周博臻 徐四六 程正則

(湖北科技學院電子與信息工程學院,咸寧 437100)

1 引言

20世紀80年代以來,光束在非線性介質中傳播時,如果非線性效應恰好能和衍射效應相平衡,光束在傳播過程中保持形狀不變,此光束就稱為光學空間孤子.目前,光學空間孤子的研究正從簡單結構到復雜結構孤子,從標量到矢量孤子,從相干到非相干孤子,從均勻介質到離散系統(tǒng)中的晶格孤子,以及從局域非線性到非局域非線性孤子發(fā)展.穩(wěn)定性是孤子研究的一個重要方面,因為從物理上考慮,只有穩(wěn)定的孤子才能在實驗中觀察和控制.而光彈,或者說時空光孤子,在非線性光學介質中是真實存在的,是當非線性調制使衍射和散射同時達到平衡時形成的穩(wěn)定波包[1-6]考慮高維(二、三維)的情況時,光彈在克爾介質中通常是不穩(wěn)定的,因此得到穩(wěn)定性的光彈顯得十分重要.令人欣慰的是,到目前為止有許多可以使光彈更加穩(wěn)定的設計方案已經(jīng)被報道.如穩(wěn)定的光彈既可以在飽和或完全非線性介質[7-9]、二次型的[10,11]或非局域非線性介質[12-14]、非線性介質進行串聯(lián)的光學幾何體[15,16]等中形成,也可以存在于不同光波導陣列和光學晶格的材料中[17-22].

特別地,由于光學晶格具有空間周期性的特點,其對光波具有很好的囚禁作用,能夠使光波在非線性介質中形成穩(wěn)定的光孤子.研究光彈在光學晶格中的形成和傳輸時,其非線性的介質通常假設為均勻的.然而,目前的技術已經(jīng)允許介質具有線性和非線性折射率分布的性質,這種可能已經(jīng)在玻色-愛因斯坦凝聚中有關孤子的研究中得到了充分的體現(xiàn).例如,玻色-愛因斯坦凝聚可形成于這樣的光學晶格中,這種晶格原子間的相互作用的空間調制可以通過使用施加了非均勻的外加磁場或光學場的費希巴赫(Feshbach)共振態(tài)獲得[23];同樣,在工程上,線性和非線性折射率也可能存在于周期性的光學結構中等等.

本文首先建立一個在庫墨-高斯周期性光學晶格中光彈傳輸?shù)睦碚撃Ｐ?接著通過數(shù)值模擬和計算對理論模型進行研究.結果表明,在這種周期性的光學晶格中,在一定的參數(shù)范圍內(nèi)光彈的傳輸是穩(wěn)定的.

2 理論模型

研究在異相調制的二維庫墨-高斯光學晶格中的三維光彈的傳輸特性.假定光束在含有異相線性與非線性晶格的介質中沿著z軸傳播,描述光彈的傳播方程是非線性薛定諤方程,其無量綱復合場振幅為q,歸一化后的方程為

其中R(r)是庫墨-高斯函數(shù)調制的晶格,r=(x2+y2)1/2,σ是非線性調制深度,p為線性調制深度.R(r)=(-n,m+1,r2)(m=0,1,2,···) 為庫墨-高斯晶格系數(shù),F′(-n,m+為連帶庫墨多項式.注意到當非線性系數(shù)1-σR(r)在某個狀態(tài)達到極小值(極大值),線性系數(shù)pR(r)達到極大值(極小值),這種狀態(tài)稱為異相調制.研究發(fā)現(xiàn)對于庫墨-高斯晶格,無論σ為何值時,1-σR(r)和pR(r)為反相,因此調制變成了反相.方程(1)的整個守恒的能量U,哈密頓量H為

其中u,v是基態(tài)解的微小擾動.將(4)式代入方程(1)中,得線性u,v的本征值方程:

通過對方程式(5a)和(5b)的數(shù)值求解,以判別時空孤子的穩(wěn)定性.

3 數(shù)值計算與分析

當晶格為線性晶格時(即σ=0),若非線性強度較低,采用快速虛時間演化法(AITEM)[25]對方程(1)進行數(shù)值求解.由圖1(a)和(b)可知,當傳播系數(shù)b逐漸增加到接近于bco時,孤子恰好實現(xiàn)由不穩(wěn)定到穩(wěn)定的轉換,其場的空間分布或時間分布可以延展到全部空間或時間.時空孤子空間場分布覆蓋了庫墨晶格環(huán).當孤子的強度增加時,此時光彈在r的方向上沒有改變,其時間分布有明顯的改變,當r=0,τ=0時,其極小值變成極大值,并且在-2＜τ＜+2范圍內(nèi)出現(xiàn)了三個極大值和兩個極小值.因此當線性和非線性晶格的影響較強時,光彈的場分布的形狀和大小隨著傳播系數(shù)的改變而改變.

圖1 (a),(d)τ=0時庫墨晶格中的空間場分布;(b),(e)r=0時的時間場分布;(c),(f)采用AITEM法求解方程(1)得到穩(wěn)定孤子解所需迭代的次數(shù),傳播常數(shù)分別為(a),(b)b=2.25,(c),(d)b=2.37,p=0.4,σ=0.2

不同于文獻[26],在二維Bessel反向調制的晶格中,孤子波幅的增長會使光彈在空間的分布有較大的改變,當非線性對晶格折射率的影響大于線性對折射率的影響,使光進入非線性較強的區(qū)域.本文中的晶格采用庫墨-高斯晶格,研究表明,當傳播常數(shù)b處在較小值時,時間上的擾動對波形有較大的影響,使孤子分布出現(xiàn)震蕩,但是仍然能保持穩(wěn)定,而在空間上波形仍能保持穩(wěn)定(圖1(a)和(b)).當傳播常數(shù)b處在較大值時,盡管時間上的擾動對波形仍然有所影響,但相對于較小的b,這個波形較為集中;而在空間場中,波形沒有變化,但幅值變大了(圖1(d)和(e)).用AITME迭代法計算孤子的穩(wěn)定解,發(fā)現(xiàn)當傳播常數(shù)為2.25和2.37,迭代次數(shù)分別為900和460時,可以得到穩(wěn)定的孤子解圖1(c)和(f).

圖2(a)為能量隨著傳播系數(shù)的變化關系.由圖中可知,當非線性系數(shù)一定時,基態(tài)孤子的能量隨著傳播系數(shù)的增加而增加;U(b)曲線的斜率是正的(即dU/db＞0),并且隨著非線性系數(shù)σ的增大,能量增加的越快.圖2(b)為哈密頓量與光彈的能量的對應關系.可以看到,哈密頓量隨著光彈的能量增加而增加,當能量在0＜U＜3范圍內(nèi),非線性晶格系數(shù)對哈密頓量的影響較小,當U＞3時,非線性系數(shù)越大,哈密頓量增加的越快.進一步研究表明(圖2(c)和(d)),k為方位角擾動指數(shù),其反映了方位角大小,從而影響時空孤子的角動量.當k=0時,非線性晶格常數(shù)σ=0.8,在0＜b＜12與b＞15范圍內(nèi),光彈是穩(wěn)定的,只有在12≤b≤15范圍內(nèi)光彈才會受到微擾的影響.而當方位擾動指數(shù)k=1時,光彈受微擾影響的范圍沒有變化,只是相較于k=0時前移到了10≤b≤13.當非線性晶格常數(shù)改變由0.8變?yōu)?.2時,光彈受微擾影響的區(qū)間與σ=1.2相比沒有顯著的改變,只是b的區(qū)間減少為8.5≤b≤11.5(k=0)和7.5≤b≤10.5(k=1).由此可見,非線性晶格系數(shù)顯著地調制了光彈的傳播特征和能量.

Bessel晶格中光彈傳輸特性的研究表明[26],在σ=0時,僅當微擾的系數(shù)k=0才會使光彈的解出現(xiàn)擾動;但對于庫墨-高斯晶格,在非線性調制下的庫墨晶格,當k=1時,光彈也會出現(xiàn)擾動,這主要是因為高振幅的時空孤子在空間中傳輸時形成環(huán)狀結構.此時,當非線性調制深度超過某個值時,方位角將變得十分不穩(wěn)定,而這個臨界值為σcr,其與晶格的線性調制深度p是相關的(例如,當p=12時,σcr≈ 0.65).

圖2 (a)傳播常數(shù)與能量關系;(b)能量與哈密頓量的關系,其中參數(shù)p=12,σ=0,1.5,2.7;(c),(d)傳播常數(shù)b與微擾因子實部的關系,其中參數(shù)p=12,(c)σ=0.8,(d)σ=1.2

為了進一步研究光彈的傳輸特性,采用分布傅里葉算法對方程(1)進行數(shù)值仿真,入射光為高斯光,其初始值為q0=0.1e-(x2+y2+t2).由圖3(a)-(c)可知,庫墨晶格強度分布具有空間周期性,其明顯的調制時空孤子的時空分布和相位特性;由圖3(d)-(f)和圖4可知,當m=3或m=2時,光彈可以形成一種奇異的時空孤子簇,其光強在x-y平面內(nèi)由6個或4個同心的圓柱形的峰組成,每個圓柱包中間存在著一定程度的凹陷,并且隨著傳播距離的增加,其強度不斷減小.由圖3(h)-(j)可知,孤子的相位分布決定于方位數(shù)m,其特性被空間所調制.

圖3 (a),(b),(c)為周期性晶格的分布,其中m值分別為2,3,4;(d),(e),(f)為光彈在不同傳播距離z=40,60,100時光強在x-y平面內(nèi)的分布;(h),(i),(j)為與(d),(e),(f)對應的相位分布,此時參數(shù)m=2,p=10,σ=0.9

圖4 (a),(b),(c)光彈在不同傳播距離z=40,60,100時的等值圖;(d),(e),(f)是加入微擾?=0.8后的等值面圖;相關參數(shù)p=0.2,σ=1,m=2

由圖4可以看出,當m=2時,光彈由4個時空孤子組成,隨著傳播距離的增加,等值面圖中4個孤子的距離逐漸減小.為了進一步驗證時空孤子解的穩(wěn)定性,在仿真時加入白噪聲?=0.8,并且傳輸距離取到z=100,發(fā)現(xiàn)加入白噪聲后孤子的等值面圖沒有受到顯著地影響,因此光彈的傳輸是穩(wěn)定的.

圖5和圖6分別為不同傳輸距離時光彈的等值面分布圖.由圖可知,光彈的時空分布決定于方位角m,光彈可以分為不同數(shù)目的孤子組成一類同心的時空孤子簇,這些不同數(shù)目的孤子圍成一個同心的圓環(huán),每個孤子具有紡錘形的分布,孤子的數(shù)目為2m,且隨著傳播距離的增加孤子間的間距逐漸減小.同時發(fā)現(xiàn)光彈的相位分布決定于方位角,體現(xiàn)對稱的徑向分布.

圖5 (a),(b),(c)為m=3,傳播距離分別為z=40,60,100時,輸出光的等值面圖;(d),(e),(f)是(a),(b),(c)所對應的相位圖,參數(shù) p=0.2,σ=1

圖6 (a),(b),(c)為m=4,傳播距離分別為z=40,60,100時,輸出光的等值面圖;(d),(e),(f)是(a),(b),(c)所對應的相位圖,參數(shù) p=0.2,σ=1

4 結論

本文研究了光彈在線性和非線性異相調制的庫墨-高斯晶格中傳輸?shù)奶匦?發(fā)現(xiàn)線性和非線性庫墨-高斯晶格能顯著地改變光彈的形狀及其穩(wěn)定范圍,晶格的非線性調制深度可以很好地控制穩(wěn)定性區(qū)域的寬度;特別地,穩(wěn)定時空光孤子的能量會隨著非線性調制深度的加強而增長.

[1]Silberberg Y 1990 Opt.Lett.15 1282

[2]Malomed B A,Mihalache D,Wise F,Torner L 2005 J.Opt.B 7 53R

[3]Xu S L,Beli′c M R,Zhang W P 2012 J.Opt.Soc.Am.B 29 1

[4]Wu Z,Wang Q,Wei Q 2001 Acta Phys.Sin.50 489(in Chinese)[吳中,王奇,衛(wèi)青2001物理學報50 48]

[5]He G G,Wang X S,She W L 2002 Acta Phys.Sin.51 2270(in Chinese)[何國崗,王曉生,佘衛(wèi)龍2002物理學報51 2270]

[6]Liu J S,Hao Z H 2002 Acta Phys.Sin.51 2772(in Chinese)[劉勁松,郝中華2002物理學報51 2772]

[7]Edmundson D E,Enns R H 1992 Opt.Lett.17 586

[8]Desyatnikov A,Maimistov A,Malomed B 2000 Phys.Rev.E 61 3107

[9]Mihalache D,Mazilu D,Crasovan L C,Towers I,Buryak A V,Malomed B A,Torner L,Torres J P,Lederer F 2002 Phys.Rev.Lett.88 073902

[10]TrapaniPD,CaironiD,ValiulisG,DubietisA,DanieliusR,Piskarskas A 1998 Phys.Rev.Lett.81 570

[11]Liu X,Qian L J,Wise F W 1999 Phys.Rev.Lett.82 4361

[12]Bang O,Krolikowski W,Wyller J,Rasmussen J J 2002 Phys.Rev.E 66 046619

[13]Mihalache D,Mazilu D,Lederer F,Malomed B A,Kartashov Y V,Crasovan L C,Torner L 2006 Phys.Rev.E 73 025601(R)

[14]Xu S L,Liu H P,Yi L 2010 Acta Phys.Sin.59 1069(in Chinese)[徐四六,劉會平,易林2010物理學報59 1069]

[15]Torner L,Carrasco S,Torres J P,Crasovan L C,Mihalache D 2001 Opt.Commun.199 277

[16]Torner L,Kartashov Y V 2009 Opt.Lett.34 1129

[17]Aceves A B,Angelis C D 1993 Opt.Lett.18 110

[18]Aceves A B,Angelis C D,Rubenchik A M,Turitsyn S K 1994 Opt.Lett.19 329

[19]Aceves A B,Luther G G,Angelis C D,Rubenchik A M,Turitsyn S K,1995 Phys.Rev.Lett.75 73

[20]BaizakovBB,MalomedBA,SalernoM2004Phys.Rev.A70053613

[21]Mihalache D,Mazilu D,Lederer F,Kartashov Y V,Crasovan L C,Torner L 2004 Phys.Rev.E 70 055603

[22]Mihalache D,Mazilu D,Lederer F,Malomed B A,Kartashov Y V,Crasovan L C,Torner L 2005 Phys.Rev.Lett.95 023902

[23]Lina T C,Weic J,Yao W 2010 J.Diff.Equ.9 2111

[24]Kartashov Y V,Egorov A A,Vysloukh V A,Torner L 2006 Opt.Express 14 4049

[25]Yang J K,Lakoba T I 2008 Stud.Appl.Math.3 265

[26]Ye F W,Kartashov Y V,Hu B B,Torner L 2009 Opt.Express 14 11328