yīng)的復(fù)雜性給電測井資料處理和解釋帶來了一個全新的研究課題。

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