高春歌，姜永恒，林曉瓏

（吉林大學(xué) 物理學(xué)院，長春130012）

電光雙穩(wěn)系統(tǒng)在光通信、光開關(guān)和光存儲(chǔ)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.目前，該系統(tǒng)在鎖頻、混沌、混沌控制及信息存儲(chǔ)方面的研究結(jié)果較多［1－5］，但對信號存儲(chǔ)及通信保密領(lǐng)域混沌同步的研究結(jié)果較少［6－7］.混沌同步中廣義同步和相位同步已在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)，但由于同步發(fā)生時(shí)2個(gè)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變量存在較復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，因而不易被發(fā)覺［8－12］.廣義混沌同步可通過計(jì)算系統(tǒng)全部李指數(shù)、找出2個(gè)系統(tǒng)間的函數(shù)關(guān)系及增加輔助系統(tǒng)3種方法判斷是否同步，但相位同步不易確定.本文以電光雙穩(wěn)混沌系統(tǒng)為例，研究延遲反饋混沌系統(tǒng)間的廣義同步和相位同步.通過分析最大條件李指數(shù)（MCLE），找出延遲反饋混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義同步和相位同步的規(guī)律，并研究對混沌系統(tǒng)的混沌控制和反控制.

1 混沌同步方案

在長延時(shí)條件下，電光雙穩(wěn)系統(tǒng)的動(dòng)力方程可表示［1］為

其中：I為入射光的光強(qiáng)；xn（t）和xn＋1（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；θ為初始相位；k為消光系數(shù)；n＝1，2，….在適當(dāng)?shù)臈l件下，該系統(tǒng)的狀態(tài)可通過倍周期分岔過程進(jìn)入混沌狀態(tài).

基于廣義混沌同步的輔助系統(tǒng)判別法，本文提出一種實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)廣義同步及完全混沌同步的新方法，如圖1所示.該方法包含1個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和2個(gè)完全相同的響應(yīng)系統(tǒng).通過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的差值信號驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng).于是電光雙穩(wěn)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

圖1 電光雙穩(wěn)系統(tǒng)混沌同步原理框圖Fig.1 Scheme of chaos synchronization in electro－optic bistable systems

其中q為驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度.若q＝0，則3個(gè)系統(tǒng)相互獨(dú)立；若q＞0，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)2個(gè)響應(yīng)系統(tǒng).

2 數(shù)值仿真與分析

由混沌理論可知，當(dāng)2個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)完全混沌同步時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)即實(shí)現(xiàn)了廣義混沌同步.由于MCLE描述了不同初始條件下系統(tǒng)相空間軌道的分離速度.因此，被驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的MCLE＜0，表明當(dāng)響應(yīng)系統(tǒng)在相空間中的軌道分離呈指數(shù)衰減時(shí)，可實(shí)現(xiàn)2個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)間的完全混沌同步.即負(fù)的MCLE可作為是否實(shí)現(xiàn)廣義同步的判據(jù).

根據(jù)方程（2）～（4）可推得響應(yīng)系統(tǒng)的MCLE表達(dá)式為

其中M表示計(jì)算時(shí)間.本文取M＞20 000.其他參數(shù)分別為k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝4.8，5.5，5.7.由文獻(xiàn)［1］可知，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)取上述參數(shù)時(shí)均處于混沌狀態(tài).由式（5）可得響應(yīng)系統(tǒng)MCLE隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化曲線，如圖2所示.由圖2可見，MCLE曲線存在2個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域，即為實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)間廣義混沌同步的參數(shù)區(qū)間.

圖2 響應(yīng)系統(tǒng)的MCLE隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化曲線Fig.2 MCLE of response system changes with the driving stiffness for different initial state

為說明2個(gè)區(qū)域內(nèi)廣義同步的差別，本文分析了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)序圖，如圖3～圖6所示.其中圖3和圖4分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)處于不同混沌狀態(tài)時(shí)2個(gè)系統(tǒng)間的同步情況.各參數(shù)分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝5.7.圖3給出了系統(tǒng)在第一個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域時(shí)（驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度q＝0.2）響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)間的關(guān)系.其中圖3（A），（B）分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)序圖及其差值信號的時(shí)序圖.由圖3（A）和（B）可見，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與相應(yīng)系統(tǒng)間不存在關(guān)聯(lián)，但由2個(gè)相應(yīng)系統(tǒng)差值信號的時(shí)間序列（圖3（C））可見，2個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了完全同步.表明在第一個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域內(nèi)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)間可實(shí)現(xiàn)廣義混沌同步.當(dāng)系統(tǒng)處于第二個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域（q＝0.4）時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)間的狀態(tài)關(guān)系與圖3相似.表明響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在第二個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域也可實(shí)現(xiàn)廣義混沌同步.

圖4和圖5分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)處于相同混沌狀態(tài)時(shí)2個(gè)系統(tǒng)間的關(guān)系，其參數(shù)分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝I2＝5.5.由圖4和圖5可見：當(dāng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)處于相同混沌狀態(tài)時(shí)，在第一個(gè)系統(tǒng)負(fù)的MCLE區(qū)域內(nèi)可實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)間的廣義同步，在第二個(gè)負(fù)的MCLE區(qū)域內(nèi)可實(shí)現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)及2個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)間完全相同的混沌同步；當(dāng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于周期態(tài)，響應(yīng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)時(shí)，隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增加，響應(yīng)系統(tǒng)將由混沌態(tài)經(jīng)分岔過程控制在不同的周期態(tài)，且控制達(dá)到的最小周期與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)所處的周期相同，即實(shí)現(xiàn)了對混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.控制方案仍可用式（2）～（4）表示，差別在于控制方案中的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)或響應(yīng)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，而同步方案中二者均處于混沌狀態(tài).

圖3 初始混沌態(tài)不同時(shí)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)間的廣義同步（q＝0.2）Fig.3 Diagram of generalized synchronization between drive and response systems initially in different chaotic states with q＝0.2

圖4 初始混沌態(tài)相同時(shí)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)間的廣義同步（q＝0.2）Fig.4 Diagram of generalized synchronization between drive and response systems initially in the same chaotic state with q＝0.2

圖5 初始混沌態(tài)相同時(shí)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)間的同步（q＝0.4）Fig.5 Diagram of identical synchronization between drive and response systems initially in the same chaotic state with q＝0.4

圖6為響應(yīng)系統(tǒng)在不同分岔強(qiáng)度下的倒分岔過程.參數(shù)分別為：k＝0.8，θ＝π，I1＝2，I2＝5.5，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于單周期態(tài)，響應(yīng)系統(tǒng)處于混沌態(tài).由圖6可見，當(dāng)響應(yīng)系統(tǒng)處于周期態(tài)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)時(shí)，隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增加，響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).這種現(xiàn)象稱為對響應(yīng)系統(tǒng)的混沌反控制.

圖7為k＝0.8，θ＝π，I1＝5.5，I2＝4.8時(shí)響應(yīng)系統(tǒng)反控制的分岔過程.由圖7可見，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，響應(yīng)系統(tǒng)處于4周期態(tài).由于響應(yīng)系統(tǒng)從4周期態(tài)直接進(jìn)入4Ⅰ混沌區(qū)后進(jìn)入1Ⅰ混沌區(qū).因此，相同的方案通過改變初始條件，即可實(shí)現(xiàn)混沌同步、控制和反控制.

圖6 響應(yīng)系統(tǒng)在不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下的倒分岔過程Fig.6 Inverse bifurcational diagram of response system with the driving stiffness increasing q

圖7 響應(yīng)系統(tǒng)反控制的分岔過程Fig.7 Bifurcation diagram of anti－control to the response system

綜上，本文運(yùn)用混沌理論提出一種實(shí)現(xiàn)延遲反饋系統(tǒng)間的混沌同步判別方法，并在此基礎(chǔ)上研究了電光雙穩(wěn)系統(tǒng)廣義同步和完全同步的規(guī)律.結(jié)果表明，通過改變系統(tǒng)初始條件，可實(shí)現(xiàn)電光雙穩(wěn)系統(tǒng)的混沌控制和反控制.

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