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數(shù)學思維的5個品質(zhì)
——以2013年中考典題的破解為例

2013-10-26 01:08:04
中學教研(數(shù)學) 2013年12期
關鍵詞:結(jié)論解題思維

(晉州市實驗中學 河北晉州 052260)

數(shù)學思維的5個品質(zhì)
——以2013年中考典題的破解為例

●苑建廣

(晉州市實驗中學 河北晉州 052260)

數(shù)學與思維猶如一對夫妻,共同演繹著千古不朽的神話.“數(shù)學是思維的體操”,數(shù)學活動的核心是思維活動,數(shù)學的存在和發(fā)展離不開思維,都要通過思維來表現(xiàn).反過來,數(shù)學又是思維的工具.在探索、研究和應用數(shù)學的過程中,思維品質(zhì)也在發(fā)生著量和質(zhì)的變化,并因此標志了數(shù)學修養(yǎng)之深淺.本文對數(shù)學思維品質(zhì)的5個方面進行剖析,并附例以2013年中考典題.望各位同仁窺斑見豹,體味數(shù)學思維的無窮魅力.

1 思維的深刻性

思維的深刻性是指在分析和解決問題的過程中,能夠透過表面現(xiàn)象認識和把握問題的實質(zhì)及其相互關系,揭示規(guī)律,追根溯源,或?qū)⒁延蟹椒ê徒Y(jié)論拓展、變換、推廣,得到更深刻的結(jié)果,謂之“思維的洞察力和穿透力”.思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎,主要表現(xiàn)為以下幾個方面:

(1)對數(shù)學概念理解透徹,形成科學合理的概念域和概念系;對數(shù)學事實掌握清楚,形成科學合理的命題域和命題系.頭腦中內(nèi)化的數(shù)學知識是系統(tǒng)化和網(wǎng)絡化的,猶如一棵倒掛的樹:各知識點在這個網(wǎng)絡中處于一定位置,知識點之間呈現(xiàn)出可推理的結(jié)構關系,并因此蘊含了思維方法和策略.

(2)具備良好的數(shù)學交流能力和符號意識,可以自如地將其他語言等價翻譯為數(shù)學語言,發(fā)現(xiàn)或抽象出數(shù)學模型,實現(xiàn)橫向或縱向數(shù)學化.

(3)能自覺運用分析、比較、抽象、概括等思維操作,發(fā)現(xiàn)形異質(zhì)同的數(shù)學對象之間的內(nèi)在聯(lián)系.

(4)即使解決問題的條件不是明確給定的,也能不受表面現(xiàn)象的困擾,從表象中挖掘隱含條件,為解決問題作出適當?shù)匿亯|.

(5)在解決具體的問題后,能主動自覺地去尋找具有普遍意義的方法、模式,將思想、方法、結(jié)論等概括、遷移、推廣到一般情境中去.

(2013年山東省煙臺市數(shù)學中考試題)

圖1

分析通常采用割補法,化非標準圖形為標準圖形,按“S陰=S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF”求解.設正方形EFGB的邊長為a,則

CE=4-a,AG=4+a,

于是

這個結(jié)果正好是扇形BAC的面積!那么,圖中陰影面積是否能轉(zhuǎn)化成扇形BAC的面積呢?容易想到聯(lián)結(jié)BF,AC,易證BF∥AC,可見△ACB與△ACF是“同底等高”的,面積也相等,于是S陰=S扇形BAC,思路被大大優(yōu)化.從中可知,陰影部分的面積與點E在線段BC上的位置(即正方形EFGB的大小)無關,是定值4π.繼續(xù)思考,還可發(fā)現(xiàn):

變式1如圖2,把“點E在BC上”變?yōu)椤包cE在BC的延長線上”時,亦可得陰影部分的面積為4π.

圖2 圖3 圖4

變式2如圖3,當四邊形ABCD和四邊形EFGB均為平行四邊形,且2個平行四邊形相似,點E在射線BC上運動時,陰影部分的面積為平行四邊形ABCD面積的一半.

變式3如圖4,當四邊形ABCD和四邊形EFGB均為等腰梯形,且2個等腰梯形相似,點E在射線BC上運動時,陰影部分的面積等于△ABC的面積.

變式4如圖5,當△ABC∽△EDB,點E在射線BC上運動時,陰影部分的面積等于△ABC的面積.

這也是此類圖形的本質(zhì)所在.

圖5 圖6

變式5如圖6,有3個正方形ABCD,BEFG和CHIJ,其中正方形ABCD的邊長是a,正方形BEFG的邊長是b,當點J在射線CD上運動時,陰影部分的面積等于△CDF的面積,值為a2-ab.

繼續(xù)梳理上述問題的辯證關系,按照“從特例到一般”的順序,層層設問,不斷觸及問題的本質(zhì),就能設計出一系列非常優(yōu)秀的探究性問題.

溯本窮源悟真知.在數(shù)學學習中,善于透過現(xiàn)象看本質(zhì),有利于實現(xiàn)對數(shù)學概念和命題的深刻理解.

2 思維的靈活性

思維的靈活性是指因題制宜,活用有關知識多角度尋求問題解決途徑的能力,謂之“思維的發(fā)散力和變通力”.主要表現(xiàn)為以下幾個方面:

(1)思維起點靈活.善于全面地看問題,能從與題目相關的各種角度和方向去考慮問題.

(2)心理轉(zhuǎn)向容易.從正向思維轉(zhuǎn)為反向思維,特別是對概念正反關系的認識、公式的正反運用、定理與逆定理的靈活使用、解題中分析法與綜合法交替使用時表現(xiàn)自如.

(3)思維轉(zhuǎn)換迅速.可以不受先前解題方法的影響,克服思維定勢的消極作用及自我心理限制,遇機而變,及時調(diào)整思路、方法、技巧,不拘一格、有的放矢地解決問題.

(4)思維過程中善于轉(zhuǎn)化.可以很容易地化生為熟,把幾個部分看成一個整體,或把一個整體分成幾個部分,也就是聚零為整,化整為零.

(5)概括、遷移能力強.運用規(guī)律熟練,善于組合分析,思維有彈性、能跳躍,既能注意把握事物的整體,又不忽視重要的細節(jié),能夠從多層面上捕捉有效信息,廣泛地對比、聯(lián)想,在研究問題本身的同時,拓展到相關問題.

圖7

例2從棱長為2的正方體毛坯的一角,挖去一個棱長為1的小正方體,得到一個如圖7所示的零件,則這個零件的表面積為______.

(2013年山東省棗莊市數(shù)學中考試題)

分析整體觀察圖形,利用“平移”實現(xiàn)對問題解決過程的優(yōu)化,把求“表面積”的問題轉(zhuǎn)化成求“從上、下、左、右、前、后6個方向看到的視圖面積之和”的問題,極易得到這個零件的表面積為6×(2×2)=24.此時,視圖成為一種解題的工具,只要是從毛坯的一角,挖去一個(任意)長方體,則其表面積均為24,是不變的.解法的趣味性和靈活性都很強.

3 思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是指思維的結(jié)果相對于(自己)已有的認識成果來說,具有獨特性和新穎性,是最難得的思維品質(zhì),謂之“思維的發(fā)現(xiàn)力和創(chuàng)造力”.主要表現(xiàn)為以下幾個方面:

(1)從事數(shù)學活動時,能對數(shù)學對象進行獨立的思考,善于發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題,勇于創(chuàng)新,敢于突破常規(guī)的思考方法和解題模式,大膽提出新見解和采用新方法

(2)能從與眾不同的全新角度觀察問題,能在貌似平常的信息中發(fā)現(xiàn)不尋常之所在,從而發(fā)現(xiàn)隱含的特殊聯(lián)系,產(chǎn)生與他人不同的思路和結(jié)論.

(3)富于聯(lián)想.在解題時主動聯(lián)系數(shù)學的不同分支、其他學科以及生活實際,以至思維跳躍,經(jīng)常產(chǎn)生有別于常規(guī)的、正統(tǒng)的、創(chuàng)造性的想法.

例3某數(shù)學活動小組在作三角形拓展圖形,研究其性質(zhì)時,經(jīng)歷了如下過程:

(1)操作發(fā)現(xiàn):

在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖8所示,其中DF⊥AB于點F,EG⊥AC于點G,M是BC的中點,聯(lián)結(jié)MD和ME,則下列結(jié)論正確的是______.

圖8 圖9

(2)數(shù)學思考:

在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖9所示,M是BC的中點,聯(lián)結(jié)MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請給出證明過程.

(3)類比探索:

在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖10所示,M是BC的中點,聯(lián)結(jié)MD和ME,試判斷△MED的形狀.

(2013年江西省南昌市數(shù)學中考試題)

圖10

分析常規(guī)思路自然是按部就班,依次完成題目設問,且通常是分別對MD和ME的數(shù)量關系和位置關系予以說明.但是,顯然圖8是圖9的一種特殊情形,而圖9與圖10又屬于并列情形,題目本身呈現(xiàn)出“從特例推向一般”、“從一種情形(圖9中向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形)向另一種情形(圖10中向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形)拓展”的命題模式.參透了這一點,便能作如下處理:

欲證“△DME是等腰直角三角形”,若能證出“∠MDE=∠MED=45°”,則問題得以突破.

如圖9,取AB,AC的中點F,G,聯(lián)結(jié)DF,FM,EG,GM,DE. 易知∠FDA=∠GEA=45°,于是轉(zhuǎn)為證

∠ADE=∠FDM,∠AED=∠GEM.

設AB=2a,AC=2b,易得

于是

又易證 ∠DAE= 270°-∠BAC=

(180°-∠BAC)+90°=

∠AFM+∠AFD=∠DFM,

于是

△DAE∽△DFM,

∠ADE=∠FDM,

同理可證

∠AED=∠GEM.

到此,思路被打通.將其條件強化,則第(2)小題自然得證.

將之遷移到圖10中,易知∠FDA=∠GEA=45°,于是轉(zhuǎn)為證

∠ADE=∠FDM,∠AED=∠GEM.

仍設AB=2a,AC=2b,可得

于是

又易證 ∠DAE= (∠DAB+∠EAC)-∠BAC=

90°-∠BAC=90°-∠MFB=

∠DFM,

于是

△DAE∽△DFM,

∠ADE=∠FDM,

同理可證

∠AED=∠GEM.

到此,思路再次被打通.

如此處理,顯然超出了命題人所料,是極具創(chuàng)新味道的.正是善于查“平凡中之異象,平靜中之波瀾”,才成就了創(chuàng)新解法.由于特殊情形往往存有無關宏旨的枝節(jié)或表面現(xiàn)象,容易掩蓋問題的實質(zhì),而一般情形則更能明確地表達問題的本質(zhì).因此,有時面對一般化的問題可能更容易求解.就此,希爾伯特有言:“在解決一個數(shù)學問題時,如果我們沒有獲得成功,原因常常在于我們沒有認識到更一般的觀點,即眼下要解決的問題不過是一連串有關問題的一個環(huán)節(jié).”

4 思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動中獨立思考,善于提出疑問,敢于發(fā)表不同的看法,嚴格客觀地評價思維的結(jié)果和精細地檢查思維過程的品質(zhì),謂之“思維的診斷力和甄別力”.主要表現(xiàn)為以下幾個方面:

(1)不會不經(jīng)思考地附和他人的意見,能堅持自己的合理看法,善于發(fā)現(xiàn)問題,明辨是非,不迷信書本和專家,敢于向教師提出質(zhì)疑;

(2)能夠比較不同對象之間的差異和相似性,辨析容易混淆的概念與形式,對數(shù)學對象進行合理分類;

(3)能評估信息資源的可靠性,判斷從一個結(jié)論導出另一個結(jié)論的充分性,因而發(fā)現(xiàn)解題過程或結(jié)論中的錯誤;

(4)能在有多種合情思路的情況下,對各種解題思路、方法、策略進行比較,選擇更為合理的方案,從而找出最佳的方法或結(jié)論;

(5)在解題時能對全過程進行監(jiān)控,經(jīng)?;仡^審視自己的解題過程,進行有意識的自我調(diào)節(jié),在自我檢查中修正論證的過程和結(jié)論.

(2013年福建省龍巖市數(shù)學中考試題)

題目難度較大.良好的“數(shù)感”固然是重要的,但不斷地對猜想所得進行檢驗和修正,以決定繼續(xù)進行下去,還是另覓他徑,更顯重要.思維批判的對象不僅是他人,更是自己.善于自我監(jiān)控解答過程,“思必有的、有據(jù)、有序”,而不是瞎碰亂試,就可在一定程度上避免更多失誤,省時省力.

5 思維的敏捷性

思維的敏捷性是指智力活動的速度,在處理問題和解決問題的過程中,能夠適應迫切的情況來積極地思考,并迅速地作出判斷,謂之“思維的自動化和果斷力”.主要表現(xiàn)為以下幾個方面:

(1)能夠較快且正確地完成對題目信息的理解;

(2)能夠自覺地運用簡便方法,對數(shù)字進行快速運算,且“感覺良好”;

(3)能夠迅速地判別出題目的模式,從而縮短解題時間;

(4)能對最近做過的題目有清晰的記憶,迅速反應出解題過程及結(jié)果;

(5)能夠迅速判斷,像電腦或機器一樣自動、果斷地執(zhí)行,在時間緊迫的情況下作出繼續(xù)下去或是放棄進行的決策.

請根據(jù)以上結(jié)論,解答下列問題:

圖11 圖12 圖13

如圖12和圖13,BE,CF是△ABC的2條角平分線,過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP1,PP2,PP3,交BC于點P1,交AB于點P2,交AC于點P3.

(1)若點P為線段EF的中點,如圖12,求證:PP1=PP2+PP3;

(2)若點P在線段EF上任意位置時,如圖13,試探究PP1,PP2,PP3的數(shù)量關系,并給出證明.

(2013年四川省樂山市數(shù)學中考試題)

分析題目給出了一個新命題(幾何模型),思維的重點應放在運用新命題解決新問題上.如何“引經(jīng)據(jù)典”,快速完成向模型的化歸,有意識地把新知識、新模型移植轉(zhuǎn)用到新對象上是解決問題的關鍵.

運用觀察、測量、比較、計算等手段可以“合情”地猜想第(1)小題中之結(jié)論可以遷移到第(2)小題中.因此這里我們直接面對第(2)小題,待之證明結(jié)束后,將條件強化,則第(1)小題自然得證.結(jié)合題設和待證結(jié)論,對比圖形構成特點,容易想到如圖13所示的輔助線.設PF=c,PE=d,在梯形EFG1D1中,易得

又三角形可以看作退化的梯形(上底為0),在△FED2和△EFG2中,易得

而ED1=ED2,FG1=FG2,故

PP1=PP2+PP3.

實際上,我們雖然分述了數(shù)學思維的5個品質(zhì),并分別附例詮釋,但是這些品質(zhì)之間并不是相互分離和隔裂的.恰恰相反,它們是相互滲透、聯(lián)系和制約的統(tǒng)一體.深刻性是所有思維品質(zhì)的基礎,在其支撐下進行發(fā)展,避免思維定勢的負面影響,靈活處理,才能產(chǎn)生獨創(chuàng)性見解.加上周密地思慮、批判性地認知和合理地自我監(jiān)控與調(diào)節(jié)思維過程,就能形成全面準確的判斷,揭示數(shù)學本質(zhì)和規(guī)律.而只有實現(xiàn)了深刻的理解、靈活而富有創(chuàng)造性地思考以及批判性地審問,才能達到心領神會、融會貫通,從而生發(fā)出真正的敏捷性,全面提升思維品質(zhì),享受數(shù)學思維的無限樂趣.

對數(shù)學思維的研究永遠是沒有止境的.本文僅僅是在專家理論研究的基礎上補例詮釋,為中學數(shù)學教學提供借鑒.不妥之處,誠請不吝賜教.

[1] 中華人民共和國教育部制定.全日制義務教育數(shù)學課程標準[M].北京:北京師范大學出版社,2011.

[2] 鮑建生,周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海:上海教育出版社,2009.

[3] 章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社,2006.

[4] 苑建廣.管窺數(shù)學思維的若干策略[J].數(shù)理化學習:初中版,2012(12):1-9.

[5] 苑建廣.信息轉(zhuǎn)化——問題解決的核心策略[J].中國數(shù)學教育:初中版,2012(3):45-48.

[6] 苑建廣.精心雕琢命題方式切實考查數(shù)學能力——2011年中考數(shù)學特色題歸類賞析[J].教育實踐與研究:B版,2011(11):7-12.

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