劉繼廣, 王海洋,, 鐘利軍, 劉英旋, 李 季, 馬幼捷

(1. 白城師范學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院, 吉林 白城 137000；2. 天津理工大學(xué) 天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300384)

風(fēng)電具有很強(qiáng)的不確定性和隨機(jī)性, 大型風(fēng)電場(chǎng)并網(wǎng)接入將改變系統(tǒng)原有的潮流和網(wǎng)損分布, 從而不同程度地影響接入?yún)^(qū)域電網(wǎng)的電壓穩(wěn)定性[1]. 風(fēng)電系統(tǒng)是一個(gè)高度非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng), 電壓失穩(wěn)的外在表現(xiàn)是幅值振蕩失穩(wěn)或瞬間大幅跌落, 分岔是其中的一個(gè)主要原因, Hopf分岔是電力系統(tǒng)最常見(jiàn)的分岔現(xiàn)象之一[2]. 分岔控制是通過(guò)設(shè)計(jì)控制器或相應(yīng)算法改變系統(tǒng)的分岔特性, 進(jìn)而獲得系統(tǒng)的預(yù)期動(dòng)態(tài)行為延遲或消除系統(tǒng)Hopf分岔. 分岔控制方法目前主要有線(xiàn)性和非線(xiàn)性反饋、 Washout濾波器方法、 標(biāo)準(zhǔn)型理論方法及頻域分析和逼近方法等. 分岔控制的目的是消除或轉(zhuǎn)移系統(tǒng)原有的分岔點(diǎn), 穩(wěn)定分岔周期軌道, 引入新的分岔, 改變極限環(huán)的幅值等.

目前, 電力系統(tǒng)的Hopf分岔控制研究取得了一些成果, 例如: 文獻(xiàn)[3]提出了基于高通濾波器技術(shù)的電力系統(tǒng)Hopf分岔控制, 消除了系統(tǒng)存在的Hopf 分岔點(diǎn), 增大了系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定域； 文獻(xiàn)[4]基于不變項(xiàng)和規(guī)范型給出了電力系統(tǒng)分岔現(xiàn)象的線(xiàn)性和非線(xiàn)性控制的數(shù)學(xué)分析, 但未給出方法的有效性證明； 文獻(xiàn)[5]提出一種以系統(tǒng)負(fù)荷為參數(shù)的多機(jī)電力系統(tǒng)Hopf分岔在線(xiàn)控制方法, 以避免發(fā)生Hopf分岔； 文獻(xiàn)[6-7]結(jié)合參數(shù)穩(wěn)定域的概念, 分別提出了提高電力系統(tǒng)大擾動(dòng)穩(wěn)定性和小擾動(dòng)穩(wěn)定性的最優(yōu)分岔控制策略, 保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

本文考慮風(fēng)電系統(tǒng)的Hopf分岔控制問(wèn)題, 計(jì)算了Hopf分岔點(diǎn), 分析了無(wú)功功率對(duì)Hopf分岔點(diǎn)的影響, 并研究了靜止無(wú)功補(bǔ)償器SVC對(duì)延遲風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的控制作用, 提出利用線(xiàn)性反饋方法消除風(fēng)電系統(tǒng)的Hopf分岔. 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析結(jié)果.

1 Hopf分岔理論及穩(wěn)定性

考慮非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng):

(1)

其中:x∈Rn表示狀態(tài)變量;μ∈J?R表示可變化的系統(tǒng)參數(shù);f: Rn×J→ Rn為唯一的光滑非線(xiàn)性映射. 在平衡點(diǎn)處展開(kāi)式(1), 有

(2)

其中A(μ)為式(1)在點(diǎn)(x0,μ)處的Jacobian矩陣. 當(dāng)μ連續(xù)變化時(shí), 式(1)可從一種響應(yīng)突然跳變?yōu)榱硪环N響應(yīng), 這種現(xiàn)象稱(chēng)為分岔.如果A的特征根為一對(duì)共軛純虛根λ(μc)=α(μc)±jωc(μc), 即α(μc)=0, 且橫截條件α′(μc)≠0, 則式(1)從Lyapunov意義下的穩(wěn)定性突然跳變?yōu)檎袷? 進(jìn)而系統(tǒng)維持周期性的振蕩或振幅不斷增大而導(dǎo)致最終失穩(wěn), 這種分岔稱(chēng)為Hopf分岔.

2 Hopf分岔的解析算法

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔后, 可通過(guò)求解分岔點(diǎn)附近的曲率系數(shù)正負(fù)判斷發(fā)生分岔的類(lèi)型[8]. 本文利用解析算法求解系統(tǒng)(1)的曲率系數(shù)β, 式中變量含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[8].

先在分岔點(diǎn)處, 計(jì)算式(1)的Jacobian矩陣A的特征值為λi(i=1,2,…,n), 將特征值根據(jù)Re(λ1)≥Re(λ2)≥…≥Re(λn)進(jìn)行排序, 然后進(jìn)行變量代換X=X*+UY(X*是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)), 可得Y=f(Y), 當(dāng)有n-2個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),U=(Re(V1),-Im(V1),r3,…,rn), 其中:V1表示λ1(μc)=jω0時(shí)的A(μc)特征向量;r3,…,rn表示μ=μc時(shí)對(duì)應(yīng)于λ3,…,λn的一組特征向量. 如果特征根復(fù)根與實(shí)根數(shù)目不相同, 則U也具有上述形成規(guī)律. 曲率系數(shù)β的計(jì)算公式為

(3)

其中：

3 算例分析

典型含SVC的風(fēng)電系統(tǒng)模型如圖1所示. 該模型由兩個(gè)發(fā)電機(jī)和一個(gè)風(fēng)電場(chǎng)組成, G1為無(wú)窮大電源, G2為2階經(jīng)典同步發(fā)電機(jī)模型, 風(fēng)電場(chǎng)采用動(dòng)態(tài)WALVE負(fù)荷等值的異步發(fā)電機(jī)[9-10], SVC安裝于風(fēng)電場(chǎng)異步發(fā)電機(jī)的等值機(jī)端[8].

圖1 風(fēng)電系統(tǒng)模型Fig.1 Model of wind power system

3.1 無(wú)功功率對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的影響

分岔與系統(tǒng)的參數(shù)變化關(guān)系密切, 當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí), 系統(tǒng)將可能失去結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性[11]. 異步發(fā)電機(jī)吸收的無(wú)功功率將在很大程度上影響風(fēng)電場(chǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行, 因此, 本文先基于延拓算法, 以風(fēng)電場(chǎng)吸收的無(wú)功功率作為分岔參數(shù)進(jìn)行電壓穩(wěn)定性研究.

圖2為風(fēng)電場(chǎng)的端電壓u隨無(wú)功功率Q1變化而發(fā)生分岔的曲線(xiàn), 當(dāng)異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)輸出的有功功率逐漸增加時(shí), 其吸收的無(wú)功功率q會(huì)同時(shí)逐漸增加. 由圖2可見(jiàn), 無(wú)功功率的增加會(huì)導(dǎo)致風(fēng)電場(chǎng)的端電壓u下降, 當(dāng)系統(tǒng)接近于極限點(diǎn)(limit point, LP)前, 即q=1.499 884時(shí), 系統(tǒng)電壓u=0.908 584, 風(fēng)電系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔, 根據(jù)本文給出的解析算法, 可求得此時(shí)風(fēng)電系統(tǒng)特征根為一對(duì)共軛虛根λ(μc)=±j7.324 8, 系統(tǒng)的曲率系數(shù)β=0.031 5. 由Hopf分岔理論, 此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生亞臨界分岔. 當(dāng)風(fēng)電系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔時(shí), 在分岔點(diǎn)附近, 將會(huì)由Lyapunov意義的漸近穩(wěn)定性跳變到不穩(wěn)定的非線(xiàn)性振蕩, 故風(fēng)電場(chǎng)吸收的無(wú)功功率將影響系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性.

3.2 SVC對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的影響

圖3為加裝靜止無(wú)功補(bǔ)償器SVC(Kr=1.5,Tr=0.02)后風(fēng)電場(chǎng)端電壓的Hopf分岔曲線(xiàn). 通過(guò)對(duì)比圖2可知, 加裝SVC后, 提高了風(fēng)電系統(tǒng)的電壓水平, 增加了發(fā)生Hopf分岔對(duì)應(yīng)的H1點(diǎn)的無(wú)功功率(q=11.531 989), 且H1點(diǎn)逼近于LP點(diǎn). 仿真結(jié)果表明, 靜止無(wú)功補(bǔ)償器SVC通過(guò)補(bǔ)償風(fēng)電場(chǎng)所吸收的無(wú)功功率, 延遲了Hopf分岔點(diǎn), 有效提高了系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定運(yùn)行域, 但SVC不能消除Hopf分岔點(diǎn), 使系統(tǒng)安全運(yùn)行在極限點(diǎn)前.

圖2 q對(duì)無(wú)SVC風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的影響Fig.2 Effect of q on Hopf bifurcation of a wind power system without SVC

圖3 q對(duì)加裝SVC風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的影響Fig.3 Effect of q on Hopf bifurcation of a wind power system with SVC

3.3 風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的線(xiàn)性反饋控制

線(xiàn)性反饋控制是非常有效的分岔控制方法, 可應(yīng)用于高維系統(tǒng)及多種分岔現(xiàn)象的控制[12]. 本文針對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)的亞臨界Hopf分岔, 采用線(xiàn)性反饋控制器進(jìn)行控制.

對(duì)式(1)的線(xiàn)性化系統(tǒng)(2)施加狀態(tài)反饋控制, 則受控的線(xiàn)性系統(tǒng)為

x=A(μ)x+Bu,

(4)

其中:B∈Rn×n是待定的常數(shù)矩陣;u∈Rn是控制向量,

u=-k(x-x0),

(5)

k∈Rn×n表示待定的常數(shù)矩陣, 可通過(guò)閉環(huán)系統(tǒng)(4)的x=A(μ)x-Bk(x-x0)在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣所選定特征值求取.

對(duì)于上述風(fēng)電系統(tǒng)

x=(δ,ω,θ,u,b)T,f=(f1,f2,…,fn)T.

(6)

(7)

其中k=(kij)為反饋增益矩陣, 可有n2個(gè)元素作為控制參數(shù). 可取對(duì)角陣

(8)

作為反饋增益矩陣, 當(dāng)kii都取正值而絕對(duì)值又足夠大時(shí), 目標(biāo)態(tài)達(dá)到穩(wěn)定, 有

反饋控制可針對(duì)少數(shù)變量甚至單個(gè)變量, 通過(guò)參數(shù)的合適選擇, 即可達(dá)到通過(guò)單一變量穩(wěn)定目標(biāo)態(tài), 甚至控制分岔的目標(biāo). 本文取

(9)

可使系統(tǒng)(3)的主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸, 其他的極點(diǎn)為遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)數(shù), 不對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生影響, 消除了Hopf分岔. 當(dāng)原風(fēng)電系統(tǒng)的運(yùn)行點(diǎn)受負(fù)荷的小擾動(dòng)而偏離平衡點(diǎn)時(shí), 即可在反饋控制器作用下快速回到平衡點(diǎn).

圖4為在不改變系統(tǒng)(6) 平衡點(diǎn)的前提下, 采用上述線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制的Hopf分岔曲線(xiàn). 顯然加入反饋控制后, 系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)被消除, 但該反饋不能為系統(tǒng)提供無(wú)功功率, 所以風(fēng)電場(chǎng)的電壓水平并未得到提高. 圖5為含SVC風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的線(xiàn)性變量反饋控制曲線(xiàn). 由圖5可見(jiàn), Hopf分岔點(diǎn)被消除的同時(shí), 由于SVC能夠補(bǔ)償風(fēng)電場(chǎng)吸收的無(wú)功功率, 所以電壓穩(wěn)定域得到提高.

圖4 不含SVC風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔 的線(xiàn)性變量反饋控制曲線(xiàn)Fig.4 Hopf bifurcation linear feedback control curve of the wind power system without SVC

圖5 含SVC風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔 的線(xiàn)性變量反饋控制曲線(xiàn)Fig.5 Hopf bifurcation linear feedback control curve of the wind power system with SVC

綜上可見(jiàn), 基于異步發(fā)電機(jī)的風(fēng)電系統(tǒng)屬于非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng), 具有非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)獨(dú)有的分岔現(xiàn)象. 本文通過(guò)對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象進(jìn)行分析, 研究了無(wú)功功率對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響. 結(jié)果表明, 采用單個(gè)變量的反饋控制方法對(duì)含SVC風(fēng)電系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)可進(jìn)行有效控制, 消除了Hopf分岔點(diǎn), 防止了電壓崩潰, 且易于實(shí)現(xiàn).

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