劉振國 胡 杰 胡 龍

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

由于復(fù)合材料的比強(qiáng)度、比剛度較高，近年來應(yīng)用十分廣泛.通過改變鋪層形式和厚度來改變剛度、強(qiáng)度、屈曲和振動(dòng)等性能是復(fù)合材料設(shè)計(jì)的一個(gè)優(yōu)勢.遺傳算法作為一種高效的離散空間搜索算法，在復(fù)合材料鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)中適用性較好，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行的研究較多［1］.文獻(xiàn)［2-5］對(duì)層合板的遺傳算法本身的改進(jìn)作了研究，提高了收斂率，避免了早熟現(xiàn)象的產(chǎn)生.文獻(xiàn)［6］使用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法分別對(duì)層合板的鋪層比例和鋪層順序進(jìn)行了優(yōu)化，但其將兩者的優(yōu)化看成是兩個(gè)獨(dú)立的過程，并不能達(dá)到最優(yōu)化的結(jié)果.另外該方法不對(duì)整體鋪層數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化.上述研究中在模擬結(jié)構(gòu)力學(xué)性能方面均采用了經(jīng)典層合板理論，優(yōu)點(diǎn)是較為可靠、計(jì)算量較小，但是難以處理結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜和邊界條件復(fù)雜的問題.目前在處理實(shí)際優(yōu)化問題上，有限元方法逐漸成為主流.文獻(xiàn)［7］借用有限元分析結(jié)合特殊設(shè)計(jì)的遺傳算子，實(shí)現(xiàn)了鋪層材料、鋪層順序和鋪層厚度的優(yōu)化.文獻(xiàn)［8］提出了一種改進(jìn)的遺傳算法用以實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料的多學(xué)科優(yōu)化.文獻(xiàn)［9］引入了層合板彎曲剛度等中間參數(shù)，降低了優(yōu)化過程的有限元計(jì)算量.但他們的研究僅限于對(duì)層合板的整體優(yōu)化.

由于在諸如飛機(jī)機(jī)翼翼面、螺旋槳葉片等大面積應(yīng)用復(fù)合材料的部件上受力復(fù)雜，應(yīng)力變化比較劇烈，采用相同的鋪層會(huì)降低材料的效率，而獨(dú)立分區(qū)優(yōu)化未考慮相互間的聯(lián)系，難以達(dá)到整體目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，所以有必要研究在分區(qū)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行整體的優(yōu)化.目前有關(guān)分區(qū)設(shè)計(jì)方面的研究成果較少.分區(qū)設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)一方面是設(shè)計(jì)變量大大增加，另一方面區(qū)域與區(qū)域間差異較大的鋪層過渡也會(huì)對(duì)工藝性提出挑戰(zhàn).文獻(xiàn)［10］提出了一種復(fù)合材料全局優(yōu)化方法，通過對(duì)已經(jīng)分區(qū)的層合板進(jìn)行補(bǔ)強(qiáng)的方式，對(duì)復(fù)合材料快艇艇身進(jìn)行了優(yōu)化，得到了工藝性較好的結(jié)果.文獻(xiàn)［11］通過多島遺傳和序列二次規(guī)劃法相結(jié)合的形式對(duì)機(jī)翼翼盒段進(jìn)行了整體優(yōu)化，翼盒間相互獨(dú)立，其內(nèi)部保持鋪層一致，未考慮工藝.

本文結(jié)合整體和分區(qū)域設(shè)計(jì)的優(yōu)勢，提出了公共鋪層和局部鋪層共存的分級(jí)優(yōu)化模式，一方面保存了對(duì)局部區(qū)域特殊承載進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)的能力，另一方面全局鋪層的存在也保證了更好的工藝性，減少了設(shè)計(jì)參數(shù)可節(jié)約計(jì)算時(shí)間.另外，通過變異操作實(shí)現(xiàn)了鋪層的增減也降低了鋪層厚度變更的復(fù)雜程度.通過Python語言進(jìn)行遺傳算法的流程的實(shí)現(xiàn)，驅(qū)動(dòng)ABAQUS進(jìn)行模型的分析計(jì)算，實(shí)現(xiàn)層合板分級(jí)遺傳、鋪層順序和鋪層厚度的優(yōu)化.

1 單元模型

通過ABAQUS的用戶自定義子程序，將經(jīng)典層合板理論計(jì)算的剛度矩陣和失效形式植入單元計(jì)算.使得優(yōu)化過程僅需輸出鋪層形式即可進(jìn)行力學(xué)分析和失效判定.失效判定過程對(duì)每個(gè)單層逐一進(jìn)行校核，單層失效即判定為失效.

1.1 剛度矩陣計(jì)算

由經(jīng)典層合板理論［12］得層合板合成軸力和彎矩為

其中，ε(k)為第 k層層合板產(chǎn)生的應(yīng)變，ε(k)={εx(k)，εy(k)，εz(k)};Q-(k)為第k層層合板的剛度矩陣;zk為第k層中心沿厚度方向坐標(biāo).

由此，對(duì)于給定鋪層順序、厚度及鋪層角的層合板，即可求得層合板剛度.

1.2 破壞判定準(zhǔn)則

判定層合板破壞存在多種準(zhǔn)則，本文取平面應(yīng)力狀態(tài)Tsai-Wu張量準(zhǔn)則作為破壞判定條件［2］:

分析時(shí)，令式(3)左側(cè)計(jì)算值為強(qiáng)度因子STW，在每個(gè)單元內(nèi)對(duì)鋪層進(jìn)行逐層校核，判斷是否失效.

2 遺傳算法

遺傳算法是一種離散的空間搜索算法.通過將可能的解編碼成一向量——染色體，通過一代代的復(fù)制、交叉、變異操作，選出適應(yīng)度最好的染色體，即獲得最優(yōu)解.

2.1 基因編碼

雖然層合板中鋪層順序不會(huì)改變材料的拉壓性能，但是會(huì)對(duì)承彎性能造成影響，所以仍需對(duì)鋪層進(jìn)行排序.規(guī)定每層厚度T，用一定順序的數(shù)字串表示按此順序排布的鋪層.采用對(duì)稱形式鋪設(shè)，僅將一半用基因表示，鋪層基因編碼從左向右對(duì)應(yīng)鋪層從內(nèi)向外.為保證鋪層對(duì)稱性，±45°鋪層成對(duì)出現(xiàn)，兩層厚度值均設(shè)定為T/2.如下所示，其中 1，2，3 分別對(duì)應(yīng)鋪層角 0°，±45°和90°，0 表示對(duì)應(yīng)層不鋪:

對(duì)于給定鋪層而言，在何位置插入0，對(duì)鋪層本身不產(chǎn)生影響，但是破壞了基因-鋪層之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.為防止這種情況的發(fā)生，0只存在于隊(duì)列末尾.如變異或交叉產(chǎn)生編碼形式不符合條件，自動(dòng)傳遞至末尾，其后鋪層向前靠一位.

為實(shí)現(xiàn)多區(qū)域鋪層的全局優(yōu)化，對(duì)于每一個(gè)區(qū)域提供不同的鋪層建立獨(dú)立的基因編碼Nr，從而建立對(duì)于全局的公共鋪層Nw.計(jì)算過程中，全局鋪層也按對(duì)稱形式，鋪設(shè)于區(qū)域?qū)颖砻?，全局鋪層基因設(shè)置于基因鏈末尾，該鋪層也參與優(yōu)化過程，以獲取最優(yōu)結(jié)果.為了防止區(qū)域間厚度變化過大影響工藝性，需要對(duì)鋪層厚度變化范圍給出限定.限定 Nr和 Nw的最大值分別為 Nr，max和 Nw，max，最小值分別為 Nr，min和 Nw，min.如圖1所示 3 個(gè)區(qū)域，Nr，max=6，Nw，max=7 時(shí)的鋪層示意圖.如該基因所表示的鋪層1對(duì)應(yīng)的區(qū)域1的實(shí)際鋪層(包含區(qū)域與全局鋪層，并且為對(duì)稱排布)應(yīng)為

圖1 分級(jí)鋪層方式示意

區(qū)域鋪層與區(qū)域鋪層之間如果對(duì)應(yīng)層鋪角不同，則采用錯(cuò)位搭接方式，厚度變化不連續(xù)則采用逐層遞減方式過渡.由于過度區(qū)域強(qiáng)度增加，為降低分析復(fù)雜程度，減少計(jì)算時(shí)間，本文不再單獨(dú)對(duì)該區(qū)域進(jìn)行力學(xué)分析.另外，過渡區(qū)域在質(zhì)量上的增加可忽略不計(jì).

2.2 遺傳算子

選擇與交叉:選擇過程采用蒙特卡羅方法，每個(gè)個(gè)體的選擇概率和其評(píng)估值成正比.

交叉:以一定交叉率pc進(jìn)行交叉.為提高個(gè)體之間的交叉頻率，遵循多點(diǎn)交叉原則.父本與母本的對(duì)應(yīng)區(qū)域基因相互交叉產(chǎn)生子代個(gè)體，不同區(qū)域之間不交叉.交點(diǎn)和選取的基因段均隨機(jī)確定.如圖2例舉了父代一種可能的交叉生成子代方式.

圖2 交叉過程

變異:以一定變異概率pm隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體，選擇其中一個(gè)基因進(jìn)行突變.根據(jù)給定的變異率進(jìn)行變異操作，變異區(qū)域有相同概率增加或者減少一層.增加鋪層時(shí)，隨機(jī)選取其中一層，置于之前，鋪層角度隨機(jī)產(chǎn)生.若該區(qū)域鋪層數(shù)已達(dá)最大值，則刪去最后一層.減少鋪層時(shí)，隨機(jī)選取其中一層將該層刪去，若該區(qū)域鋪層數(shù)已減至最小值，則不再進(jìn)行刪去操作.圖3顯示了當(dāng)區(qū)域變異后層數(shù)超過限定層數(shù)時(shí)的操作過程.

圖3 變異過程

2.3 精英算法改型［13］

為了保存每代最優(yōu)的個(gè)體，使用的是保護(hù)精英的方法.交叉變異操作生成的子代與親代混合排名，取前Nelite個(gè)作為精英，直接傳遞到下一代，剩下的名額由之前產(chǎn)生的子代排名靠前的補(bǔ)滿.第一代個(gè)體基因隨機(jī)產(chǎn)生，第二代開始采用精英保護(hù)保存優(yōu)良個(gè)體.

3 評(píng)估函數(shù)設(shè)計(jì)

3.1 適應(yīng)度函數(shù)

對(duì)應(yīng)多目標(biāo)優(yōu)化，適應(yīng)度函數(shù)取權(quán)重函數(shù)，其形式為

其中，Dik為對(duì)應(yīng)第i個(gè)個(gè)體的第k個(gè)權(quán)重參數(shù)的無量綱值;ωk為該參數(shù)的權(quán)重系數(shù)，總和為1;NF為適應(yīng)度函數(shù)權(quán)重參數(shù)個(gè)數(shù).權(quán)重參數(shù)取設(shè)計(jì)過程中主要關(guān)注的變量，如結(jié)構(gòu)形變、重量、整體剛度(應(yīng)變能)等.Dik=dik/Sk，Sk根據(jù)初始設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果給出.若無初始設(shè)計(jì)方案，則按給定最大層數(shù)下π/4板(0/±45/90)2計(jì)算.

3.2 適應(yīng)度函數(shù)改進(jìn)

對(duì)于計(jì)算過程中需要獲取最小適應(yīng)度值的個(gè)體，需要對(duì)適應(yīng)度作適當(dāng)調(diào)整.另外，使用統(tǒng)一的適應(yīng)度算式存在算法前期適應(yīng)度很高的個(gè)體優(yōu)勢特別突出的問題，以致產(chǎn)生超級(jí)個(gè)體，造成早熟的缺陷，并且在后期個(gè)體適應(yīng)度差異縮小時(shí)也會(huì)降低遺傳效率.綜合考慮以上兩方面，對(duì)適應(yīng)度值作以下調(diào)整:

其中，b為Fi理想最小值;a為Fi平均值與最小值之差，保證平均值的適應(yīng)度為0.5時(shí)Fi與b的距離.取β=2，為了起到調(diào)節(jié)作用，對(duì)α早期取0.5，中期取1，后期取2.

由于計(jì)算過程中，每一個(gè)算例的理想值較難估算，過大過小都會(huì)延緩遺傳進(jìn)化速率，為此，本文取b為群體本代的最小值，使得每一代均能且僅能產(chǎn)生一個(gè)適應(yīng)度為1的個(gè)體.這么做的缺點(diǎn)是使得每一代調(diào)整后的適應(yīng)度值F*i與本代最大適應(yīng)度值Fi，max相關(guān)，不能逐代比較F*i.另外，采用精英算法時(shí)，考慮了父子兩代的適應(yīng)度，所以，將b修正為父子兩代群體F*i最小值.

3.3 懲罰函數(shù)

對(duì)于實(shí)際遺傳計(jì)算過程中，不滿足約束條件的個(gè)體，如果直接對(duì)其拋棄，會(huì)對(duì)種群的多樣性產(chǎn)生影響，這種情況在最優(yōu)解在邊界附近時(shí)尤為明顯.為此，采用懲罰不可行解的方法將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題.對(duì)于給出的約束條件，選取乘法形式的評(píng)估函數(shù)

其中Pi為罰函數(shù).采用文獻(xiàn)［14］提出的懲罰函數(shù)，對(duì)于約束gk≤bk，計(jì)算式如下:

其中，Δbk=max{0，gk-bk};Δbmaxk=max{ε，Δbk}，為避免分母為0給出的小正數(shù);Np為給出的約束條件總數(shù).同樣需要注意，采用精英算法時(shí)，將bmaxk修正為父子兩代的違反量最大值.

3.4 其他計(jì)算考慮

隨著遺傳過程的進(jìn)行，產(chǎn)生相同基因個(gè)體的概率越來越大.由于采用ABAQUS計(jì)算一個(gè)實(shí)例的時(shí)間較長，重復(fù)計(jì)算將對(duì)資源造成極大的浪費(fèi).為防止此類狀況的發(fā)生，對(duì)歷代每個(gè)已計(jì)算的個(gè)體基因和計(jì)算結(jié)果進(jìn)行保存，每次進(jìn)行模型計(jì)算前，對(duì)待解基因與已存基因進(jìn)行逐個(gè)比對(duì)，若已進(jìn)行過計(jì)算，則將計(jì)算過程跳過，直接輸出之前的結(jié)果，否則進(jìn)行計(jì)算.為方便比較，將基因序列看成4進(jìn)制數(shù)值，轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制值Ngen保存，如鋪層為［1，1，2，2，3，2，0］時(shí)，Ngen=5 816.若將整個(gè)基因鏈整體轉(zhuǎn)化保存，Ngen會(huì)隨著區(qū)域數(shù)量增加呈幾何倍數(shù)上升，不利于比較，因此需進(jìn)行逐區(qū)域保存，逐一比較兩個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)區(qū)域的Ngen，若相同則判定為同一個(gè)個(gè)體.

4 算例

參照文獻(xiàn)［15］算例1并根據(jù)對(duì)稱原則截取一半，設(shè)計(jì)算例如下:一塊長寬為40 mm×15 mm的層合板，受力形式如圖4所示，兩長邊自由，一短邊AB限制x向位移和繞y軸旋轉(zhuǎn)，并受不同方向均布線載 f1和 f2，取 f1=20 N/mm，f2=50 N/mm.考慮到剪力在平板內(nèi)基本不變，板受彎沿x方向逐漸變化，將其沿x方向分為3個(gè)區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化.

圖4 模型受力及分區(qū)示意圖(單位:mm)

設(shè)定單層鋪層厚度T=0.2 mm，ρ=1.56 g/mm3，設(shè)定適應(yīng)度權(quán)重參數(shù)為結(jié)構(gòu)重量和層合板A，B點(diǎn)間平均位移.對(duì)等厚度(6.4 mm)π/4板計(jì)算后，取去量綱因子 S1=5×10-6kg，S2=0.5 mm，取ω1=0.5，ω2=0.5.約束為各區(qū)域每個(gè)單元每個(gè)單層Tsai-Wu準(zhǔn)則下不失效，安全因子取1.遺傳算法方面，設(shè)定最高遺傳100代，每代種群個(gè)數(shù)為100.由于使用了精英算法保證了最優(yōu)結(jié)果遺傳的完整性，所以取稍大的交叉率和遺傳率:pc=0.9，pm=0.05.另外，鋪層方面取 Nr，max=7，Nw，max=9，Nr，min=3，Nw，min=4.

分級(jí)鋪層優(yōu)化遺傳過程見圖5.層合板最優(yōu)結(jié)果在第 41 代出現(xiàn)，最優(yōu)鋪層為［(2，2，2，1，1，1，1)，(2，2，2，2，1，1，0)，(2，2，2，0，0，0，0)，(1，1，1，1，1，1，1，1，0)］，對(duì)應(yīng)質(zhì)量 m=4.786 579 ×10-3kg，位移，w=0.190 642 3 mm，最優(yōu)適應(yīng)度 F=0.6693002，STW，max=0.2123366.

圖5 層合板優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

總體上，由于剪切剛度對(duì)鋪層厚度不敏感，而外層的承彎效率更高，因此優(yōu)化結(jié)果中內(nèi)層由±45°鋪層占據(jù)，外層均為0°，符合實(shí)際情況.剪切力沿板x方向基本不變，所以±45°層厚度基本相同.而區(qū)域1由于要承擔(dān)更大的彎曲應(yīng)力，所以較區(qū)域2的0°鋪層所占的比例更大，區(qū)域3所承擔(dān)的彎曲應(yīng)力最小，由于有全局鋪層的存在，所以不再出現(xiàn)0°鋪層，而層數(shù)減小至3層.由于算例中不存在沿y方向的外力，所以優(yōu)化結(jié)果中不含有90°鋪層.

為證明該鋪層形式為設(shè)計(jì)條件下的最優(yōu)解，現(xiàn)通過有條件的窮舉法證明.由上述分析可知，區(qū)域最優(yōu)形式鋪層分布為內(nèi)層為±45°，外層為0°，0°在區(qū)域1中所占的比例最大，在區(qū)域3最小.另外，全局鋪層在區(qū)域鋪層最外層均為0°的情況下，均為0°.對(duì)窮舉滿足條件的105717種情況進(jìn)行計(jì)算統(tǒng)計(jì)，證明該鋪層方案是最優(yōu)解.

若采用不分級(jí)僅分區(qū)優(yōu)化方式，由于將所有整體鋪層都拆分成了區(qū)域鋪層，相較于分級(jí)鋪層方式，增加了設(shè)計(jì)變量，因此在計(jì)算時(shí)間上增加了37%.計(jì)算結(jié)果是最優(yōu)鋪層在區(qū)域1中增加了1層0°鋪層，其他區(qū)域中與分級(jí)鋪層方式優(yōu)化結(jié)果相同，適應(yīng)度值減少1%，差別較小，因此付出的計(jì)算效比不高.

對(duì)于同一個(gè)算例，其他參數(shù)保持不變，僅取ω1在0.1～0.9之間變化，得到分區(qū)優(yōu)化結(jié)果如表1所示.由表1可見，隨著質(zhì)量權(quán)重的增加，各區(qū)域和全局鋪層數(shù)量逐漸減少，直至ω1=0.9時(shí)全體減至最低鋪層數(shù).ω1=0.7時(shí)區(qū)域2鋪層的增加是建立在全局鋪層減少2層的基礎(chǔ)之上的，綜合而言，該區(qū)域鋪層總數(shù)是減小的.另外，鋪層中0°鋪角比例逐漸增加，以便在有限質(zhì)量內(nèi)保證一定的彎曲剛度.所列最優(yōu)鋪層結(jié)果均未破壞，STW，max=0.3851623，出現(xiàn)在 ω1=0.9 處.

表1 分級(jí)鋪層優(yōu)化結(jié)果隨質(zhì)量權(quán)重因素ω1變化

本文也對(duì)不分區(qū)的整體優(yōu)化方式進(jìn)行了計(jì)算(即令區(qū)域數(shù)為1).為保證設(shè)計(jì)空間的一致性，設(shè)最大鋪層數(shù)為上例 Nr，max與 Nw，max之和，最小鋪層數(shù)為 Nr，min與 Nw，min之和，其他條件不變.圖6表示了分級(jí)優(yōu)化比整體優(yōu)化最優(yōu)適應(yīng)度增加的百分比隨ω1的變化趨勢.整體上隨著質(zhì)量權(quán)重系數(shù)的增加(ω1值增加)，兩者差距逐漸增大.由此可見，對(duì)質(zhì)量要求越苛刻，則分級(jí)設(shè)計(jì)的優(yōu)勢越明顯.ω1=0.9處時(shí)百分比產(chǎn)生較大下降的原因是本文設(shè)置的最低層數(shù)影響了質(zhì)量的進(jìn)一步降低、區(qū)域間差異擴(kuò)大的實(shí)現(xiàn)，事實(shí)上，在ω1=0.4處時(shí)，最低層數(shù)的限制已經(jīng)開始影響到了區(qū)域3的鋪層改變.

圖6 整體比分級(jí)優(yōu)化最優(yōu)適應(yīng)度增量百分比隨ω1的變化

5 結(jié)論

本文建立了層合板剛度模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)層合板鋪層角和厚度的遺傳優(yōu)化.一方面，通過對(duì)分區(qū)鋪層進(jìn)行單獨(dú)優(yōu)化和提出整體結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，考慮各個(gè)局部應(yīng)力，能夠比整體鋪層優(yōu)化得到受力形式更加細(xì)致合理的鋪層分布.另一方面，由于一般情況下應(yīng)力在結(jié)構(gòu)上是連續(xù)分布的，全局鋪層的存在，體現(xiàn)了針對(duì)整體應(yīng)力分布的鋪層設(shè)計(jì)，保護(hù)了該部分鋪層的完整性，也在一定程度上節(jié)約了計(jì)算資源.本文算例表明，分級(jí)鋪層遺傳優(yōu)化過程收斂較快，優(yōu)化結(jié)果合理可信，在應(yīng)力分布較為復(fù)雜的層合板中更能發(fā)揮優(yōu)勢，更能達(dá)到降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量、提高結(jié)構(gòu)剛度等目的.另外本文優(yōu)化分析過程結(jié)合了有限元計(jì)算方法，使得即使應(yīng)用復(fù)雜形狀的層板模型，其分析也變得簡單易行.

本文的計(jì)算過程中，區(qū)域是人為劃分的，全局鋪層、區(qū)域鋪層的最大層數(shù)和最小層數(shù)均是人為給定的，并沒有進(jìn)行定量的規(guī)劃，影響了最優(yōu)結(jié)果性能的進(jìn)一步提高.因此如何根據(jù)初步設(shè)計(jì)的應(yīng)力分布選擇區(qū)域數(shù)量、進(jìn)行自動(dòng)區(qū)域劃分，如何根據(jù)應(yīng)力變化幅度設(shè)定鋪層變化范圍，將成為進(jìn)一步提高優(yōu)化能力的研究方向.

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