汪 寧, 吳洪博

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 西安 710062)

隨著模糊命題邏輯系統(tǒng)的發(fā)展, 各種模糊邏輯代數(shù)相繼出現(xiàn). 吳望名[1]提出了Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱FI代數(shù)), 并討論了正則FI代數(shù)和HFI代數(shù). 徐揚[2]將格與蘊涵代數(shù)結(jié)合在一起, 建立了格蘊涵代數(shù). 王國俊[3]提出了模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)L*, 建立了R0-代數(shù)[4-5]. Hjek[6]提出了BL-邏輯代數(shù). Esteva等[7]提出了另一種形式系統(tǒng)MTL, 并且提出了相應(yīng)的MTL-代數(shù). 吳洪博[8]提出了基礎(chǔ)R0-代數(shù)(BR0-代數(shù)), 通過對BR0-代數(shù)的研究, 給出了BR0-代數(shù)的一種無序表示形式, 并將這種無序表示形式進行弱化, 提出了WBR0-代數(shù)[9]. 程國勝[10]引入了R0-代數(shù)的濾子和理想.文獻[11]討論了WBR0-代數(shù)的正則性與其他邏輯代數(shù)的關(guān)系; 文獻[12]研究了Fuzzy商代數(shù)與同態(tài)基本定理. 本文基于WBR0-代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征, 通過將其正則性條件弱化, 建立了SWBR0-代數(shù), 并在此基礎(chǔ)上提出了SWBR0-代數(shù)蘊涵理想的概念, 討論了由蘊涵理想誘導(dǎo)的商代數(shù), 研究了其基本性質(zhì),得到了SWBR0-代數(shù)的同態(tài)基本定理.

1 SWBR0-代數(shù)及基本性質(zhì)

在WBR0-代數(shù)[9]定義中, 條件(b→0)→(a→0)=a→b體現(xiàn)了該代數(shù)結(jié)構(gòu)的正則性[11]. 因為正則性要求特別強, 例如BL-代數(shù)、 MTL-代數(shù)、 Heyting代數(shù)等邏輯代數(shù)均不滿足正則性質(zhì), 因此, 當考慮WBR0-代數(shù)更廣泛的應(yīng)用時, 需要將正則性質(zhì)進行弱化或刪除. 本文先將WBR0-代數(shù)中的正則性條件(b→0)→(a→0)=a→b進行刪除, 提出了SWBR0-代數(shù)的概念.

定義1一個(2,2,0,0)型代數(shù)(M,(⊕,→,0,1))稱為SWBR0-代數(shù)是指?a,b,c∈M, 下列條件成立:

(S1)a⊕0=a;

(S2)a⊕b=b⊕a;

(S3)a→(b→c)=b→(a→c);

(S4) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1;

(S5)a→(a⊕b)=1;

(S6) (a⊕b)→c=(((a→c)→0)⊕((b→c)→0))→0;

(S7) 1→a=a;

(S8) 若a→b=1,b→a=1, 則a=b.

根據(jù)文獻[9]知, SWBR0-代數(shù)(M,(⊕,→,0,1))是WBR0-代數(shù)當且僅當: ?a,b∈M, 下列條件成立:

(S9)a→b=(b→0)→(a→0).

性質(zhì)1設(shè)M是SWBR0-代數(shù), ?a∈M, 則有:

1) 0→a=1;

2)a→1=1;

3)a→a=1;

4)a→((a→0)→0)=1;

5)a→0=((a→0)→0)→0.

證明: 1) 由文獻[9]知, 0→a=1成立.

2) 由(S3),(S4)得(0→1)→((1→a)→(0→a))=1, 再結(jié)合1)和(S7)得1=1→(a→1)=a→1, 即a→1=1.

3) 由(S1),(S5)得a→a=a→(a⊕0)=1.

4) 由(S3)和3)得a→((a→0)→0)=(a→0)→(a→0)=1.

5) 由4)得a→((a→0)→0)=1, 結(jié)合(S4)得(a→((a→0)→0))→((((a→0)→0)→0)→(a→0))=1. 由(S7)得(((a→0)→0)→0)→(a→0)=1. 又由4)得(a→0)→(((a→0)→0)→0)=1, 則由(S8)得a→0=((a→0)→0)→0.

命題1設(shè)M是SWBR0-代數(shù), 定義關(guān)系≤: ?a,b∈M,a≤b當且僅當a→b=1, 則:

1) ≤是M上的偏序關(guān)系;

2) 0,1分別是M中的最小元和最大元;

3) ?a,b,c∈M, 若a≤b, 則c→a≤c→b,b→c≤a→c;

4) ?a,b∈M, 則a⊕b是a和b的上確界.

證明: 1),3),4)在NBR0-代數(shù)或WBR0-代數(shù)中已證明, 但證明過程并未涉及(S9)[9], 再結(jié)合SWBR0-代數(shù)的定義知, 結(jié)論成立.

2) 由1)及性質(zhì)1中1),2)知, 結(jié)論成立.

2 SWBR0-代數(shù)的蘊涵理想

定義2設(shè)M是SWBR0-代數(shù),D是M的一個子集, 若?x,y∈M, 下列條件成立, 則稱D為M上的一個蘊涵理想:

1) 0∈D;

2) 若y∈D, (x→y)→0∈D, 則x∈D.

圖1 格MFig.1 Lattice M

圖2 →運算Fig.2 Implication operator

由文獻[13]知,M是一個SWBR0-代數(shù). 令D={0,a,b}, 則容易驗證D是M的蘊涵理想.

命題2設(shè)M是SWBR0-代數(shù),D是M的一個蘊涵理想, 則:

1) 若y∈D,x≤y, 則x∈D;

2) 若(x→0)→0∈D, 則x∈D;

3) 若x→y∈D, 則y∈D;

證明: 1) 由x≤y得x→y=1, 從而由(S7)得(x→y)→0=1→0=0∈D, 又y∈D, 所以x∈D.

2) 由定義2知,x∈D.

3) 由(S3)和性質(zhì)1中2),3)知,y→(x→y)=x→(y→y)=1, 則y≤x→y. 又x→y∈D, 由1)知,y∈D.

定理1設(shè)M是SWBR0-代數(shù),D是M的一個非空集合, 則下列條件等價:

1)D是M的蘊涵理想;

2) ?x,y,z∈M, 若x∈D,y∈D, 且y≥(z→x)→0, 則z∈D.

證明: 1)?2). 因為y∈D, (z→x)→0≤y, 所以由命題2中1)知, (z→x)→0∈D. 又x∈D, 則由定義2知,z∈D.

2)?1). ① 因為D≠?, 所以?x∈D. 由命題1中2)知,x≥0. 又由性質(zhì)1中1)和(S7)知, (0→x)→0=1→0=0, 則x≥(0→x)→0, 故由2)知, 0∈D.

② 設(shè)w∈D, (v→w)→0∈D. 因為(v→w)→0≥(v→w)→0, 所以由2)知,v∈D.

定義3設(shè)M是SWBR0-代數(shù), 如果～滿足下列條件, 則稱～是M上的同余關(guān)系:

1) ～是等價關(guān)系;

2) ～被M上的運算→,⊕所保持, 即?x,y,z,w∈M, 若x～y,z～w, 則x→z～y→w,x⊕z～y⊕w.

命題3設(shè)～是SWBR0-代數(shù)M上的同余關(guān)系, 則D～={a∈Ma～0}是M上的蘊涵理想.

證明: 1) 因為0～0, 所以0∈D～.

2) 設(shè)y∈D～, (x→y)→0∈D～, 則y～0, (x→y)→0～0. 由～是同余關(guān)系,x～x,0～0得

y→0～0→0=1,x→((x→y)→0)～x→0,

由(S3)得(x→y)→(x→0)～x→0, 由(S4)得(y→0)→((x→y)→(x→0))=1, 結(jié)合y→0～1, 得

(y→0)→((x→y)→(x→0))～1→(x→0),

即x→0～1, 所以(x→0)→0～1→0=0.

又由性質(zhì)1中4)得x→((x→0)→0)=1, 則x≤(x→0)→0, 從而

(x→0)→0=((x→0)→0)⊕x～0⊕x=x,

所以(x→0)→0～x, 進而由(x→0)→0～0得x～0, 即x∈D～. 故D～是M上的蘊涵理想.

引理1設(shè)M是SWBR0-代數(shù),D是M的一個蘊涵理想, 定義x～Dy當且僅當(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D(x,y∈M), 則～D是M上的等價關(guān)系.

證明: ?x,y,z∈M, 分下列幾種情況證明:

1) 由性質(zhì)1中3)和(S7)得(x→x)→0=0∈D, 則x～Dx.

2) 若x～Dy, 則(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 即(y→x)→0∈D, (x→y)→0∈D, 故y～Dx.

3) 若x～Dy,y～Dz, 則(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 且(y→z)→0∈D, (z→y)→0∈D. 由(S3),(S4)得(x→y)→((y→z)→(x→z))=1, 則

((x→y)→((y→z)→(x→z)))→((((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0))=1.

結(jié)合(S7)得

(((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0)=1,

則

((((y→z)→(x→z))→0)→((x→y)→0))→0=1→0=0∈D.

又(x→y)→0∈D, 則((y→z)→(x→z))→0∈D.

令A(yù)=(y→z)→(x→z),B=(x→z)→0,C=(y→z)→0, 則A→0∈D,C∈D. 又由(S3),(S4)得

A→(B→C)=1, (A→(B→C))→(((B→C)→0)→(A→0))=1,

從而由(S7)得((B→C)→0)→(A→0)=1, 于是

(((B→C)→0)→(A→0))→0=1→0=0∈D.

又A→0∈D, 所以(B→C)→0∈D. 因為C∈D, 所以B∈D, 即(x→z)→0∈D.

同理可證(z→x)→0∈D. 故x～Dz. 所以～D是M上的等價關(guān)系.

定理2設(shè)M是SWBR0-代數(shù),D是M的一個蘊涵理想, 定義x～Dy當且僅當(x→y)→0∈D,(y→x)→0∈D(x,y∈M), 則～D是M上的同余關(guān)系.

證明: 由引理1知, ～D是M上的等價關(guān)系. 只需證明～D被⊕,→所保持.

1) 設(shè)x～Dy,z～Dw, 下證x⊕z～Dy⊕w.

因為x～Dy, 則(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D. 又由命題1中3)得(x→(y⊕z))→0≤(x→y)→0, 由命題2中1)知, (x→(y⊕z))→0∈D. 因為

故由性質(zhì)1中5)知, (((x→(y⊕z))→0)→0)→0∈D, 即((x⊕z)→(y⊕z))→0∈D. 同理可證((y⊕z)→(x⊕z))→0∈D. 則x⊕z～Dy⊕z.

因為z～Dw,y～Dy, 同理可得z⊕y～Dw⊕y. 又z⊕y=y⊕z,w⊕y=y⊕w, 所以由～D的傳遞性知,

x⊕z～Dy⊕z～Dz⊕y～Dw⊕y～Dy⊕w,

即x⊕z～Dy⊕w.

2) 設(shè)x～Dy,z～Dw, 下證x→z～Dy→w.

因為x～Dy,z～Dz, 所以(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D. 由引理1的證明3)得

((y→z)→(x→z))→0∈D.

同理可得((x→z)→(y→z))→0∈D. 則x→z～Dy→z. 又z～Dw,y～Dy, 類似可證y→z～Dy→w. 由～D的傳遞性可知,x→z～Dy→w.

綜上可知, ～D是M上的同余關(guān)系.

3 基于蘊涵理想的SWBR0-代數(shù)的商代數(shù)

設(shè)D是SWBR0-代數(shù)的一個蘊涵理想, 定義x～Dy當且僅當(x→y)→0∈D, (y→x)→0∈D, 由引理1知, ～D是M上的等價關(guān)系. 設(shè)x所在的等價類為[x](x∈M), 全體等價類記為M/～D. 由定理2知, ～D是M上的關(guān)于運算→,⊕的同余關(guān)系, 從而可得到M/～D上的誘導(dǎo)運算→,⊕. 它們的定義分別為

→: (M/～D)2→M/～D: [x]→[y]=[x→y] ([x],[y]∈M/～D);

⊕: (M/～D)2→M/～D: [x]⊕[y]=[x⊕y] ([x],[y]∈M/～D),

(M/～D,⊕,→,[0],[1])稱為M關(guān)于～D的商代數(shù), 記作M/D.

定理3設(shè)D是SWBR0-代數(shù)的一個蘊涵理想, 則M/D是SWBR0-代數(shù).

證明: ?[a],[b],[c]∈M/D, 有:

1) [a]⊕[0]=[a⊕0]=[a];

2) [a]⊕[b]=[a⊕b]=[b⊕a]=[b]⊕[a], 即[a]⊕[b]=[b]⊕[a];

3) 因為[a]→([b]→[c])=[a]→[b→c]=[a→(b→c)]=[b→(a→c)],

[b]→([a]→[c])=[b]→[a→c]=[b→(a→c)],

所以[a]→([b]→[c])=[b]→([a]→[c]);

4) ([b]→[c])→ (([a]→[b])→([a]→[c]))=[b→c]→([a→b]→[a→c])=

[b→c]→[(a→b)→(a→c)]=[(b→c)→((a→b)→(a→c))]=[1];

5) [a]→([a]⊕[b])=[a]→[a⊕b]=[a→(a⊕b)]=[1];

6) ([a]⊕[b])→[c]= [(a⊕b)→c]=[(((a→c)→0)⊕((b→c)→0))→0]=

([(a→c)→0]⊕[(b→c)→0])→[0]=

(([a→c]→[0])⊕([b→c]→[0]))→[0]=

((([a]→[c])→[0])⊕(([b]→[c])→[0]))→[0];

7) [1]→[a]=[1→a]=[a];

8) 設(shè)[a]→[b]=[1], [b]→[a]=[1], 則[a→b]=[b→a]=[1], 即a→b～D1,b→a～D1. 因此(a→b)→0～D1→0=0, 所以(((a→b)→0)→0)→0∈D. 結(jié)合性質(zhì)1中5)知, (a→b)→0∈D.

同理可證(b→a)→0∈D. 所以a～Db, 即[a]=[b].

綜上,M/D是一個SWBR0-代數(shù).

定理4設(shè)M是SWBR0-代數(shù), 則典型映射p:M→M/D是滿同態(tài).

證明: 典型映射[4]p:M→M/D的定義為p(x)=[x],x∈M. 因為p(M)=[M]=M/～D, 所以p是滿射. ?x,y∈M, 有

p(x→y)=[x→y]=[x]→[y]=p(x)→p(y),

p(x⊕y)=[x⊕y]=[x]⊕[y]=p(x)⊕p(y),

故p是M→M/D的滿同態(tài).

定理5設(shè)Y,Z是SWBR0-代數(shù),f是Y到Z的代數(shù)同態(tài),D,D′分別是Y,Z的蘊涵理想, 若f(D)?D′, 則存在代數(shù)同態(tài)f*:Y/D→Z/D′.

證明: 定義f*:Y/D→Z/D′. ?y∈Y,f*([y])=[f(y)].

下面說明f*定義的合理性. ?y1,y2∈Y, 若[y1]=[y2], 即y1～Dy2, 則(y1→y2)→0∈D, (y2→y1)→0∈D, 從而有

f((y1→y2)→0)∈f(D)?D′,f((y2→y1)→0)∈f(D)?D′,

于是

(f(y1)→f(y2))→0∈D′, (f(y2)→f(y1))→0∈D′,

所以f(y1)～D′f(y2), 即[f(y1)]=[f(y2)]. 故f*的定義是合理的.

?y1,y2∈Y, 有

f*([y1]→[y2])=f*([y1→y2])=[f(y1→y2)]=[f(y1)]→[f(y2)]=f*([y1])→f*([y2]),

f*([y1]⊕[y2])=f*([y1⊕y2])=[f(y1⊕y2)]=[f(y1)]⊕[f(y2)]=f*([y1])⊕f*([y2]),

則f*是Y/D→Z/D′的同態(tài).

定理6設(shè)(X,⊕,→,0,1), (Y,⊕′,→′,0,1)是SWBR0-代數(shù),f:X到Y(jié)的滿同態(tài), 則Kerf={xf(x)=0,x∈X}是X的蘊涵理想, 且X/Kerf?Y.

證明: 因為f(0)=0, 所以0∈Kerf. 若y∈Kerf, (x→y)→0∈Kerf, 則f(y)=0,f((x→y)→0)=0, 從而有(f(x)→f(y))→f(0)=0, 即(f(x)→0)→0=0, 又f(x)≤(f(x)→0)→0, 于是f(x)≤0, 因為f(x)≥0, 所以f(x)=0, 即x∈Kerf, 故Kerf是X的蘊涵理想.

設(shè)g是X→X/Kerf的映射, 由定理4知,g是滿同態(tài). 定義h:X/Kerf→Y, ?x∈X,h([x])=f(x). ?x,y∈X,x～y當且僅當(x→y)→0∈Kerf, (y→x)→0∈Kerf, 當且僅當(f(x)→f(y))→0=0, (f(y)→f(x))→0=0. 因此x～y當且僅當f(x)～f(y). 從而h的定義是合理的.

因為f是滿射, 所以h是滿射. ?x,y∈X, 若f(x)=f(y), 則f(x)～f(y), 從而x～y, 即[x]=[y], 則f是單射, 所以f是雙射.

?x,y∈X, 有

h([x]→[y])=h[x→y]=f(x→y)=f(x)→′f(y)=h([x])→′h([y]),

h([x]⊕[y])=h[x⊕y]=f(x⊕y)=f(x)⊕′f(y)=h([x])⊕′h([y]),

所以f是同構(gòu). 故X/Kerf?Y.

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