黃 靜，歐鳳霞

(安徽中醫(yī)學院 醫(yī)藥信息工程學院，安徽 合肥 230031)

醫(yī)療領域的信號處理主要是利用多種醫(yī)療設備檢測信號進行病理評估，如腦電圖、心電圖的檢測信號.由傳感器采集人體的生物電信號，經(jīng)過信息融合后進行評估，這樣比單由專家通過目測標注更能提高檢測效果.本研究所介紹的算法以標準的卡爾曼濾波為基礎，通過遞歸方式由離散小波變換濾波層實現(xiàn)對檢測信號的最優(yōu)估計.

1 信號的分解和估計

1.1 離散小波變換

在分辨尺度i+1上，對給定的標量信號序列x(i+1，n)∈l2(Z)(n∈Z)，通過脈沖響應為h(n)的低通濾波器可以獲得在低分辨率上的信號

(1)

這是一個從向量空間l2(Z)到它自身的變換，下標L表示x(i，n)在粗尺度信號空間Li-1上的投影.信號x(i+1，n)在低通濾波器中丟失的“細節(jié)信號”可以由x(i+1，n)通過一個脈沖響應為g(n)的高通濾波器得到,

(2)

原信號x(i+1，n)可以由兩個濾波器及平滑信號xL(i，n)和細節(jié)信號xH(i，n)進行恢復.為了完整恢復原信號，濾波脈沖響應構(gòu)成正交集.因此，式(1)和式(2)是在正交基礎上對原信號的分解.原信號重構(gòu)是一系列正交投影構(gòu)成：

(3)

h(n)和g(n)是有限持續(xù)脈沖響應濾波器，低通濾波h(n)是一個正交鏡像濾波器脈沖響應，且h(n)和g(n)形成一個共軛鏡像濾波對：

g(n)=(-1)nh(L-1-n)，

(4)

其中，L是濾波器的長度(需是偶數(shù))[1].

式(4)意味著低通濾波器h(n)一旦確定，與之共軛的高通濾波器g(n)也被確定.

對于有限長度信號序列，常以算子形式來描述小波變換.在分辨尺度計1上，長度為M的信號序列為

(5)

由式(1)，(2)和(3)的向量形式得到算子形式如下：

(6)

(7)

其中,Hi和Gi是相應的尺度算子與小波算子，且滿足

(Hi)THi+(Gi)TGi=I，

(8)

(9)

(10)

1.2 信號的分解和估計

在最高分辨尺度N上，信號序列x(N,k)的狀態(tài)方程和觀測方程如下：

(11)

z(N，k+1)=C(N，k)x(N，k)+v(N，k)，

(12)

為了描述簡單起見，僅討論信號兩層的同時分解和估計，即從尺度N到N-1和N-2，其他尺度的分解和估計依次類推.在K時刻，對長度為M=22=4的數(shù)據(jù)塊，信號序列為

(13)

假設時間不變，尺度N是遞減的，則信號以M為單位進行傳輸.由式(12)和式(13)信號推導如下：

因為

(14)

得

(15)

(16)

(17)

將式(14)～(17)相加，經(jīng)過變形，得到

(18)

考慮所有的遞推過程，給出數(shù)據(jù)塊形式的動態(tài)方程及測量方程.

(1)動態(tài)方程

(19)

(2)測量方程

(20)

由上述的推導過程，可得兩層的分解如下式：

(21)

(22)

式(22)描述了分解量的動態(tài)系統(tǒng)模型，與之相聯(lián)系的測量模型可由式(21)代入式(20)得到

(23)

至此，分解量的系統(tǒng)模型和測量模型便得到，通過測量方程可以對分解量進行估計.將卡爾曼濾波算法代入式(22)和式(23),可得到分解量的最優(yōu)估計[4].

2 仿真實驗

以一維的函數(shù)為例，其狀態(tài)方程和觀測方程如下：

x(N，k+1)=x(N，k)+w(N，k),

(24)

z(N，k+1)=x(N，k)+v(N，k),

(25)

其中,E{w(N，k)}=0，E{w2(N，k)}=Q；E{v(N，k)}=0，E{v2(N，k)}=R.

圖1 不同算法的信號估計Fig.1 Signal estimations of the different algorithms

通過對220次計算機仿真結(jié)果進行統(tǒng)計對比，將兩種方法的誤差均方根列于表1.由表1可以看出將卡爾曼濾波與小波相結(jié)合的算法性能優(yōu)于僅僅使用卡爾曼濾波算法.

表1 兩種算法估計誤差方差的統(tǒng)計表Tab.1 Estimation error variance of two algorithms

3 結(jié)論

本算法在保留卡爾曼濾波對信號最優(yōu)估計的基礎上，將離散小波變換與標準卡爾曼濾波算法相結(jié)合，實現(xiàn)了對醫(yī)療設備檢測信號的同步分解和估計.

參考文獻：

[1] Wong P W.Wavelet decomposition of harmonizable random process[J].IEEE Trans Inform Theory,1993(39):7-18.

[2] 楊福生.小波變換工程分析的應用[M].北京:科學出版社,2006.

[3] Mallat S G. A theory for multiresolution singal decomposition: the wavelet representation[J]. IEEE Trans on Pattern Anal Machine Intell, 1989,11(7):674-693.

[4] 文成林，周東華.多尺度估計理論及其應用[M].北京:清華大學出版社，2002.