耿 杰，何百通，宋衛(wèi)東

(1. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003；2. 衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江 衢州 324000)

耿 杰1，何百通2，宋衛(wèi)東1

(1. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003；2. 衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江 衢州 324000)

Lorentz空間；平行Ricci曲率；常平均曲率；類超曲面；積分不等式

1 引言及主要結(jié)論

其中:

2 預(yù)備知識

本文對各類求和指標(biāo)取值范圍約定如下

1≤A,B,C,…≤n+1;1≤i,j,k,…≤n.

dωA=∑εBωAB∧ωB,ωAB+ωBA=0,

KABCD=εAεB(δACδBD-δADδBC)c,

(1)

其限制到Mn上[5]

(2)

(3)

(4)

Rijkl=Kijkl-∑(hikkjl-hilhjk),

(5)

Kijkl=(δikδjl-δilδjk)c,

(6)

下面用hijk,hijkl表示hij的共變導(dǎo)數(shù),定義hijkωk=dhij+∑hkiωkj+∑hjkωki,

hijklωl=dhijk+∑hljkωli+∑hilkωlj+∑hijlωlk.

(7)

則Mn的Codazzi方程[5]為

hijk-hikj=-Kn+1ijk=0,

(8)

及Mn的Ricci方程[5]為

(9)

由(8)(9)得

(10)

由(1)得,Kαijk=0,故Kαijkl=0.

由于hkkij=0,再根據(jù)(10)得

(11)

由(5)(6)(11)得

(12)

Mn的Ricci曲率張量為[4]

(13)

由于Mn的Ricci曲率平行,且H為常數(shù)(其中H≥0),所以[4]

Rij,k=0.

(14)

又因?yàn)?/p>

(15)

(16)

3 定理的證明

由(12)(13)(15)(16)得

(17)

有

(18)

-2n2H2c2(n-1)-2n(n-1)cHtrA3-2cS(n-1)(nc+S),

(19)

其中trA表示矩陣A=(hij)n×n的跡.

=-n4H4c-n3H3trA3+n2H2(nc+S)S.

(20)

=2n2H2cS+2n2H2trA4-2nH(nc+S)trA3.

(21)

=n2H2cS+n2H2trA4-nH(nc+S)trA3.

(22)

2(nc+S)trA4.

(23)

由(14)得

(24)

(25)

由于[5]

(26)

由(18)-(26)得

2c(n-1)(nc+S)S-[n3H3+3nH(nc+S)+2n(n-1)Hc]trA3+

(27)

同理可得:

(28)

將(26)(28)代入(27),經(jīng)過化簡得

(29)

根據(jù)散度定理及Hopf引理,得

(30)

其中:

[1] 郭震.李奇曲率平行的黎曼流形到歐氏空間的等距浸入[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1998,41:1108-1112.

[2] 李同柱，郭震.常曲率流形中具平行李奇曲率的超曲面[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,47:587-592.

[3] 成慶明.Lorentz流形中的類空超曲面[J].數(shù)學(xué)季刊,1991(4):1-5.

[4] 鐘定興,肖衛(wèi)玲.Lorentz空間型中具有平行Ricci曲率的類空超曲面[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007(3):8-11.

[5] 馮維.一般偽黎曼流形中的極大類空子流形[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2003.32(2):132-134.

HypersurfaceswithParallelRicciCurvatureinLorentz-typeSpace

GENG Jie1, HE Baitong2, SONG Weidong1

(1. College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China;2. Foundation Department of Quzhou College of Technology, Quzhou 324000, China)

Lorentz space; parallel Ricci curvature; constant mean curvature; space-like hypersuface; integral inequality

2012-10-25

安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目 (KJ2010A125);浙江省新世紀(jì)高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(2010074).

宋衛(wèi)東(1958—),男,教授, 主要從事微分幾何研究.E-mail:swd56@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.02.007

O186MSC201053B30,53A10

A

1674-232X(2013)02-0124-04