王俊彥,程 毅,孫佳慧

(1.長春工業(yè)大學(xué)人文信息學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部,長春 130122;2.渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)系,遼寧 錦州 121013;3.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部,長春 130022)

近年來,關(guān)于發(fā)展方程及包含反周期問題的研究已有許多結(jié)果[1-6].文獻(xiàn)[7]在集值函數(shù)取非凸值的情況下,給出了發(fā)展包含解的存在性.本文在文獻(xiàn)[7]假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,研究反周期發(fā)展包含端點(diǎn)解的存在性.

設(shè)H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結(jié)構(gòu),且連續(xù)地緊嵌入H.V等同于H及其對(duì)偶,因此有V→H→V*,其中所有嵌入都是連續(xù)和稠密的.設(shè)I=[0,T]是一個(gè)閉區(qū)間,X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1且1/p+1/q=1.‖·‖X表示X中的范數(shù),(·,·)表示空間H的內(nèi)積,〈·,·〉表示(V,V*)中的對(duì)偶對(duì),〈〈·,·〉〉表示(X,X*)中的對(duì)偶對(duì),Pk(R)表示實(shí)數(shù)集所有非空緊子集的全體.

設(shè)T=[0,b],考慮如下發(fā)展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:T×V→V*是一個(gè)非線性半連續(xù)算子;B:V→V*是一個(gè)有界線性自伴算子,D(B)緊嵌入H;extG(t,x)表示集值映射G:T×H→2V*{?}的端點(diǎn)集.

假設(shè)：

(H2) 對(duì)于每個(gè)t∈T,A(t):V→V*一致單調(diào)且半連續(xù),即存在一個(gè)常數(shù)C1≥0,使得對(duì)于所有的x1,x2∈V,有

‖A(t,x)‖V*≤a(t)+C2‖x‖V, a.e.T；

不失一般性,對(duì)于所有的t∈T,假設(shè)A(t,0)=0.為研究問題(1)的端點(diǎn)解,本文在文獻(xiàn)[7]假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步加強(qiáng)了集值函數(shù)G(t,x)的連續(xù)性.不僅要求G(t,x)上半連續(xù),還要求G(t,x)是下半連續(xù)的.

再假設(shè)H(F)：G:T×H→Pkc(V*) 是一個(gè)集值映射,滿足：

1) 對(duì)幾乎所有的t×x∈T×V,(t,x)→G(t,x)是圖像可測的；

2) 對(duì)幾乎所有的t∈T,x→G(t,x)是連續(xù)的；

定理1若假設(shè)(H1)～(H4)和H(F)成立,則問題(1)存在解x∈Wpq(T).

證明:定義算子L(x)=x′+A(t,x)+Bx,則L:X→X*是一一映射[6],從而定義L-1:X*→X是存在的.

-x′+(A(t,xn)-A(t,x))=hn-h-(Bxn-Bx),

(2)

對(duì)式(2)取內(nèi)積,再積分得

因xn(0)-x(0)=-xn(b)+x(b),則

根據(jù)假設(shè)(H2)和‖·‖H≤λ‖·‖V知,

因此,‖xn-x‖H→0,a.e于T.從而,存在常數(shù)η∈Tα(這里α的側(cè)度為零),使得當(dāng)n→∞時(shí),‖xn(η)-x(η)‖H→0.于是

[1] Okochi H.On the Existence of Anti-periodic Solutions to a Nonlinear Evolution Equation Associated with Odd Subdifferential Operators [J].J Funct Anal,1990,91(2):246-258.

[2] LIU Qing.Existence of Anti-periodic Mild Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2011,377(1):110-120.

[3] WANG Yan.Antiperiodic Solutions for Dissipative Evolution Equations [J].Math Comput Modelling,2010,51:715-721.

[4] CHEN Yu-qing,WANG Xiang-dong,XU Hai-xiang.Anti-periodic Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2002,273(2):627-636.

[5] CHEN Yu-qing,Nieto J J,O’Regan D.Anti-periodic Solutions for Evolution Equations Associated with Maximal Monotone Mappings [J].Applied Mathematics Letters,2011,24(3):302-307.

[6] ZHANG Yu-mei,CHENG Yi,WANG Jing-hua.Anti-periodic Boundary Value Problem for a Class of Evolution Equation in Banach Space [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2012,50(4):715-716.(張育梅,程毅,王靖華.Banach空間中發(fā)展方程的反周期邊值問題 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,50(4):715-716.)

[7] CHENG Yi,HUA Hong-tu,CONG Fu-zhong.Anti-periodic Problems for a Class of Evolution Inclusions in Banach Space [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2013,51(4):626-628.(程毅,華宏圖,從福仲.Banach空間中發(fā)展包含的反周期問題 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013,51(4):626-628.)

[8] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications [M].Berlin:Spring-Verlag,1984.

[9] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications.Part Ⅱ:Nonlinear Monotone Operators [M].New York:Springer-Verlag,1990.

[10] Aubinj P,Cellina A.Differential Inclusion [M].Berlin:Springer-Verlag,1984.

[11] Tolstonogov A A.Existence and Relaxation Theorems for Extreme Continuous Selectors of Multifunctions with Decomposable Values [J].Topology Appl,2008,155(8):898-905.

(責(zé)任編輯：趙立芹)

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