吳鳳珍
(鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,河南 鄭州 450121)
不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究
吳鳳珍
(鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,河南 鄭州 450121)
不等式是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具,證明不等式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著極其重要的作用,但是不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法的研究一直缺乏系統(tǒng)的理論層面的提升.分析并總結(jié)了高等數(shù)學(xué)中證明不等式的幾種主要方法及其適用條件.
不等式;證明;高等數(shù)學(xué);方法
不等式是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具,它滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)部分,在高等數(shù)學(xué)中也有極其重要的作用.證明不等式是高等數(shù)學(xué)中的常見題型,也是難度較大的題型之一,在專升本和考研試卷中也經(jīng)常出現(xiàn).不等式證明的基本方法很多,但是有關(guān)不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法的研究一直缺乏系統(tǒng)的理論層面的提升. 本文對(duì)不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究,并對(duì)每種方法的適用情形進(jìn)行了探討,以期能拓寬學(xué)生的解題思路,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神及創(chuàng)新思維能力.
1.1利用函數(shù)的單調(diào)性
如果證明不等式f(x)gt;g(x),一般優(yōu)先考慮此方法,其通常步驟為:
(2)求出F(x),由F′(x)的符號(hào)判斷F(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性.
例1 求證:當(dāng)xgt;0時(shí),有
利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造的方法有兩種:作差或作商.一般先作差,若作差不能成立時(shí),再用作商的方法.在判斷輔助函數(shù)F(x)的單調(diào)性時(shí),有時(shí)需借助于F″(x)或更高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)得到F′(x)的符號(hào).
1.2利用函數(shù)的最值(或極值)
這種方法的適用情形與上述方法類似,只是當(dāng)構(gòu)造的輔助函數(shù)在給定區(qū)間上不單調(diào)或是遇到f(x)≥a或f(x)≤b(a,b為常數(shù))類型的不等式時(shí),可采用最值方法.這種方法的基本步驟是:
(1)構(gòu)造輔助函數(shù),當(dāng)不等式兩邊均含有未知數(shù)時(shí),可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù),當(dāng)不等式形如f(x)≥a或f(x)≤b時(shí),可設(shè)f(x)為輔助函數(shù);
(2)求出輔助函數(shù)在區(qū)間上的極值或最值.
1.3利用函數(shù)的凹凸性
當(dāng)證明的不等式的兩邊或一邊是同一函數(shù)在不同點(diǎn)處的函數(shù)值的疊加時(shí),一般需要通過(guò)將不等式適當(dāng)變形構(gòu)造輔助函數(shù), 利用函數(shù)的凹凸性證明之.[1]
分析:不等式左邊為sinx的函數(shù)的和,考慮構(gòu)造凹函數(shù)f(x)=-sinx.
證明:令f(x)=-sinx,0lt;xlt;π,則f″(x)=sinxgt;0 .則f(x)是(0,π)上的凹函數(shù),由函數(shù)的凹凸性容易證得
1.4利用微分中值定理
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)其中ξ∈[a,b],再根據(jù)ξ的取值范圍對(duì)f′(ξ)進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而得出不等式關(guān)系.
證明:構(gòu)造函數(shù)f(t)=lnt,因f(t)在[1,1+x](xgt;0)上滿足拉格朗日中值定理的條件,容易證得
1.5利用拉格朗日乘數(shù)法
對(duì)于一元不等式,利用函數(shù)的極值來(lái)證明不等式是一種非常重要的方法,借助拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的極值就可得到多元不等式的拉格朗日乘數(shù)法.當(dāng)所證不等式中含有二個(gè)以上變量時(shí),就可考慮這種方法.用拉格朗日乘數(shù)法的關(guān)鍵是選擇目標(biāo)函數(shù)和約束條件.如果沒有明確告訴約束條件,通常把不等式的“一端”作為目標(biāo)函數(shù),而將“另一端=常數(shù)a”作為約束條件.
證明:考察函數(shù)f(x,y,z)=xy2z3在x+y+z=6a約束條件下的最大值問(wèn)題,其中a為正常數(shù).構(gòu)造拉格朗日函數(shù)
F(x,y,z,λ)=xy2z3+λ(x+y+z-6a).
它唯一的駐點(diǎn)為(a,2a,3a),此駐點(diǎn)為函數(shù)f(x,y,z)=xy2z3的最大值點(diǎn),
故f(x,y,z)=xy2z3≤f(a,2a,3a).
2.1利用定積分的定義
當(dāng)證明的不等式是與自然數(shù)n有關(guān)的和式時(shí),可考慮利用定積分的定義來(lái)證明.這種方法的關(guān)鍵是根據(jù)和式的特點(diǎn)構(gòu)造被積函數(shù)和積分區(qū)間.
2.2利用積分中值定理
定積分中值定理是在處理含有定積分的不等式中經(jīng)常用到的理論,其思路是通過(guò)中值定理,消去不等式中的積分號(hào),從而與其他項(xiàng)作大小的比較,得出結(jié)論.
=λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0,
2.3利用積分上限函數(shù)
證明:設(shè)輔助函數(shù)
從而F(t)單調(diào)遞增,所以F(b)≥F(a)=0.
2.4利用重積分
若不等式中含有兩個(gè)定積分之積,可考慮將其化為重積分,將定積分不等式的證明化為重積分不等式來(lái)證明.
D1:0≤x≤1,0≤y≤1,
D2:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,
2.5利用柯西—施瓦茨不等式
當(dāng)不等式中含有帶平方項(xiàng)的積分時(shí),往往可通過(guò)柯西—施瓦茨不等式來(lái)證明.
=[g(b)-g(a)]2,
3.1利用泰勒公式
這種方法適合于題設(shè)中含有函數(shù)的一階、二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上、下界可知的命題.運(yùn)用這種方法時(shí),首先寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的函數(shù)的泰勒公式,然后根據(jù)題設(shè)對(duì)展開式的余項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,導(dǎo)出所證不等式.
因?yàn)閒″(ξ)≥0,故f(x)≥x.
3.2利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式
3.3利用二次型的正定性
當(dāng)遇到有關(guān)n元二次齊次式的不等式,我們可考慮用實(shí)二次型的半正定或矩陣的半正定性給予證明.
證明:原不等式可化為
它是一個(gè)關(guān)于a,b的二元齊次式,令
其矩陣為
3.4利用概率論
當(dāng)不等式中出現(xiàn)的數(shù)的范圍均在0與1之間時(shí),便可利用概率論來(lái)證明不等式.利用概率論證明,其基本的思路是將不等式中的數(shù)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)相互獨(dú)立事件的概率,從而將實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為概率的運(yùn)算,利用概率的有關(guān)計(jì)算公式及性質(zhì),便可證得結(jié)論.
例14 若0lt;alt;1,0lt;blt;1,證明:
0≤a+b-ab≤1.
證明:令A(yù)、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件,且使P(A)=a,P(B)=b,容易證得:
0≤a+b-ab≤1.
3.5利用向量有關(guān)知識(shí)
構(gòu)造與問(wèn)題等價(jià)的向量模型,應(yīng)用向量的有關(guān)知識(shí),有時(shí)可得到新穎別致的證明.
例15 已知a,b,c,d∈R,證明:
(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
以上從微分學(xué)、積分學(xué)、線性代數(shù)、概率論等角度將高等數(shù)學(xué)常用的證明不等式的方法作了研究總結(jié),共三大類15種,但我們遇到具體問(wèn)題還應(yīng)該具體分析,有的不等式的證明用到不止一種方法,證明方法的選擇也是一種技巧.[6]要想熟練掌握其中的技巧,我們要多思考,多總結(jié).只有靈活運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的基本理論和方法,才能把握問(wèn)題的本質(zhì),知道怎樣人手,思維清晰、簡(jiǎn)便快捷地解決有關(guān)不等式的證明問(wèn)題.
[1] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解·二[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003:296-300.
[2] 倉(cāng)義玲,衡美芹.用多元函數(shù)最優(yōu)化的方法明不等式[J].西昌學(xué)院學(xué)報(bào),2009(4):33-34.
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[責(zé)任編輯鄧杰]
StudyontheHigherMathematicsMethodoftheInequalityProof
WU Feng-zhen
(Teaching and Research Section of Zhengzhou Vocational and Technical College, Zhengzhou Henan 450121, China)
Inequality is an important tool for studying on higher mathematical problem. Proving inequality is also extremely important in cultivating students′ creative thinking. However, inequality in advanced mathematics to prove the method of the theory has been the lack of system level upgrade. This article studies and summarizes several major approaches to the proof of inequality in higher mathematics and their applicable conditions.
inequality; proof; higher mathematics; method
2012-10-18
吳鳳珍(1969—),女,河南鞏義人.副教授,碩士,主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
O13
A
1674-5248(2013)02-0010-04