周云才，孫 方 （長(zhǎng)江大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 荊州434023）

陳 忠 （長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州434023）

1 N階幻方的定義

定義1 將自然數(shù)1到N2，排列N行N列的方陣，使每行、每列及2條主對(duì)角線上的N個(gè)數(shù)的和都等，這樣的方陣稱為N階幻方。

2 N階幻方的構(gòu)造算法

對(duì)N階幻方幻方的構(gòu)造，分為3種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其他偶數(shù)（4n＋2的形式）。對(duì)文獻(xiàn) ［1］中的算法進(jìn)行整理，得到下面的算法：

2.1 N為奇數(shù)

N為奇數(shù)時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：

2.2 N為4的倍數(shù)

N＝4k時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：

2.3 N為其他偶數(shù)

N＝4k＋2時(shí)，N階幻方A構(gòu)造如下：

（1）利用N為奇數(shù)時(shí)的算法求一個(gè)2k＋1階的幻方矩陣B＝（bij）。

（2）構(gòu)造A：① 當(dāng)i，j均不超過2k＋1時(shí)，aij＝bij；② 當(dāng)i≤2k＋1＜j≤n時(shí)，aij＝bi，j－2k－1＋2（2k＋1）2；③ 當(dāng)j≤2k＋1＜i≤n時(shí)，aij＝bi－2k－1，j＋3（2k＋1）2；④ 當(dāng)i＞2k＋1，j＞2k＋1時(shí)，aij＝bi－2k－1，j－2k－1＋ （2k＋1）2。

（3）調(diào)整：①將1到k列與第3k＋4到n列（當(dāng)3k＋4＞n時(shí)，此類列為空）的元素的后面2k＋1個(gè)元素放到前面，前面的2k＋1個(gè)元素放到后面，即：

以n＝10為例，演算過程如下，n＝10，k＝2：

3 N階幻方的代數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1（N階幻方的秩［1］） 對(duì)于利用以上算法構(gòu)成的幻方，奇數(shù)階幻方是滿秩的；4k階幻方的秩是3；4k＋2階幻方的秩是2k＋3。

證明 實(shí)對(duì)稱矩陣ATA的特征值的正根稱為實(shí)矩陣A的奇異值［2］，由此不難證明是n階幻方的奇異值。

下證其最大性。對(duì)于A的任一奇異值σ，有非零向量x＝ （x1，x2，…，xn）T使得ATAx ＝σ2x。不妨設(shè)max｛｜x1｜，｜x2｜，…，｜xn｜｝＝1，且｜x1｜＝1，于是：