何建璋，褚福運(yùn)，仲 政，聶國(guó)雋

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

功能梯度材料是指材料的組分沿某一方向連續(xù)變化，從而導(dǎo)致材料的宏觀(guān)性質(zhì)隨空間位置梯度變化.功能梯度材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)研究越來(lái)越受關(guān)注.

目前的研究多集中在材料參數(shù)沿厚度方向變化的情況，給出了功能梯度材料結(jié)構(gòu)在彎曲、振動(dòng)、屈曲以及斷裂等方面的解析解［1－4］，而對(duì)功能梯度板剛度面內(nèi)變化的研究則很少.尚新春［5］研究了兩對(duì)邊簡(jiǎn)支兩對(duì)邊任意支撐的雙向線(xiàn)性變剛度矩形板彎曲問(wèn)題的解析解；楊杰［6］提出了單向變剛度矩形板結(jié)構(gòu)分析的伽遼金線(xiàn)法；Liu等［7］提出了面內(nèi)變剛度矩形板自由振動(dòng)問(wèn)題的半解析法.Bahar等［8］通過(guò)假設(shè)面內(nèi)變剛度板的位移函數(shù)為切比雪夫多項(xiàng)式，利用里茲法研究了變剛度板自由振動(dòng)問(wèn)題.于天崇等［9］假設(shè)板的撓度具有Levy解的形式得到了抗彎剛度沿板寬度方向按冪函數(shù)形式變化的矩形板彎曲問(wèn)題的解.

上述解法一般都需要假設(shè)試函數(shù)，然后利用逆解法或者半逆解法得到問(wèn)題的解，而近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的辛彈性力學(xué)解法［10］，不需要假設(shè)試函數(shù)，為彈性力學(xué)問(wèn)題的解析求解提供了一種新途徑.目前，運(yùn)用辛彈性的方法在板和功能梯度材料的力學(xué)問(wèn)題求解上已取得了一些成果.Lim［11］利用辛彈性理論求解了各向同性基爾霍夫板的自由振動(dòng)；Lim［12］和Li［13］利用辛彈性理論分別求解了各向同性簡(jiǎn)支板和正交各向異性固支板的彎曲問(wèn)題；Hu［14］應(yīng)用同樣的方法求解了正交各向異性薄板的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題.Zhao［15－16］采用辛彈性的方法求解了功能梯度材料及功能梯度壓電壓磁材料的平面問(wèn)題.本文通過(guò)假設(shè)板的剛度沿板的長(zhǎng)度方向呈指數(shù)變化，利用變分原理將其導(dǎo)入辛體系，并應(yīng)用分離變量法和本征值展開(kāi)給出了求解面內(nèi)變剛度矩形薄板自振頻率的一種解析方法.

1 變剛度薄板的變分原理及哈密頓對(duì)偶方程

1.1 變剛度薄板的變分原理

考慮一變剛度基爾霍夫板的自由振動(dòng)問(wèn)題，其彎曲剛度D（x，y）是空間坐標(biāo)的函數(shù).利用Hellinger－Reissner變分原理［14］，定義如下泛函：

式中：Ω 表示板在xy平面上所占的區(qū)域；Mx，My，Mxy為板的內(nèi)力矩；w為板的撓度；ρ（x，y）為板的密度；h為板厚；ω 為板的自振頻率；n和s分別表示邊界的外法線(xiàn)和切線(xiàn)方向；Mn，Mns，Qn分別為板邊界的彎矩、扭矩和剪力；C1，C2分別代表固支和簡(jiǎn)支邊界；U為應(yīng)變余能密度

式中：ν為材料的泊松比；D（x，y）為板的彎曲剛度.

對(duì)式（1）關(guān)于Mx，My，Mxy，w進(jìn)行變分，同時(shí)結(jié)合如下恒等式對(duì)w變分：

可以得

式中：Qx，Qy為板內(nèi)截面上的剪力；C3代表自由邊界.

精確解能使δΠ2＝0，從而可導(dǎo)出變剛度板的平衡方程、物理方程以及邊界條件.

定義等價(jià)剪力為

則基爾霍夫板的幾種典型邊界條件可以表示為

1.2 變剛度板的哈密頓對(duì)偶方程

引入約束條件

由變分原理式（4）可得

式中：

對(duì)式（10）關(guān)于w，θ，Tx，Mx執(zhí)行變分得

對(duì)式（11）分部積分，只保留域內(nèi)部分，并令Vx＝－Tx，從而可以得到辛對(duì)偶方程組

現(xiàn)考慮如圖1 所示的各向同性變剛度矩形薄板，板的彎曲剛度D和密度ρ只沿x方向變化，即D（x）＝D0f（x），ρ（x）＝ρ0f（x），其中D0，ρ0 分別為板在x＝0處的彎曲剛度和密度，則方程（12）退化為

這時(shí)的對(duì)偶方程組是變系數(shù)的常微分方程組，無(wú)法利用分離變量法直接求解.若設(shè)面內(nèi)剛度按照指數(shù)函數(shù)變化，即D（x）＝D0eγx，ρ（x）＝ρ0eγx，可引入新的內(nèi)力分量，令

便能得到常系數(shù)的常微分方程組為

則有下面的恒等式：

和傳統(tǒng)Hamilton矩陣相比，式（18）多出了一項(xiàng)γ〈v1，v2〉，所 以 算 子 矩 陣H并 非 辛 幾 何 空 間 的Hamilton變換，但其性質(zhì)和Hamilton 算子矩陣非常相似，稱(chēng)為移位Hamilton矩陣［15］，可以證明該矩陣的本征值和本征向量與Hamilton 矩陣有相似性質(zhì).

圖1 面內(nèi)變剛度薄板Fig.1 Thin plate with in－plane material inhomogeneity

2 辛本征值分析

對(duì)于自由振動(dòng)問(wèn)題，式（15）是一個(gè)齊次常微分方程組，利用分離變量法，狀態(tài)向量可寫(xiě)成

將式（19）帶入式（15）可得

式中：μ為待求本征值為與μ對(duì)應(yīng)的本征向量.對(duì)于式（15）對(duì)應(yīng)的辛本征值問(wèn)題，可以證明它不存在零本征值.對(duì)于非零本征值的本征解，由于本征方程（15）是關(guān)于y聯(lián)立的常微分方程組，應(yīng)首先找到y(tǒng)方向的特征值λ，其對(duì)應(yīng)的特征方程為展開(kāi)上式可得

其中

于是辛本征向量的通解可以表達(dá)為

式（25）的16個(gè)常數(shù)并不是彼此獨(dú)立的，獨(dú)立的常數(shù)只有4個(gè)，這里選擇A1，A2，A3，A4作為獨(dú)立常數(shù)，并將其帶入式（20）的第2式可得

對(duì)于其他有重根的情況，其求解過(guò)程和有4個(gè)互不相等的根的情況求解過(guò)程完全類(lèi)似，這里對(duì)其他情況就不再討論.

3 對(duì)邊簡(jiǎn)支變剛度薄板自由振動(dòng)的通解

方程（23）中有3個(gè)未知量λi，μ，ω，λi要通過(guò)y＝±b的邊界條件來(lái)確定，這樣μ 就可以用λi和ω 來(lái)表示，令其通解滿(mǎn)足x＝±a的邊界條件，可得到頻率方程.在頻率方程中只有ω 是未知的，求解頻率方程就可以得到面內(nèi)變剛度板的各階自振頻率.

y＝±b為簡(jiǎn)支邊界條件時(shí)，其邊界條件的方程可以表示為

可用w，Mx表示為

將式（25）帶入式（28），并要求其對(duì)稱(chēng)部分和反對(duì)稱(chēng)部分均滿(mǎn)足邊界條件，可以得到如下方程組：

要使該方程組有解，要求關(guān)于A(yíng)i的系數(shù)矩陣的行列式為零，可得

對(duì)于均勻材料板，即γ＝0 的情況，從式（31），（32）可以看出，其本征值和特征值均和泊松比無(wú)關(guān)，而對(duì)γ≠0的變剛度板，其本征值和特征值均和材料的泊松比有關(guān).解出本征值后，將其代入方程（29）就可以得出A1，A2，A3，A4的一組非平凡解.

從而可以得到本征向量

其中函數(shù)fi（n）（i＝1，2，3，4）是取決于邊界x＝±a的待定參數(shù).在方程（35）中只有待定參數(shù)fi（n）和結(jié)構(gòu)的自振圓頻率ω 是未知的，令式（35）滿(mǎn)足x＝±a的邊界條件，就可以得到頻率方程，進(jìn)而求得其各階自振圓頻率.

4 變剛度板的頻率方程

對(duì)于邊界x＝±a的邊界條件可以是簡(jiǎn)支邊界條件和固支邊界條件的任意組合，因此可以給出如下4種邊界條件：

（1）四邊簡(jiǎn)支（SSSS）

（2）x＝－a邊固支，其余三邊簡(jiǎn)支（SCSS）

（3）x＝a邊固支，其余三邊簡(jiǎn)支（SSSC）

（4）x＝±a對(duì)邊固支，其余兩對(duì)邊簡(jiǎn)支（SCSC）

由于板的非均勻性導(dǎo)致邊界SCSS和SSSC 所對(duì)應(yīng)的頻率方程不再一致，其固有頻率也有較大差異，需要分別計(jì)算.將式（35）分別帶入式（36）～（39），取及作為待定系數(shù)，由系數(shù)矩陣的行列式為零，可得到4種邊界條件下的頻率方程.

（1）SSSS的頻率方程

（2）SCSS的頻率方程

（3）SSSC的頻率方程

5 算例與討論

算例以圖1 所示的變剛度板為研究對(duì)象，表1給出了泊松比ν＝0.3的變剛度方板（a＝b）在不同梯度指數(shù)及邊界條件下的前6 階自振頻率f（f＝當(dāng)變剛度板的梯度指數(shù)γ＝0時(shí)，變剛度板退化成均勻板，可以將此時(shí)板的自振頻率與經(jīng)典解對(duì)比，計(jì)算結(jié)果表明退化后的結(jié)果和經(jīng)典解吻合得很好，也驗(yàn)證了這種方法的有效性.同時(shí)在變剛度板的梯度指數(shù)較小時(shí)，變剛度板的自振頻率應(yīng)該和均勻板非常接近，這也和表1給出的計(jì)算結(jié)果一致.

人們更為關(guān)注的是板的變剛度性質(zhì)對(duì)板自振頻率的影響.從表1 和圖2 可以看出SSSS，SSSC，SCSC 3種邊界條件下，其自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加而增加，而對(duì)于SCSS邊界條件下，在梯度指數(shù)較小時(shí)其自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加而減小，但隨著梯度指數(shù)的持續(xù)增加，SCSS的各階自振頻率都會(huì)達(dá)到一個(gè)最小值，之后其自振頻率將隨著梯度指數(shù)的增加而增加.這主要是因?yàn)樽儎偠鹊拇嬖谑沟每刂品匠讨泻蛣偠认嚓P(guān)的項(xiàng)數(shù)增多，而和質(zhì)量相關(guān)的項(xiàng)數(shù)不變，而結(jié)構(gòu)的自振頻率正比于彎曲剛度，反比于質(zhì)量，所以不難理解SSSS，SSSC 及SCSC 板的自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加而增加.邊界條件同樣會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率產(chǎn)生顯著影響，對(duì)剛度大的邊界施加更為嚴(yán)格的約束條件，必然會(huì)導(dǎo)致SSSC的自振頻率高于SCSS，對(duì)剛度較小的邊界施加更嚴(yán)格的約束，將導(dǎo)致剛度和約束在某種程度上的制約或抵消，從而出現(xiàn)了SCSS 板自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加反而減小的情況，但隨著梯度指數(shù)的進(jìn)一步增加，剛度對(duì)自振頻率的控制作用將超過(guò)邊界條件的制約，進(jìn)而出現(xiàn)了自振頻率隨梯度指數(shù)增加而增加的現(xiàn)象.從上述角度也可以解釋下面的規(guī)律.由于板的非均勻性導(dǎo)致邊界組合SCSS和SSSC 所對(duì)應(yīng)的頻率方程不再一致，結(jié)合圖2 可以看出，SSSC的自振頻率始終高于SCSS，同時(shí)隨著梯度指數(shù)的增加，SCSS的自振頻率會(huì)越來(lái)越接近SSSS，SSSC 的自振頻率也會(huì)越來(lái)越接近SCSC.

表1 不同邊界條件及梯度指數(shù)變剛度方板的前6階自振頻率Tab.1 Sixth－order natural frequency of variable stiffness square plate with different boundary conditions and gradient index

圖2 不同邊界條件下1階自振頻率和梯度指數(shù)的關(guān)系Fig.2 The relationship of first order natural frequency and gradient index with different boundary conditions

對(duì)于均勻板的SSSS，SCSS，SSSC，SCSC這4種典型的邊界條件，其自振頻率和材料的泊松比無(wú)關(guān)，但對(duì)于變剛度板而言，從式（31），（32）以及相應(yīng)的頻率方程可以看出，其自振頻率和泊松比有關(guān).圖3給出了4種典型邊界條件變剛度方板量綱一化的自振頻率隨泊松比ν的變化，由計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)于變剛度板，其自振頻率隨著泊松比的增加而減小，當(dāng)變剛度板退化成均勻板時(shí)，其自振頻率和泊松比無(wú)關(guān).

圖3 4種典型邊界變剛度板自振頻率和泊松比的關(guān)系Fig.3 The relationship of first order natural frequency and Poisson’s ratio with different boundary conditions and gradient index

圖4 4種典型邊界變剛度板自振頻率和長(zhǎng)寬比的關(guān)系Fig.4 The relationship of first order natural frequency and aspect ratio with different boundary conditions and gradient index

圖4 給出了變剛度板在SSSS，SCSS，SSSC，SCSC 4種邊界條件下的量綱一化自振頻率與長(zhǎng)寬比的關(guān)系.橫坐標(biāo)的右半軸表示板的長(zhǎng)寬比a／b，左半軸表示板的寬長(zhǎng)比b／a.從圖中可以看出，對(duì)于SCSS寬長(zhǎng)比b／a≥1.0，會(huì)出現(xiàn)隨著梯度指數(shù)的增加而自振頻率減小的現(xiàn)象，其他邊界和長(zhǎng)寬比條件下，自振頻率均隨梯度指數(shù)的增加而增加.

6 結(jié)論

本文將辛彈性理論應(yīng)用于求解非均勻材料板，假設(shè)矩形板的彎曲剛度沿板的長(zhǎng)度方向呈指數(shù)函數(shù)變化，利用變分原理將其導(dǎo)入辛體系，并應(yīng)用分離變量法和本征值展開(kāi)給出了對(duì)邊簡(jiǎn)支、另兩邊任意支撐的變剛度板的頻率方程，通過(guò)求解頻率方程可以得到變剛度板各階自振頻率的精確解.從求解過(guò)程可以看出，這種方法不同于傳統(tǒng)的逆解法或者半逆解法，它不需要提前假設(shè)試函數(shù)，是一種更為理性的正向的求解方法.

算例表明，SSSS，SSSC，SCSC 3種邊界條件下，其自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加而增加，而對(duì)于SCSS邊界條件下，在梯度指數(shù)較小時(shí)其自振頻率隨著梯度指數(shù)的增加而減小，達(dá)到一個(gè)最小值，然后其自振頻率將隨著梯度指數(shù)的增加而增加.

這種方法還可以進(jìn)一步推廣到求解彎曲剛度指數(shù)變化的任意邊界條件的矩形薄板及中厚板的自由振動(dòng)、屈曲和彎曲問(wèn)題.

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