郝鴻雁，黃志亮

（1.浙江海洋學院機電工程學院，浙江 舟山 316000；2.三一集團有限公司研究總院，湖南 長沙 410100）

0 引 言

由于蜂窩板具有重量輕、強度高、剛性大、穩(wěn)定性好、隔熱隔聲等優(yōu)點，現(xiàn)已廣泛應用在航空航天、機車、船舶、汽車和建筑等領域[1-3]。蜂窩板結(jié)構(gòu)的靜、動力學分析計算成為現(xiàn)階段力學領域研究的一大熱點。以往的研究大多數(shù)采用數(shù)值解析法進行分析，但其不適用于復雜的蜂窩板結(jié)構(gòu)，利用ANSYS等通用有限元軟件對蜂窩板結(jié)構(gòu)進行力學分析時，由于沒有蜂窩結(jié)構(gòu)單元，使得計算只能采用等效的方式進行。蜂窩板的等效參數(shù)可以通過理論方法[4]或?qū)嶒灧椒ù_定。

理論方法確定等效彈性模量計算過程比較復雜，文獻[5]采用三點彎曲線載荷兩端簡支板的撓度測試方法，得到蜂窩板的等效彈性模量。這種方法后續(xù)的計算過程相當繁瑣，并且它是一種靜態(tài)的方法。本文提出利用動力學的方法來測試蜂窩板的等效彈性模量的新方法。采用LMS Test.lab聲振試驗系統(tǒng)對某型蜂窩板結(jié)構(gòu)樣件進行模態(tài)試驗，獲取了結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。用ANSYS Workbench有限元軟件對試驗結(jié)果進行調(diào)參，尋求結(jié)構(gòu)的等效彈性模量。

1 蜂窩板結(jié)構(gòu)樣件模態(tài)試驗

試驗模態(tài)分析是一種系統(tǒng)辨識的方法，是在滿足實際結(jié)構(gòu)可以運用“模態(tài)模型”來描述其動態(tài)特性的條件下，通過對振動響應數(shù)據(jù)的處理和分析，尋求其模態(tài)參數(shù)，包括頻率、阻尼和模態(tài)振型[6]。

實際工程中，需根據(jù)實驗目的選擇不同的模態(tài)參數(shù)估計方法。多參考點最小二乘復頻域法（PolyMAX）是比利時LMS公司開發(fā)的一種全新的模態(tài)參數(shù)頻域識別方法[7]。PolyMAX法既適用于弱阻尼也適用于強阻尼密集模態(tài)系統(tǒng)，即便是未得到充分激勵的模態(tài)也能良好的識別出來。

PolyMAX法是以頻響函數(shù)矩陣H作為擬合函數(shù)，H的頻域矩陣分式表達為

式中：m——輸入（激勵）參考通道總數(shù)；

l——輸出（響應）通道總數(shù)。

將分子、分母定義成多項式的形式為

式中：Zr（ω）——多項式基本項，表達式為=e-jωΔt；

βr——l×m階分子多項式系數(shù)矩陣；

αr——m×m階分母多項式系數(shù)矩陣；

p——數(shù)學模型設定的階次；

Δt——采樣時間。

將式（2）代入式（1）得到的頻響函數(shù)矩陣為

在PolyMAX法中一般設定αr、βr中的元素均為實值系數(shù)，于是可表示為

對于頻響函數(shù)FRF數(shù)據(jù)頻率軸上任意頻率ωk，由實測頻響函數(shù)可以列出式（3），取不同的頻率列出足夠數(shù)量的方程。最后利用最小二乘法估計便可求得待定的分子和分母多項式系數(shù)矩陣βr、αr（r=0，1，…，p），通常取 αp=Ⅰ。

在求得分母多項式系數(shù)矩陣αr的基礎上，將其擴展成友矩陣的形式；再對友矩陣進行特征值分解，就能得出系統(tǒng)的極點和模態(tài)參與因子

其中，Λ為友矩陣的特征值矩陣（對角陣），其對角線元素（特征值）為λi=e-piΔt（i=1，2，…，mp），它們總是以共軛復數(shù)形式成對出現(xiàn)的，且

由特征值分解得到的特征向量 V（mp×mp），取其最下面m行構(gòu)成的矩陣即為模態(tài)參與因子矩陣L（m×mp）；其每一列向量li代表各個輸入對相應模態(tài)的比例貢獻。

PolyMAX法采用一種比較簡便的方法，即采用最小二乘頻域法（LSFD）求模態(tài)振型，其擬合函數(shù)為

Ψi（l×1）——待求的第i階模態(tài)振型列向量；

liT（1×m）——模態(tài)參與因子行向量；

liH（1×m）——li的共軛轉(zhuǎn)置；

LR、UR（l×m）——分析頻帶有外模態(tài)影響的下殘余項和上殘余項。

由于極點pi和模態(tài)參與因子向量都已求得，于是可由測量的頻響函數(shù)（ω）按不同頻率列出式（7），然后用線性最小二乘法求出式中未知的模態(tài)振型Ψi以及上、下殘余項LR、UR。

1.1 模態(tài)試驗方法及其測試系統(tǒng)

本實驗利用多點激勵單點拾振的方法對蜂窩板在自由約束狀態(tài)下進行模態(tài)試驗分析。實驗使用300mm×300mm×3mm、345g的蜂窩板樣件，總計布置了36個測點，試驗模型及測點布置如圖1所示。實驗中將蜂窩板4個角用軟海綿墊支撐以模擬其自由約束狀態(tài)。

圖1 蜂窩板試驗樣件幾何測點布置

在LMS Test.lab聲振試驗系統(tǒng)中，利用錘擊法對蜂窩板試驗樣件進行了實驗模態(tài)分析。模態(tài)試驗測試系統(tǒng)框圖見圖2。

圖2 基于LMS Test.lab蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗系統(tǒng)框圖

模態(tài)試驗時，將一個PCB 333B30單向加速度傳感器（質(zhì)量約為4g）固定于10#測點，移動脈沖錘依次進行頻響函數(shù)的測量。根據(jù)板殼振動理論[8]可知，其相對質(zhì)量ζ近似等于零；因此，附加傳感器的質(zhì)量對模態(tài)試驗結(jié)果的影響可以忽略不計。

式中：m——附加質(zhì)量；

M——板的質(zhì)量。

1.2 模態(tài)試驗結(jié)果

采用PolyMAX模態(tài)參數(shù)識別法[7]對頻響函數(shù)從100～400Hz進行模態(tài)分析，得到的穩(wěn)定性分析圖如圖3所示。

圖3 PolyMAX法模態(tài)穩(wěn)定性圖

從圖3中可以看出：有模態(tài)的位置出現(xiàn)一系列s標識，這說明利用PolyMAX法分析得到的頻率、阻尼和模態(tài)參與因子全部穩(wěn)定。

采用PolyMAX法識別出來的蜂窩板樣件模態(tài)參數(shù)見表1。自由約束狀態(tài)下的模態(tài)振型如圖4所示。

表1 自由約束狀態(tài)下蜂窩板試驗樣件模態(tài)試驗結(jié)果

圖4 蜂窩板試驗樣件前4階模態(tài)振型

模態(tài)試驗完成后，為防止引入虛假模態(tài)和丟失真實模態(tài)，需要對模態(tài)進行驗證。而模態(tài)判定準則（modal assurance criteria，MAC）不僅可以檢驗模態(tài)的真實性，更廣義地說它是衡量模態(tài)有效性的尺度。其中模態(tài)判定準則通過比較不同模態(tài)向量間的線性相關(guān)性來判斷各階模態(tài)的置信度。在工程分析中，兩個模態(tài)振型向量Ψi和Ψs之間的模態(tài)判定準則定義為

MAC取值從0到100%。若MAC取值越接近100%，則兩個模態(tài)振型向量是同一個物理振型的估計；若兩個模態(tài)振型向量是不同物理振型的估計，則MAC取值應該接近0。即取值為100%說明兩者是同一物理振型且具有一致的相關(guān)性，同時也說明了模態(tài)參與因子的有效性；反之，若MAC取值為0，則說明兩個模態(tài)振型向量是不同的物理振型且沒有一致的相關(guān)關(guān)系，它們是相互獨立的。

從模態(tài)置信分析圖5中可以看出，由PolyMAX模態(tài)參數(shù)識別法識別出的蜂窩板各階模態(tài)之間滿足模態(tài)正交性原理；同一物理振型具有比較好的一致性，不同物理振型基本上是相互獨立的。因此，本次模態(tài)試驗所得到的蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)真實可靠，不存在虛假模態(tài)。

2 蜂窩板等效彈性模量的確定

2.1 蜂窩板的等效方法

本文試驗的蜂窩板是在假定空間體積和厚度不變的情況下，將其等效成一個等厚度的實心板。等效實心板的密度就可以由蜂窩板試驗樣件的重量除以實心板的體積得到。

圖5 蜂窩板結(jié)構(gòu)模態(tài)置信分析圖

式中：M——板的質(zhì)量；

V——板的空間體積。

通過計算蜂窩板等效密度ρ=1278.11kg/m3。

2.2 基于ANSYS Workbench調(diào)參確定等效彈性模量

經(jīng)過多次調(diào)參試湊，使有限元分析得到的固有頻率和振型與實驗結(jié)果趨于一致，從而得到蜂窩板等效模型彈性模量的確定值E=55GPa。

在等效彈性模量E=55GPa的情況下，蜂窩板等效模型結(jié)構(gòu)模態(tài)有限元分析結(jié)果見表2，前4階模態(tài)振型如圖6所示。

通過對比蜂窩板等效模型模態(tài)有限元分析結(jié)果與實驗結(jié)果可以看出，各階模態(tài)振型非常一致，模態(tài)振型分別為：第1階模態(tài)為對邊節(jié)線四角局部振動，第2階模態(tài)為對角節(jié)線四邊局部振動，第3階模態(tài)為環(huán)形節(jié)線局部振動，第4階模態(tài)為對邊1節(jié)線和對邊2節(jié)線局部振動；且各階模態(tài)振型對應固有頻率非常接近，誤差在5%以內(nèi)。說明通過試驗調(diào)參得到的蜂窩板結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，在動力學仿真分析中能夠準確反映蜂窩板實際結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。

表2 自由約束狀態(tài)下蜂窩板等效模型模態(tài)有限元分析結(jié)果

圖6 蜂窩板等效模型前4階模態(tài)振型

3 結(jié)束語

本文所采用的蜂窩板等效模型以及調(diào)參確定的等效彈性模量，在動力學分析時能夠真實反映蜂窩板實際結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。在等厚度等效方法的情況下，所確定的等效彈性模量真實可靠。同時該等效模型及其等效彈性模量也適用于靜力的有限元分析。

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