趙志文,M.S.Abdalroof,盛丹姝

(1.吉林大學 數(shù)學學院,長春 130012;2.吉林師范大學 數(shù)學學院,吉林 四平 136000)

數(shù)據(jù)缺失問題是統(tǒng)計學中的常見問題,如在產(chǎn)品的壽命實驗中,由于觀測方法、實驗設備或其他原因常會導致某些實驗觀測數(shù)據(jù)缺失,因此對不完全數(shù)據(jù)的處理是統(tǒng)計學的一個重要研究領域[1].此外,在可靠性壽命實驗中,為減少人力、物力及財力的浪費,實驗者常會采用定時或定數(shù)截尾實驗[2-4].當產(chǎn)品的壽命分布為Rayleigh分布時,文獻[5]討論了具有缺失數(shù)據(jù)的兩個Rayleigh分布總體參數(shù)的估計問題及兩總體參數(shù)相等的假設檢驗問題.對于定數(shù)截尾數(shù)據(jù),Harter等[6]給出了未知參數(shù)的極大似然估計;Howlader等[7]進一步討論了未知參數(shù)的Bayes估計及未來觀測值的預測問題.對于步進刪失樣本,Wu等[8]考慮了未知參數(shù)的Bayes估計及未來觀測值的預測區(qū)間問題.本文在此基礎上進一步討論定時截尾下,具有缺失數(shù)據(jù)的兩個Rayleigh總體參數(shù)的極大似然估計及兩個總體參數(shù)相等的假設檢驗問題,給出了參數(shù)的極大似然估計量,并證明了估計量的強相合性、漸近正態(tài)性及檢驗統(tǒng)計量和檢驗統(tǒng)計量的極限分布.

1 極大似然估計及其漸近性質(zhì)

下面考慮參數(shù)λ1的極大似然估計.在得到觀測值(Zi,δi,αi)(i=1,2,…,n)后,相應的似然函數(shù)為

其中:Ai=αiδi(αiδi+1)/2;Bi=αiδi(αiδi-1)/2;i=1,2,…,n.進一步,取對數(shù)有

同理,基于樣本觀測值(Mj,ηj,βj)(j=1,2,…,n),可得參數(shù)λ2的極大似然估計

(1)

其中:Cj=βjηj(βjηj+1)/2;Dj=βjηj(βjηj-1)/2;j=1,2,…,n.

證明:由于{αiδi,1≤i≤n}為獨立同分布的隨機變量序列,故由強大數(shù)定律知

由Slusky定理可知

由引理1可知

其中

2 兩個總體參數(shù)相等的檢驗及兩個總體參數(shù)之差的漸近置信區(qū)間

在實際問題中,人們通常關心兩組樣本是否來自同一個總體,該問題可以歸結(jié)為假設檢驗:H0:λ1-λ2=0 ?H1:λ1-λ2≠0.

(2)

特別地,在原假設H0下,有

(3)

證明：由命題1和命題2可知

由Slutsky定理可知式(2)成立.證畢.

因此,對于給定的置信水平α,Δλ的置信區(qū)間為

3 隨機模擬

表1 n=50時估計的偏差和覆蓋率Table 1 Estimate bias and coverage probability when n=50

表2 n=100時估計的偏差和覆蓋率Table 2 Estimate bias and coverage probability when n=100

表3 n=300時估計的偏差和覆蓋率Table 3 Estimate bias and coverage probability when n=300

由表1～表3可見,無論對于較小的樣本量還是較大的樣本量,本文的估計方法都有較小的誤差,并且|Δλ|的置信區(qū)間覆蓋率非常接近置信水平0.90,表明本文方法具有較高的精度.

[1] Little R J A,Rubin D B.Statistical Analysis with Missing Data [M].New York:John Wiley &Sons,2002.

[2] SUN Xiao-qian,ZHOU Xian,WANG Jing-long.Confidence Intervals for the Scale Parameter of Exponential Distribution Based on Type Ⅱ Doubly Censored Sample [J].Journal of Statistical Planning and Inference,2008,138(7):2045-2058.

[3] ZHAI Wei-li,MAO Shi-song.Parameter Estimation of Exponential Distribution with Two Parameters under Type Ⅰ Censoring Sample [J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2002,18(2):197-204.(翟偉麗,茆詩松.定時截尾場合下雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)估計 [J].應用概率統(tǒng)計,2002,18(2):197-204.)

[4] ZHANG Zhi-hua.Comparison of Optimum Design of Accelerated Life Tests [J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2001,17(3):303-307.(張志華.定時截尾情況下簡單加速壽命實驗優(yōu)化設計的比較 [J].應用概率統(tǒng)計,2001,17(3):303-307.)

[5] ZHAO Zhi-wen,FU Zhi-hui.Parameter Estimation and Hypothesis Testing of Two Rayleigh Populations with Missing Date [J].Journal of Beihua University:Natural Science,2008,9(3):202-204.(趙志文,付志慧.具有部分缺失數(shù)據(jù)的兩個瑞利分布總體參數(shù)的估計與檢驗 [J].北華大學學報:自然科學版,2008,9(3):202-204.)

[6] Harter H L,Moore A H.Point and Interval Estimators,Based onmOrder Statistics,for the Scale Parameter of a Weibull Population with Known Shape Parameter [J].Technometrics,1965,7(3):405-422.

[7] Howlader H A,Hossain A.On Bayesian Estimation and Prediction from Rayleigh Based on Type Ⅱ Censored Data [J].Communications in Statistics:Theory and Methods,1995,24(9):2251-2259.

[8] Wu S J,Chen D H,Chen S T.Bayesian Inference for Rayleigh Distribution under Progressive Censored Sample [J].Applied Stochastic Models in Business and Industry,2006,22(3):269-279.

[9] 茆詩松,王靜龍,濮小龍.高等數(shù)理統(tǒng)計學 [M].北京：高等教育出版社,2000:116-118.

(責任編輯：趙立芹)

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