蒲淑萍

（1.重慶師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，重慶 401331；2.華東師范大學(xué)，上海 200241）

1 研究背景

大量研究表明，分數(shù)教學(xué)有諸多的障礙與困惑[1～2].原因在于分數(shù)是兒童第一次學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中有關(guān)兩個量的相對比較關(guān)系，且分數(shù)具有多重意義（如部分/全體、集合、數(shù)線意義、商、比例等）、多重子概念（如單位概念、等分概念等），而這些子概念又牽涉“連續(xù)量”與“離散量”的不同情境，并具有一些特殊的性質(zhì)，如：等值、稠密性等[3]，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)概念時需要經(jīng)歷漫長且艱苦的發(fā)展過程[4].Kieren提出：教師有必要掌握分數(shù)的各種意義，并以各種意義為基礎(chǔ)設(shè)計分數(shù)問題，將有助于發(fā)展并考量學(xué)生對分數(shù)概念的認知[5].

當(dāng)前在各種國際數(shù)學(xué)成績測試中，如TIMSS，PISA，IEA等，中國、新加坡的學(xué)生成績位居前列，而美國的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績則一直處于后面幾位.然而進一步的調(diào)查也發(fā)現(xiàn)，位居前列的新加坡、中國的學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心、興趣等的調(diào)查結(jié)果卻大相徑庭，而美國學(xué)生成績雖不盡如人意，但學(xué)生對數(shù)學(xué)的信心、興趣以及創(chuàng)造力等方面卻明顯優(yōu)于中國[6].通過與別國對比，分析比對各自的優(yōu)勢與不足，相互借鑒，尋找東西方數(shù)學(xué)教育優(yōu)勢互補的中間地帶已成為主流趨勢.探究、分析新加坡、美國的數(shù)學(xué)教育，可為中國的數(shù)學(xué)教育提供參照、借鑒.

教材是影響學(xué)生學(xué)業(yè)成就的關(guān)鍵要素之一.那么對于“分數(shù)”這一被各國視為難點的教學(xué)內(nèi)容，中、美、新加坡三國教材是怎樣處理的呢？怎樣的呈現(xiàn)方式與教學(xué)順序更符合學(xué)生的認知？對此，以3個國家教材中的“分數(shù)定義”為突破口進行對比研究，他山之石可以攻玉，希望能為中國小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫與課堂教學(xué)提供借鑒.

2 教材選取與研究問題

學(xué)生對分數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)困難，在很大程度上可歸結(jié)為對分數(shù)意義或定義的不明所造成的.研究擬從教科書層面出發(fā)，以中國、新加坡、美國的小學(xué)數(shù)學(xué)主流教材：中國的人教版[7～9]，新加坡的Discover Maths[10～14]，以及美國加州小學(xué)數(shù)學(xué)教材California Mathematics[15]三套教材，選取各自教材中“分數(shù)定義”內(nèi)容進行詳細的案例研究.中國、新加坡、美國3國的小學(xué)均為6年制，中國和新加坡的教材都是每個年級兩冊，共12冊；美國加州則是每個學(xué)年一冊，共6冊教科書.3個國家小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都有分數(shù)內(nèi)容，且都是采取螺旋上升的方式設(shè)置.因此就分數(shù)定義而言，3個國家的教材具有可比性.

對于教材中的分數(shù)定義主要關(guān)注兩個方面：

（1）各國教材中出現(xiàn)了哪幾種分數(shù)定義？它們的呈現(xiàn)順序是怎樣的？

（2）幾種定義采用了怎樣的表征形式？定義之間的聯(lián)系是怎樣的？

3 研究方法

研究主要采用“內(nèi)容比較、分析法（Content analysis）”，這種方法是研究教科書常見的方法之一.因三地教材所用紙張大小、使用文字的差異等，僅從內(nèi)容所占頁碼的多少等表層“量”的比對并不能反映三地教材的本質(zhì)差異.故而，本研究主要采用定性分析的方法，對內(nèi)容進行深入地、多維度地比對、分析，以此為基礎(chǔ)進行解釋與推論.比較分析的內(nèi)容主要包括：（1）各國教材中出現(xiàn)的定義種類及呈現(xiàn)順序；（2）各類定義的表征形式及各種定義之間的聯(lián)系.

4 結(jié)果及分析

4.1 各類定義及呈現(xiàn)順序?qū)Ρ?/h3>

4.1.1 分數(shù)定義

關(guān)于分數(shù)定義，張奠宙、呂玉琴、Kieran等都進行過研究，通常認為分數(shù)定義建立在以下4種意義的基礎(chǔ)之上，各種意義最后均連接至分數(shù)最核心的“除的意義”.①平分的意義：從平分入手學(xué)習(xí)分數(shù)，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數(shù)學(xué)習(xí)中常見的認知沖突；②測量的意義：為解決測量時不足一個單位度量長度時的問題，通常就會引出分數(shù)或小數(shù)；因為強調(diào)單位，故而，測量是調(diào)和“部分/全體”的意義與帶分數(shù)認知沖突中的重要工具；③比例的意義：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學(xué)生比較容易接受.比值的引入，讓分數(shù)具有解決比例問題的意義；④部分/全體的意義：是分數(shù)的重要意義之一，但是由于概念較為抽象，而且真分數(shù)的暗示過深（整體為1），可能造成假分數(shù)或帶分數(shù)學(xué)習(xí)上的困擾，必須透過單位的強調(diào)來解決其認知沖突.

盡管學(xué)者們對分數(shù)所下定義不同，但大致可歸納出，出現(xiàn)在小學(xué)教材中的分數(shù)定義大致有如下4種，分別為：份數(shù)定義—部分/整體（包含子集/集合）關(guān)系、數(shù)線定義（數(shù)線上一點）、商的定義（整數(shù)相除）、比/比值（部分/部分）.而且在設(shè)置順序上，他們均認為分數(shù)的定義在不同的學(xué)齡階段有著不同的內(nèi)涵，也就是，隨著人們對分數(shù)認識的不斷深入，分數(shù)定義的內(nèi)涵不斷拓展，逐漸抽象化.

3個國家小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分數(shù)定義是怎樣呈現(xiàn)的呢？

4.1.2 三個國家小學(xué)教材中的分數(shù)定義

3個國家教材均對分數(shù)的多重意義有所體現(xiàn)，但各種定義呈現(xiàn)時間及順序有所不同，各類定義之間聯(lián)系亦不相同，具體見表1.

表1 “中國 美國 新加坡”小學(xué)數(shù)學(xué)教材分數(shù)定義的比較

4.1.3 對結(jié)果的分析

相同之處：

（1）4種“定義”都在三國教材中出現(xiàn)；

（2）都以“份數(shù)定義”為主；

（3）都是呈螺旋上升的方式；

（4）在份數(shù)定義中，都是按照從平分開始，介紹單位分數(shù)，再到一般分數(shù)，真分數(shù)、假分數(shù)的順序；

（5）三國教材對除“份數(shù)定義”以外的各類定義均采取了“模糊”處理，沒有明確說法，只有一些描述性語言，如分數(shù)“商的定義”，在3個國家教材中，都沒有出現(xiàn)“分數(shù)是整數(shù)q除以整數(shù)p（p≠0）所得的商”這樣明確的說法，而只有“比較分數(shù)與除法”發(fā)現(xiàn)兩者之間關(guān)系或“作為商的分數(shù)”的提法.

不同之處：

（1）“份數(shù)定義”不同的處理方式：分數(shù)的“份數(shù)定義”在三國教材中，都是分數(shù)定義的主要呈現(xiàn)方式，但是相比而言，也有著明顯的不同：

①出現(xiàn)時間的不同：美國加州教材的“份數(shù)定義”出現(xiàn)最早，在二年級前半段（相當(dāng)于中國、新加坡分冊處理的上冊）；新加坡教材次之，出現(xiàn)在二年級下冊；中國最晚，在三年級上冊出現(xiàn)；

②螺旋的次數(shù)不盡相同：從表1中可以看到，完整地介紹“份數(shù)定義”，中國只用兩次（三上與五下），而新加坡和美國教材則經(jīng)歷3次螺旋上升，才完整呈現(xiàn)；

③在“份數(shù)定義”中，最大的不同就是新加坡、美國教材中均是按照“parts of a whole”→“parts of a group”→“parts of a set”的順序，從3個不同層次逐步給出各類情境下的“部分/整體”的分數(shù)定義，而中國教材只有一種提法，就是“整體中的部分”，在相應(yīng)練習(xí)中出現(xiàn)如圖1所示問題，使學(xué)生通過解決此類問題或多或少感受并理解“集合”意義上的“份數(shù)定義”.

圖1 中國教材中的處理方式

（2）“除法定義”不同的處理方式：3個國家教材最大的不同體現(xiàn)在對除法與分數(shù)關(guān)系以及化假分數(shù)為帶分數(shù)的問題處理上.

①中國與美國的教材從平均分配的另外一種方法——除法，引出“作為商的分數(shù)”，而新加坡教材則仍從分數(shù)的“份數(shù)定義”出發(fā)引出除法算式與之對應(yīng)的意義解釋；

②在處理利用除法化假分數(shù)為帶分數(shù)的問題上，三國教材雖都是通過具體例題展示：商的整數(shù)部分作為帶分數(shù)的整數(shù)部分，余數(shù)對應(yīng)分子，所不同的是，新加坡與美國以明確的方式，采用豎式給出做法及除法豎式與分數(shù)各個構(gòu)成成分之間的對應(yīng)關(guān)系；而中國教材先通過問題“一個半”該如何表示，引出帶分數(shù)定義，后出示例子展示化假分數(shù)為整數(shù)（整除的情形）或帶分數(shù)的做法，通過先將分數(shù)化為橫式除法，再給出帶分數(shù)表示的做法.

（3）集中程度不同.

相比而言，中國的分數(shù)內(nèi)容主要集中在三年級上冊和五年級下冊，而新加坡和美國教材則分散在從二年級開始，跨越二、三、四、五，甚至六年級（新加坡），相比中國的設(shè)置，顯得分散了許多.

（4）對“數(shù)線定義”處理方式不同.

張奠宙先生認為：“在過渡到分數(shù)的商定義時，在數(shù)直線上對分數(shù)作幾何解釋是非常重要的.”[16]事實上，中國教材卻是先出現(xiàn)了“商的定義”后才出現(xiàn)“數(shù)線上的表示”.誠如張先生所言：“我國的分數(shù)教學(xué)，擅長分數(shù)的計算，不大注意在數(shù)軸上直觀地加以表示.”相比而言，對數(shù)線定義最為重視的當(dāng)屬加州教材，教材中先后多次用“數(shù)線”表示分數(shù)，內(nèi)容涉及“例題”、“練習(xí)”、“活動”等欄目，并在五年級上學(xué)期教學(xué)內(nèi)容中專門有一節(jié)“數(shù)線上的分數(shù)（Fractions on a Number Line）”作為數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進行探究.

圖2展示了新加坡教材中數(shù)線出現(xiàn)之前的幾何模型，圖3展示美國加州教材中“數(shù)線上的分數(shù)”的探究實驗內(nèi)容.

圖2 新加坡教材二（下）中數(shù)線出現(xiàn)之前的幾何模型

圖3 美國加州教材中“數(shù)線上的分數(shù)”的探究實驗內(nèi)容

4.2 分數(shù)定義不同表征形式及其作用

“表征”是學(xué)習(xí)的重要媒介，也是個體思考與溝通的重要工具，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有密不可分的關(guān)系.表征的功能有：①使數(shù)學(xué)概念具體化；②可成為溝通的工具；③可成為思考的材料；④可成為解題的工具.Lesh，Post和Behr[17]提到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題有5種不同的表征，包括現(xiàn)實情境（real-world situation）、操作模型（manipulative models）、圖（picture）、口語符號（spoken symbols）及書寫符號（written symbols）.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，不同的表征對兒童的概念理解產(chǎn)生重要影響，而且也直接影響著問題解決的難易.Behr，Wachsmuth，Post和Lesh[18]強調(diào)表征間的轉(zhuǎn)換能力是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決及產(chǎn)生、有意義學(xué)習(xí)的重要因素.通常認為，多種表征形式有助于學(xué)生對抽象概念的理解.那么分數(shù)定義中的表征形式有哪些？各國在表征形式的選取上是否相同？值得探究.

分數(shù)的概念較整數(shù)更抽象，而實物和圖畫式等表征形式更易使學(xué)生掌握分數(shù)的符號規(guī)則.三國教材中，都采用了多種表征形式.這里以分數(shù)的“份數(shù)定義”這一主要定義形式為例進行比較，希望對中國教材處理抽象概念的表征形式提供一點參考.

可以看到，3個國家“份數(shù)定義”中大體都采用了如下4種表征形式：現(xiàn)實情境、具體操作物、圖形、符號（教材中主要是書寫符號）.因3個國家教材對“份數(shù)定義”處理的不同，單從數(shù)量并不能說明各自的差異，這里主要對“份數(shù)定義”中各類表征形式之間的聯(lián)系進行比對，發(fā)現(xiàn)3個國家教材對定義中表征形式的處理并不相同.

在表征順序上，中國教材多從具體情境出發(fā)，引出問題，借助具體操作物，進而過渡到“圖形”表征，在做了這些準備后，給出定義及符號表達.這種處理方式體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)化”的過程及思想；加州教材多是從定義出發(fā)，介紹定義及符號表示，后借助具體操作物、圖形解決問題，多在后面練習(xí)及問題解決中出現(xiàn)與該內(nèi)容相聯(lián)系的現(xiàn)實情境，似乎是為尋找知識在生活中的“作用”；新加坡教材則從“折紙”等具體操作入手，給出對應(yīng)“符號”，再給出相應(yīng)文字定義.種種做法孰優(yōu)孰劣，很難直接下結(jié)論，在教學(xué)中可嘗試多種教學(xué)設(shè)計，探尋更加符合學(xué)生認知的表征形式的呈現(xiàn)過程.

5 啟 示

5.1 對分數(shù)定義處理的啟示

5.1.1 份數(shù)定義宜分層次處理

相比新加坡、美國教材對“份數(shù)定義”的處理，中國教材有較為明顯的不足.新加坡、美國教材利用不同情境給出“份數(shù)定義”：“整體中的部分”、“組合里面的部分”再到“集合中的部分”，分成3個不同層次，逐步增加概念的抽象程度.這樣做可使學(xué)生清晰感知分數(shù)“單位”的多種適當(dāng)選擇，有利于學(xué)生完整地、深入地理解“份數(shù)定義”.而中國教材“整體中的部分”的單一提法，易造成學(xué)生認識上的不足或錯誤理解[19].因此建議：份數(shù)定義的處理宜借鑒新加坡、美國教材的做法，對中國教材做出改進.

5.1.2 改進分數(shù)“商的定義”教材處理

分數(shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣.按照張奠宙先生的說法，分數(shù)“商的定義”體現(xiàn)了分數(shù)的本質(zhì)，符合數(shù)系擴張的數(shù)學(xué)思想，理應(yīng)成為分數(shù)引入、分數(shù)定義的首選的、核心的內(nèi)容.三國教材盡管對“除法與分數(shù)”之間關(guān)系都用不少篇幅展開，但對其作用與意義突出不夠.試想，若從“商的定義”入手引入分數(shù)，再到分割形成的“份數(shù)定義”，再到數(shù)軸上任意大小的分數(shù)，會否有助于去除當(dāng)今教學(xué)中存在的對分數(shù)的種種認識不足（比如認為分數(shù)比1小，分數(shù)基本性質(zhì)中對相等分數(shù)的錯誤認識），這樣的順序是否更有利于學(xué)生對分數(shù)概念的理解與建構(gòu)？這值得思考.

5.1.3 加強分數(shù)“數(shù)線定義”的內(nèi)容及教學(xué)

將分數(shù)在數(shù)線上直觀表達出來，是促進學(xué)生正確理解分數(shù)定義的有力工具.它起到了將現(xiàn)實情境與具體操作物進一步轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)符號”的作用，是溝通各種表征形式的良好介質(zhì)，教材及教學(xué)理應(yīng)重視其作用，增加分數(shù)“數(shù)線定義”的內(nèi)容.在此，新加坡教材給了我們良好的啟發(fā)：從“細長條形塊”這一幾何模型逐漸過渡到數(shù)學(xué)的語言與符號——數(shù)線，逐步抽象，更加符合學(xué)生的認知發(fā)展.

5.2 對教學(xué)實踐的啟示

長期以來中國教材及教學(xué)多采用“情境創(chuàng)設(shè)——提出問題——實物操作——‘圖形’表征——定義、符號”的基本順序，這種做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系.然而，數(shù)學(xué)本身的學(xué)科特征使其某種程度上具有脫離情境的特征，比如其幾何解釋、符號表達等.同時“現(xiàn)實情境”、“具體操作物”、“圖形”等表征形式無一不為分數(shù)的“符號”表征及其認知服務(wù).倘若一味強調(diào)上述順序則易使教學(xué)陷入某種僵化模式，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)的把握.需要處理好“數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系”與“數(shù)學(xué)的形式特性”之間關(guān)系的辯證統(tǒng)一，既要突出知識的內(nèi)在聯(lián)系，又不過分強調(diào)情境學(xué)習(xí)[20].因此，結(jié)合內(nèi)容特點，適度采用多元化的表征順序，這方面新加坡教材、加州教材給予研究者重要啟示.如，對分數(shù)定義，就不妨就從數(shù)學(xué)化的“商的定義”入手，以此為核心，聯(lián)系分配、測量、比例等意義，逐步給出“份數(shù)定義”、“數(shù)線定義”及“比的定義”，則更有益于去除現(xiàn)今教學(xué)中學(xué)生易產(chǎn)生錯誤理解之處.為增強知識與實際生活的聯(lián)系，可在學(xué)生真正掌握分數(shù)本質(zhì)后，給出與實際生活聯(lián)系密切的例子.再如，化假分數(shù)為帶分數(shù)內(nèi)容的處理，可適當(dāng)簡化，在分數(shù)除法定義的基礎(chǔ)上，直接給出具體做法，而無需做多余的鋪墊.總之，教學(xué)中宜視具體內(nèi)容的不同而采取不同的表征順序和處理方式.同時，多種不同的教學(xué)處理方式對學(xué)生思維發(fā)展的多維度、多向性亦是有益的.這是三國教材分數(shù)定義比較給予研究者的重要啟示.

從教材比較的角度來看，文章僅對中、美、新三國教材對分數(shù)定義的處理進行了比對，對于分數(shù)內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難不僅在定義，對分數(shù)的運算也存在很多問題，如對分數(shù)除法“顛倒相乘”的算理缺乏足夠認識等，美、新兩國是如何處理分數(shù)四則運算的？以及3套教材除卻分數(shù)外的其它內(nèi)容是否有可資借鑒的地方？另外，對于教材比較應(yīng)采用的方法、針對不同內(nèi)容應(yīng)選擇的合適切入點等都值得研究者深入、細致地分析、思考，以期通過合理、有效的方式比較、借鑒別國教材的成功做法，逐步改進中國的教材與教學(xué).

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