余紅宴，黃凱科

(1.湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002;2.湖北師范學(xué)院 教師教育研究與發(fā)展中心，湖北 黃石 435002;3.湖北省黃石市第十四中學(xué),湖北 黃石 435002)

1 研究背景

在過去的20年見證人類有史以來學(xué)習(xí)理論發(fā)生的最本質(zhì)與革命的變化[1]。學(xué)習(xí)科學(xué)致力于 “人是如何學(xué)習(xí)的？”這一主題的研究，植根于真實的情境，采用除教育心理學(xué)外的人類學(xué)、社會學(xué)、認(rèn)知科學(xué)、信息科學(xué)等各領(lǐng)域的研究方法，進(jìn)行跨學(xué)科的合作研究。學(xué)習(xí)科學(xué)的研究目標(biāo)是首先為了更好的理解認(rèn)知過程和社會化過程以產(chǎn)生更有效的學(xué)習(xí)；其次是為了用學(xué)習(xí)科學(xué)的知識來重新設(shè)計我們的課堂和其他學(xué)習(xí)環(huán)境，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)者更有效而深入的學(xué)習(xí)[2]。數(shù)學(xué)課例研究是致力于“改進(jìn)課堂環(huán)境中發(fā)生的學(xué)習(xí)”這一目標(biāo)，通過研究者現(xiàn)場觀察、采用社會學(xué)、人類學(xué)、學(xué)習(xí)心理學(xué)的方法研究課堂教學(xué)，改進(jìn)課堂教學(xué)，產(chǎn)生更加高效的課堂教學(xué)。

從學(xué)習(xí)科學(xué)的視域來進(jìn)行數(shù)學(xué)課例研究是一項有力的嘗試。目前，我們正在開展的湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度重點課題：《運(yùn)用“巧學(xué)案”改善初中生學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)業(yè)成績和學(xué)習(xí)自主性的實驗研究》是一個有學(xué)科教育專家、科任教師、管理人員合作的項目。針對現(xiàn)在大部分學(xué)校教學(xué)的“蠻教笨學(xué)”現(xiàn)象，我們提出“慧教巧學(xué)”的理念，讓教師有智慧的教，學(xué)生主動巧妙的學(xué)。

2 研究實例：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中正遷移的促進(jìn)

背景資料:尋找全等三角形:2012年6月7日，初中二年級上午第一節(jié)數(shù)學(xué)課，課題是全等三角形的判定及其應(yīng)用，教師A使用多媒體講授。

多媒體顯示:問題探究1：已知兩個邊及其一邊的對角相等能判斷兩個三角形全等嗎？為什么？

學(xué)生思考3min，教師A點學(xué)生回答，回答聲音小。教師A說，會的同學(xué)舉手，全班3人舉手。

多媒體顯示:圖形1：

但是△ABC與△ABD不全等.

觀察者視角：學(xué)生的反饋讓教師A有點不適應(yīng)，因為這個例子比較經(jīng)典，學(xué)生從尋找全等三角形到錯例子還有很大的知識距離。一個判斷定理的掌握，舉例顯得尤為重要，舉例主要有正例、旁例、反例。這個屬于反例，有難度。讓學(xué)生在同一圖形中抓關(guān)系確有困難。

多媒體顯示:問題探究2：畫一個三角形使得一邊長為 3.5cm，一邊長為2.5cm 且其所對的角為40°.動手操作、畫一畫。

教師巡視,下來指導(dǎo)，學(xué)生不知如何下手，有的還沒有直尺和圓規(guī)，不知如何操作。

觀察者視角：教師的意圖我以為是通過畫圖操作實現(xiàn)探究三角形形成的可能性，但學(xué)生操作能力沒有培養(yǎng)好。面對實際動手，顯得舉步維艱。當(dāng)時我就有個疑問，為什么是40° ?而不是 30°呢？我很疑惑， 40°加大了數(shù)學(xué)理解的難度，也可能是教師A在這里忽略了教學(xué)的設(shè)計。

教師A開始演示，取兩條線，長分別為 3.5cm，2.5cm ……畫圖2

圖1 圖2

觀察者視角：學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難，從教學(xué)的角度要理解問題操作的難度，作圖題涉及的是幾何知識的熟練運(yùn)用。我問我旁邊的幾位同學(xué)，老師在黑板上演示了，你們?yōu)槭裁催€是沒有操作一遍？他們都說，黑板上有。這個幾何作圖，若能利用幾何畫板軟件動態(tài)作出，那該是什么的學(xué)習(xí)與教學(xué)體驗。

多媒體顯示:例題1

如圖3，OA=OD,OB=OC,求證：△AOB≌△COD.

教師A點學(xué)生上來演板。結(jié)果出來后，情況不是我們大家想象那樣。老師A本意是想讓學(xué)生利用邊角邊(SAS)判定定理，學(xué)生的表達(dá)出了問題。學(xué)生表達(dá)如下：會做的同學(xué)一直在下面笑，老師A也覺得特失敗。教師A修改后繼續(xù)上課。

所以 △AOB≌△COD

觀察者視角：為什么直接運(yùn)用定理的題學(xué)生還是出錯？其實形式化的證明是幾何的高級階段，不容易掌握其中的數(shù)學(xué)要義。幾何的發(fā)展也是分階段，學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時，要經(jīng)歷幾個階段的幾何水平發(fā)展，起初的幾何是不需要證明的，如直觀幾何，主要關(guān)注學(xué)生的操作水平，用折紙等方式打下幾何的經(jīng)驗基礎(chǔ)。變換幾何是從變換的角度理解幾何，平面上的圖形是動態(tài)的，可以對折、平移、旋轉(zhuǎn)。學(xué)生通過變換幾何的認(rèn)識，加快產(chǎn)生圖形的內(nèi)在思維操作過程，產(chǎn)生幾何學(xué)習(xí)的飛躍。理解幾何學(xué)習(xí)的困難，給學(xué)生以幫助。

多媒體顯示:問題探究3：如圖4，AC=BD,∠CAB=∠DBA,你能說明AD=BC嗎？說明理由。

觀察者視角：教師A設(shè)計意圖是想讓學(xué)生利用全等三角形的判定定理，證明△CAB≌△DBA，再得出AD=BC.可是教師A若能領(lǐng)會變換幾何的思想，讓學(xué)生在尋找全等三角形的時候運(yùn)用平移、對折、旋轉(zhuǎn)三種變換，全等三角形的尋找將是一種什么樣的旅程呢？

圖3 圖4

3 認(rèn)知學(xué)徒制的框架

認(rèn)知學(xué)徒制是艾倫·柯林斯和約翰·西利·布朗在開發(fā)基于學(xué)徒制經(jīng)驗的學(xué)習(xí)環(huán)境產(chǎn)生的學(xué)習(xí)科學(xué)的新概念。他們認(rèn)為[2]：

縱觀歷史，教和學(xué)都是以學(xué)徒制為基礎(chǔ)的。兒童學(xué)習(xí)如何說話、農(nóng)民學(xué)習(xí)農(nóng)作物種植、裁縫學(xué)習(xí)制衣服、木匠學(xué)習(xí)制作家具，但是他們不是在學(xué)校學(xué)會這些事情的，而是他們的家庭或社區(qū)的長輩告訴他們?nèi)绾巫?，并且?guī)椭麄儗W(xué)會的。

……

在現(xiàn)代社會，對于絕大部分其他知識來說，學(xué)校教育代替了學(xué)徒制。

……

當(dāng)一個人擁有資源和強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望時，他們也經(jīng)常會雇用一個教練或輔導(dǎo)教師通過學(xué)徒制來教他們——這表明即使是現(xiàn)代社會中學(xué)徒制仍然是更有效的教育方式。

認(rèn)知學(xué)徒制注重構(gòu)成學(xué)習(xí)環(huán)境的四個維度：內(nèi)容、方法、順序和社會學(xué)[2]。在這個框架下研究、探討在真實環(huán)境中的數(shù)學(xué)課例，發(fā)現(xiàn)可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)、改進(jìn)教師教學(xué)環(huán)境設(shè)計的地方。

3.1 內(nèi)容

內(nèi)容是專家技能需要的知識類型，主要包括領(lǐng)域知識、策略知識(啟發(fā)策略、元認(rèn)知策略、學(xué)習(xí)策略)。教學(xué)設(shè)計必須掌握領(lǐng)域知識，即學(xué)科具體的概念、事實和程序[2]。課例中學(xué)科具體的概念是全等三角形，判定的事實和程序是邊角邊判定定理，這是一個條件性知識，不易掌握，因為應(yīng)用這個定理是要注意應(yīng)用條件，所以教師A設(shè)計了反例(探究1、探究2)和正例(例1)、旁例(探究3)反復(fù)理解這個條件，讓學(xué)生理解。教學(xué)設(shè)計必須掌握策略知識，即啟發(fā)策略、元認(rèn)知策略、學(xué)習(xí)策略[2]。元認(rèn)知是關(guān)于認(rèn)知的認(rèn)知，控制執(zhí)行任務(wù)的過程。學(xué)習(xí)策略是學(xué)習(xí)領(lǐng)域知識、策略知識的策略。在課例中，教師A試圖促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生正遷移，可是學(xué)生的正遷移反饋情況并不理想。所以教師的教學(xué)設(shè)計應(yīng)該是基于設(shè)計的教學(xué)，其中還要體現(xiàn)教師的策略知識的設(shè)計。

3.2 方法

方法是促進(jìn)專家技能發(fā)展的方法。認(rèn)知學(xué)徒制的教學(xué)方法主要有六種：示范、輔導(dǎo)、腳手架、表達(dá)、反思、探索[2]。

方法的設(shè)計中的示范主要是指通過專家演示執(zhí)行任務(wù)的過程，以便于學(xué)生觀察并對需要完成的目標(biāo)過程形成概念模型[2]。例中教師A的規(guī)范的示范較少，主要是通過問題探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)限于表面，有的時候不理解，因為沒有教師的規(guī)范示范，學(xué)生沒有可依據(jù)的執(zhí)行完成任務(wù)的概念模型。

方法的設(shè)計中的輔導(dǎo)包括觀察學(xué)生執(zhí)行任務(wù)并為其提供建議、反饋[2]。比如教師可以讓學(xué)生問問題，闡明困難的原因、歸納總結(jié)等。課例中研究者觀察到教師A沒有太多的輔導(dǎo)設(shè)計，對于學(xué)生產(chǎn)生的學(xué)習(xí)困難沒有輔導(dǎo)，只是加以改正說明，學(xué)生的學(xué)被放到一邊，這對于促進(jìn)學(xué)生的學(xué)是個缺陷。

方法的設(shè)計中的腳手架是教師為幫助學(xué)生執(zhí)行任務(wù)而提供的支持[2]。腳手架體現(xiàn)了教師在幫助和促進(jìn)學(xué)生的支持設(shè)計。課例中的教師A的例題設(shè)計都是學(xué)科教學(xué)比較典型的問題，可是沒有設(shè)計腳手架，學(xué)生沒有得到幫助與支持，學(xué)生的反饋也說明這一點，學(xué)生覺得很難，可教師認(rèn)為很簡單，這中間的差距恰好說明了腳手架的存在以及對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用。腳手架的提供的例子可以是減緩問題的坡度，提供活動的框架等設(shè)計或建議。

方法的設(shè)計中的表達(dá)包括讓學(xué)生明確陳述某個領(lǐng)域中的知識、推理或問題解決的過程[2]。把學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在思維過程顯化為數(shù)學(xué)語言，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個有效的促進(jìn)方法?！皢“蛿?shù)學(xué)”的現(xiàn)象比較普遍，就是存在數(shù)學(xué)的表達(dá)的設(shè)計的忽略，教師只是傳遞知識，學(xué)生只是接受知識。基于學(xué)的設(shè)計要考慮學(xué)生的學(xué)，還要考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。包括數(shù)學(xué)語言的聽說讀寫思的培養(yǎng)。課例中教師A雖然也以提問的方式教學(xué)，探究的形式提問，可是為什么沒有促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)正遷移呢？學(xué)生的內(nèi)部思維沒有得到展現(xiàn)，學(xué)生演板出現(xiàn)的問題和錯誤，教師沒有反思深層原因，也沒有給機(jī)會學(xué)生表達(dá)和闡釋，學(xué)習(xí)只是接受教師的修正，沒有自己的“話語”，長期的“失語”使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體性喪失，參與性學(xué)習(xí)減少，智力參與活動與深層學(xué)習(xí)缺失。

方法的設(shè)計中的反思是指學(xué)生將在自己的問題解決過程與教師、同學(xué)對比。鼓勵學(xué)生反思可以促使學(xué)生的批判思維的形成，與教師或?qū)＜业膬?nèi)部認(rèn)知模式進(jìn)行比較，其目的是從專家或教師的行為的關(guān)鍵特征的“抽象重播”[2]。課例中的反思很少，使得學(xué)習(xí)的思維停留在記憶和模仿。沒有反思，就不可能形成“抽象重播”，沒有情境的學(xué)習(xí)使得學(xué)生的學(xué)習(xí)沒有思維與行為的參照和重復(fù)性，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得很困難。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是一種“模式”的學(xué)習(xí)。這種模式是可遷移的，是從在反思中歸納專家的關(guān)鍵行為而獲得的。

方法的設(shè)計中的探索是指引導(dǎo)學(xué)生自主尋找解決問題的模型[2]。在課例中，雖然都是以探究的形式出現(xiàn)的，但是學(xué)生的自主性不強(qiáng)。教師A的方法設(shè)計中沒有真正探索。學(xué)生沒有形成對教師A的整個設(shè)計意圖的認(rèn)識，不是在教師的引導(dǎo)下探索問題，而是教師提問，學(xué)生回答,不會或錯誤，教師給予答案或糾正。這種模式不會產(chǎn)生探索，因為學(xué)生的主體性喪失，話語喪失，自主性消失了。探索的方法設(shè)計讓教師認(rèn)識到要設(shè)計探索，如課后開放性問題、課堂的題組設(shè)計等都可以形成探索的源泉。

3.3 順序

學(xué)習(xí)的順序設(shè)計是指引導(dǎo)學(xué)生活動的先后順序。一般是逐漸增加復(fù)雜性、逐漸增加多樣性、全局優(yōu)先局部等[4]。結(jié)合課堂中學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展的邏輯的特點，設(shè)計順序，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程。課例中的問題設(shè)計沒有體現(xiàn)順序，難度沒梯度，知識重點知識的羅列，順序的功能沒有體現(xiàn)，其中幾個探究問題還有進(jìn)一步發(fā)展的可能。

3.4 社會學(xué)

認(rèn)知學(xué)徒制的社會學(xué)視角主要涉及情境化學(xué)習(xí)、實踐共同體、內(nèi)部動機(jī)、促進(jìn)合作等方面的視角[2]。課例中實踐共同體和促進(jìn)合作方面比較缺失的。課堂中“話語模式”基本上是“教師問、學(xué)生答；不會，教師講解；錯誤，教師糾正”。沒有生生的合作和交流與班級的學(xué)習(xí)共同體和合作的相互學(xué)習(xí)模式的形成，課堂社會學(xué)的視角的設(shè)計是今后應(yīng)該努力的一個方面。

4 建構(gòu)主義的視角

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)活動不應(yīng)該是由教師向?qū)W生傳遞知識，而是幫助學(xué)生建構(gòu)自己知識的過程，學(xué)習(xí)者不是被動地吸收知識，而是主動地建構(gòu)信息的意義，同時把社會性的互動作用看做促進(jìn)學(xué)習(xí)的源泉[3]。人們基于他們已經(jīng)知道的知識去建構(gòu)新知識和新知識的理解。建構(gòu)主義者認(rèn)為不管如何教一個人，所有的知識是基于已有的知識而建構(gòu)起來的[6]。這些知識成為新的教學(xué)的邏輯起點。學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者的意義建構(gòu)、是社會互動與協(xié)商。數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾就強(qiáng)調(diào)要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

社會建構(gòu)主義認(rèn)為社會對個體知識的建構(gòu)起著重要的支持和促進(jìn)作用，并且認(rèn)為人的高級心理發(fā)展是自然性與社會性相互作用內(nèi)化的結(jié)果[5]。數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)是語言知識、約定和規(guī)則而語言就是一種社會建構(gòu)，主觀的數(shù)學(xué)知識只有得到社會數(shù)學(xué)專業(yè)共同體的承認(rèn)才能轉(zhuǎn)化為客觀知識,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既是一個“個體建構(gòu)” 的過程，同時也是一個“文化建構(gòu)”的過程，教學(xué)設(shè)計中要體現(xiàn)情境性，建構(gòu)學(xué)習(xí)者的意義，增加數(shù)學(xué)文化環(huán)境的預(yù)設(shè)。

5 情境認(rèn)知與學(xué)習(xí)的遷移促進(jìn)

學(xué)校教育的一個目標(biāo)是為了使得學(xué)生能靈活地適應(yīng)新的問題和情境而做準(zhǔn)備，即學(xué)生的知識遷移能力。我們可以從三個方面認(rèn)識影響學(xué)習(xí)的遷移促進(jìn)因素：首先是知識性質(zhì)。Anderson把知識分為兩類：陳述性知識與程序性知識，探討知識的表征性質(zhì)以及它們的功能。Mayer提出廣義的知識觀，把知識分為三類：語義知識；程序性知識，策略性知識。策略性知識對于如何學(xué)習(xí)、記憶，包括應(yīng)用策略進(jìn)行自我監(jiān)控。策略知識的獲取受原有知識背景、反省認(rèn)知發(fā)展水平、動機(jī)水平的影響[3]。第二是學(xué)習(xí)策略。學(xué)習(xí)科學(xué)的新研究表明,幫助學(xué)生對自己學(xué)習(xí)進(jìn)行自我監(jiān)控的重要性。元認(rèn)知就是對認(rèn)知的認(rèn)知，包括關(guān)注于理解、自我評價和根據(jù)所學(xué)和需要改進(jìn)的地方進(jìn)行反饋的活動，對知識遷移到新情境的程度得到增強(qiáng)[1]。第三是情境認(rèn)知。先前的知識可能幫助或妨礙新信息的理解。有效的教學(xué)促進(jìn)正遷移，這是通過主動確定學(xué)生帶到學(xué)習(xí)情境相關(guān)知識與能力并在此基礎(chǔ)上的進(jìn)行建構(gòu)來實現(xiàn)的[1]。情境以強(qiáng)有力的方式影響著學(xué)習(xí)及其遷移。研究表明，知識與認(rèn)知技能的獲得均高度的依賴于獲得它們的情境。學(xué)習(xí)遷移是解決問題等創(chuàng)造性思維的核心能力，是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必不可少的和期望出現(xiàn)的現(xiàn)象[4]。

6 課例的迭代設(shè)計

基于設(shè)計的研究是學(xué)習(xí)科學(xué)的對于學(xué)習(xí)環(huán)境設(shè)計的研究方法之一，柯林斯希望發(fā)展一種教育的科學(xué)，是一門設(shè)計的科學(xué)。他們認(rèn)為設(shè)計是對未來的創(chuàng)造，在多次循環(huán)迭代中，對理論進(jìn)行“漸近式修正”，也是一種面向?qū)嵺`的發(fā)展性研究[5]。課例的迭代設(shè)計參考思路如下：

1)明確設(shè)計目標(biāo)。學(xué)習(xí)目標(biāo)就是正確的使用邊角邊(SAS)判定定理，是屬于條件性情境的創(chuàng)設(shè)，通過正例、旁例、反例說明判定定理使用的條件。

多媒體顯示:例題1 如圖5，OA=OD,OB=OC,求證：△?△COD.

觀察者視角：直接運(yùn)用SAS判定定理，對特定的圖形進(jìn)行識別，全等三角形的尋找，運(yùn)用變換幾個的觀點可以遷移到下面的問題。

多媒體顯示:例題2如圖6，AC=BD,∠CAB=∠DBA, 你能說明AD=BC嗎？ 說明理由。

圖5 圖6

觀察者視角：對這個問題直接運(yùn)用SAS判定定理，失去了一次深層學(xué)習(xí)的機(jī)會，若對上題圖形作旋轉(zhuǎn)、平移、對折可以變?yōu)檫@個問題的圖形，讓圖形內(nèi)在的聯(lián)系表現(xiàn)出來，產(chǎn)生學(xué)習(xí)遷移。即下圖7的思路：

2) 創(chuàng)設(shè)具體情境

多媒體顯示:探究1:如圖8.有一池塘，不知池塘對岸A,B兩點距離，現(xiàn)已取定池塘邊一點O，測得OA，OB之距離，問可否知道AB之距離？

觀察者視角：創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生聯(lián)系日常生活實際，聯(lián)系例題1，拓展幾何的應(yīng)用，可以建構(gòu)例題1的圖形。延長AO,BO至C,D.使得OA=OC，OB=OD聯(lián)結(jié)CD,測量CD即可。

3)促進(jìn)深層學(xué)習(xí)

多媒體顯示:探究2,如圖9，畫一個三角形使得一邊長為 4cm，一邊長為 2.5cm且其所對的角為 30°,動手操作、畫一畫。

圖7

圖8 圖9

觀察者視角：通過學(xué)生實際的動手操作，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，探究AB的臨界值的重要價值。分三類問題：大于2cm,等于2cm,小于2cm.課例中的探究就是存在兩個符合條件三角形的可能性，如是探究問題：已知兩個邊及其一邊的對角相等能判斷兩個三角形全等嗎？為什么？

7 結(jié)論與建議

促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)的有效遷移，是我們教學(xué)設(shè)計致力的一個設(shè)計目標(biāo)。為學(xué)習(xí)而設(shè)計的教學(xué)向為學(xué)習(xí)的有效遷移轉(zhuǎn)化。知識的學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是有限的，但學(xué)習(xí)的遷移能力是在負(fù)責(zé)的新情境中仍然可以適應(yīng)的能力，是學(xué)校教育所期待出現(xiàn)現(xiàn)象,是有效學(xué)習(xí)的一個重要的標(biāo)志。從學(xué)習(xí)科學(xué)的視角，關(guān)注人的學(xué)習(xí)?；谠O(shè)計的研究方法，面向?qū)嵺`的建構(gòu)性發(fā)展，關(guān)注學(xué)習(xí)環(huán)境的創(chuàng)設(shè)和認(rèn)知學(xué)徒制的范式的形成，為課例研究提供一個新的視角和嘗試。

教學(xué)設(shè)計者在設(shè)計與教學(xué)實踐中,要考慮學(xué)生自己的先前的知識基礎(chǔ),要創(chuàng)設(shè)知識學(xué)習(xí)遷移的學(xué)習(xí)環(huán)境，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)的元認(rèn)知等認(rèn)知策略，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)的社會性，加強(qiáng)學(xué)生之間的對話與交流的設(shè)計，促進(jìn)班級“學(xué)習(xí)共同體”學(xué)習(xí)文化的形成。

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