胡 蓉，張 瑞

(四川文理學院 數(shù)學與財經(jīng)系，四川 達州 635000)

Bloch空間上一類特殊復合算子的上界估計

胡 蓉，張 瑞

(四川文理學院 數(shù)學與財經(jīng)系，四川 達州 635000)

介紹了定義在單位多圓柱上的Bloch空間中的一類特殊復合算子，根據(jù)Bergman度量的定義，計算由該類特殊復合算子中的復合函數(shù)所決定的Bergman度量，得到其滿足的特殊性質(zhì)，最后利用該性質(zhì)得到該類特殊復合算子在Bloch空間上的上界估計．

單位多圓柱；Bloch空間；復合算子；Bergman度量

0 引言

早在上個世紀，就有不少學者開始研究復合算子及其相關性質(zhì)，在單復變中，這方面的研究已取得了較好的成果．于是，越來越多的學者開始研究多復變中復合算子的相關問題，雖然到目前為止已經(jīng)有了一些優(yōu)美的結果，[1-4]但仍有很多問題諸如常見空間上復合算子的有界性和緊性等依然是人們研究的重點和難點.本文將對定義在多圓柱上的Bloch空間上的某類比較特殊的復合算子做出研究，說明這類復合算子的有界性并進一步得到它的上界估計.該結論將會為定義在多圓柱上Bloch空間上的對偶Hausdorff算子有界性的研究奠定一定的基礎.

1 預備知識

任意f∈H(Un)，記

定義1 設f∈H(Un),若f滿足sup{Qf(z)|z∈Un}lt;∞,則稱f為Un上的Bloch函數(shù).[7]

記‖f‖B=sup{Qf(z)|z∈Un},稱其為Un上的Bloch范數(shù).由Bloch函數(shù)全體所構成的空間成為Bloch空間，記為B(Un).

引理1Ω為Cn中的齊性有界域，Hz(u,u)為Bergman度量，對?f∈H(Ω)，存在常數(shù)C使得

2 主要結果

?f∈B(Un)，記復合算子

Ut(f)(z)=f(Ψt1(z1),ψt2(z2)，…，ψtn(zn))=fψt(z),其中ψt(z)=(ψt1(z1),ψt2(z2),…，ψtn(zn)),ψti(zi)=tizi+1-ti(ti∈(0,1),i=1,2,…,n)為單位圓盤U→U的全純函數(shù)．

定理1 單位多圓柱Un是Cn中的有界Bergman域．特別地，對上述ψt，有

Hψt(z)(Jψt(z)u,Jψt(z)u)≤CtHz(u,u),

從而

則

另一方面，

而

則

=(t1u1,t2u2，…，tnun)T.

從而

又因為

|ψtj(zj)|2=|tjzj+1-tj|2≤(tj|zj|+(1-tj))2

因此

定理2 復合算子Ut(f)(z)在B(Un)上有界，且

證明：?f∈B(Un),φ∈H(Un)，由鏈式法則，復梯度

?u∈Cn-{0}，若Jφ(z)u=0，則▽(f°φ)(z)u=0;若Jφ(z)u≠0,則

從而

由定理1，對ψt有

故

即

[1] Hyungwoon K,Michael S,Kehe Z.CompositionOperatorsonthePolydiscInducedbySmoothSymbols[J].Journal of Functional Analysis,2008(254):2911-2925.

[2] Steven G K.FunctionTheoryofSeveralComplexVariables[M].Rhode Island:AMS Chelsea Publishing,2000:41-58.

[3] LU Yu-feng.CompactOperatorsontheBergmanSpacesoftheUnitBallandthePolydiskinCn[J].Northeast Math J，2000(16):347-356.

[4] 胡 蓉.多圓柱上的Bloch空間及其函數(shù)模的上界估計新證[J].內(nèi)江師范學院學報，2011(4):18-20.

[5] 史濟懷.多復變函數(shù)論基礎[M].北京：高等教育出版社，1996：144-165.

[6] Kehe Z.SpacesofHolomorphicFunctionsintheUnitBall[M].Berlin:Springer-Verlag,2004:76-78.

[7] Timoney R.BlochFunctionsinSeveralComplexVariablesⅠ[J].Bull London Math Soc,1980(12):241-267.

[8] Zhou Ze-hua, Shi Ji-huai.CompositionOperatorsontheBlochSpaceinPolydiscs[J].Overseas Publishers Association,2001(46):73-88.

[責任編輯鄧杰]

TheUpperBoundofaSpecialClassofCompositionOperatorsontheBlochSpace

HU Rong, ZHANG Rui

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

Introduce the special class of composite operators on the Bloch Space in unit poly-disk, according to the definition of Bergman metric to calculate the Bergman metric of the composite function determined by the special composite operators, and get the inequality, then use the inequality to get the upper bound of the special composition operators on the Bloch spaces.

unit polydisk; bloch space; composition operators; Bergman metric

2011-11-17

胡 蓉(1985—)，女，四川南充人.講師，碩士，主要從事多復變函數(shù)論研究.

O174.56

A

1674-5248(2013)02-0017-03