朱小林，賀君燕

(1．上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海201306;2．上海電力學(xué)院 數(shù)理系，200090)

1 問(wèn)題提出

當(dāng) n≥2 時(shí)，文［1］［2］給出了一個(gè) Dn={(w，u1，…，un－1)∈Cn|2Im w － u u—T＞0}到超球 Bn={z=(z1，…，zn)∈Cn|1－z z—T=1－|z1|2－…－|zn|2＞0}的一個(gè)雙全純雙射變換T:

令t為T(mén):Dn→Bn的變換矩陣，由(1)得，從而 Aut(Dn)=t－1Aut(Bn)t．自同構(gòu)群的算術(shù)子群在數(shù)論中是有意義的，如:現(xiàn)代數(shù)論的中心領(lǐng)域之一的自守形式就是定義在算術(shù)子群上的．復(fù)矩陣t給出了自同構(gòu)群的關(guān)系，然而相對(duì)應(yīng)的算術(shù)子群的關(guān)系其數(shù)論性質(zhì)就變復(fù)雜了，原因就在于矩陣t中出現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，本文作者將研究能不能找到一個(gè)合適的雙全純雙射變換A，使相對(duì)應(yīng)的算術(shù)子群能保持良好的算術(shù)性質(zhì)．

令:In，1=，其中In表n階單位矩陣．則由［3］:

進(jìn)而有:

當(dāng)n=1時(shí)，式(2)、(3)分別為復(fù)單位圓盤(pán)和復(fù)上半平面自同構(gòu)群，此時(shí)

由以上關(guān)系，關(guān)鍵尋找變換矩陣An+1，滿足Aut(Dn)=A－1n+1SU(n，1)An+1，An+1具有良好的算術(shù)性質(zhì)．作者將尋找由高斯整數(shù)構(gòu)成的模矩陣An+1(以下簡(jiǎn)稱模矩陣:即逆矩陣仍為高斯整數(shù)構(gòu)成，也即為行列式的模為1的矩陣)．對(duì)應(yīng)的雙全純雙射變換Α:Dn→Bn，稱為模變換．

2 模矩陣的條件

引理1 當(dāng)n≥1時(shí)，若存在An+1滿足

證明 ?s∈SU(n，1)，則令:g=A－1n+1sAn+1，有:

證畢．

命題1 不存在模變換將單位開(kāi)圓盤(pán)映射成復(fù)上半平面．

由以上命題，以下n≥2．

再令:Γn+1=Aut(Dn)∩SL(n+1，Z［i］)，則有:

定理1 Mn+1=An+1Γn+1，其中 An+1∈Μn+1．

證明 ?Υ∈Γn+1，令A(yù)=An+1Υ，有:

所以有:An+1Γn+1?Mn+1．

反過(guò)來(lái):A，B∈Mn+1，易得 BA－1∈Γn+1;即:Mn+1?An+1Γn+1．證畢．

由上定理1可知關(guān)鍵是找出一個(gè)模矩陣An+1，因?yàn)樗袧M足條件的模矩陣相差Γn+1中的一個(gè)元素．

3 模矩陣計(jì)算

引理 2 存在模矩陣 A3，滿足 A—T3I2，1A3= － H1，1．

證明 令:A3=SL(3，Z［i］)，由:A—T3H1，2A3= － I2，1，得:

由 aij為高斯整數(shù)，由式(4)中(a)和(f)得:|a31|≠0，|a33|≠0，取|a31|=|a33|=1(模最小)，即:a31=in，a33=im(n，m∈Ζ)．由式(a)和(f)繼續(xù)令:a21=a13=0，a11=ip，a23=iq得:

條件方程組(4)化為:

由以上方程組令:m=q=p=s=4得:

滿足引理要求．證畢．

引理3 n≥2時(shí)，存在模矩陣 An+1，滿足

證明 n=2，即引理2，下證:n＞2引理成立．令:

則直接計(jì)算得:

證畢．

4 問(wèn)題的解答及應(yīng)用

進(jìn)一步得:

即Α0是Dn到Bn一個(gè)雙全純雙射的變換矩陣．

定理2 當(dāng)n≥2時(shí)，若An+1∈SL(n+1，Z［i］)且為Dn→Bn一個(gè)雙全純雙射的一個(gè)變換矩陣，則:

證明 由引理1得證必要性．下證充分性:

證畢．

［1］朱小林，陸洪文．橢圓元在維數(shù)公式中的貢獻(xiàn)［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊(A輯)，2007，28(2):281．

［2］朱小林，陸洪文．第二類Siegel域上自同構(gòu)群Iwasawa分解的Haar測(cè)度顯式［J］．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，35(7):980．

［3］華羅庚．多復(fù)變數(shù)函數(shù)論中的典型域的調(diào)和分析［M］．2版．北京:科學(xué)出版社，1965．

［4］GOMELIN T W．Complex Analysis［M］．北京:世界圖書(shū)出版公司北京公司，2008．