姚 軍，劉丕養(yǎng)，吳明錄

(中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266580)

非常規(guī)油氣藏，如低滲油藏及頁(yè)巖氣藏，都普遍有微裂縫發(fā)育，屬于裂縫性油氣藏［1-2］。對(duì)于這些油氣藏，水平井分段壓裂開(kāi)發(fā)是經(jīng)濟(jì)有效的方法之一［3-6］。Giger［7］首先提出水平井壓裂問(wèn)題并研究了低滲透油藏中壓裂水平井的滲流場(chǎng)及壓降分布規(guī)律［8］。Guo 和 Evans［9-12］利用實(shí)空間的點(diǎn)源函數(shù)和Newmann乘積原理得到了有多條裂縫的水平井壓力動(dòng)態(tài)解析解。Rbeawi［13］運(yùn)用 Green函數(shù)法求出了均質(zhì)油藏中具有多條傾斜裂縫壓裂水平井的壓力分布。1991年Ozkan［14］給出了拉氏空間內(nèi)廣泛的試井模型，考慮了不同的井類型、邊界類型、均質(zhì)或雙重孔隙介質(zhì)油藏類型。Raghavan等［15］利用盒狀油藏拉氏空間點(diǎn)源解，采用疊加原理得到了多條橫向裂縫壓裂水平井拉氏空間解。Brown等［16］于2009年提出利用三線性流模型研究非常規(guī)油氣藏的壓裂水平井動(dòng)態(tài)，該模型簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，但無(wú)法準(zhǔn)確表征壓裂水平井各個(gè)流動(dòng)階段。在引用國(guó)外先進(jìn)的試井技術(shù)的基礎(chǔ)上，中國(guó)工作者提出了一些適用于中國(guó)油田的壓裂水平井試井技術(shù)。李笑萍［17］討論了具有多條裂縫的壓裂水平井試井分析問(wèn)題。劉振宇［18］研究了水平井穿越多條裂縫條件下的滲流規(guī)律以及裂縫的優(yōu)化問(wèn)題，并對(duì)壓裂水平井與壓裂直井的產(chǎn)能進(jìn)行了比較分析。李軍詩(shī)［19］對(duì)三維壓裂水平井流動(dòng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，建立了有限導(dǎo)流壓裂水平井非穩(wěn)定滲流系統(tǒng)模型。筆者將有裂縫發(fā)育的介質(zhì)看作雙重介質(zhì)，在Ozkan基本點(diǎn)源解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出不同邊界條件下裂縫性油氣藏分段壓裂水平井單條及多條裂縫生產(chǎn)時(shí)的井底無(wú)因次壓降求解公式，劃分地下流體的流動(dòng)形態(tài)，分析油藏邊界及裂縫參數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響。

1 試井解釋模型的建立及求解

1.1 物理模型

在實(shí)際的裂縫－孔隙性雙重介質(zhì)油氣藏中，裂縫和基質(zhì)巖塊的分布是雜亂無(wú)章的，用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法很難描述流體在其中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。為了研究的需要，本文采用Warren-Root模型描述實(shí)際的裂縫性油藏。Warren-Root模型認(rèn)為，流體只能通過(guò)裂縫流向井筒，忽略基巖系統(tǒng)的向井流，但在基巖與裂縫系統(tǒng)之間存在竄流，這種模型稱為雙孔單滲模型。

水平井穿過(guò)多條裂縫的模型示意圖如圖1所示。假設(shè)油藏為雙重介質(zhì)油藏，地層各向異性，水平等厚，頂?shù)追忾]，考慮三種不同的外邊界情況:無(wú)限大、封閉及定壓;水平井僅在裂縫交界處射孔;水平井井底總流量固定，各條壓裂裂縫的流量可以不相等;流體在水平井井筒及壓裂裂縫內(nèi)的流動(dòng)均為無(wú)限導(dǎo)流;地層和流體微可壓縮，且壓縮系數(shù)為常數(shù);流體為單相，且在地層中基巖和裂縫系統(tǒng)中的流動(dòng)均符合達(dá)西定律;不考慮重力和毛管力的影響，并假設(shè)地層中的壓力梯度較小。

圖1 水平井穿過(guò)多條裂縫示意圖Fig.1 Sketch map of horizontal well intersected by multiple fractures

1.2 壓裂水平井井底壓力解

為了統(tǒng)一和簡(jiǎn)便，將各變量變換成無(wú)因次變量進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和研究，各無(wú)因次參數(shù)定義如下:

式中，l表示 x、y、z方向;kf為裂縫系統(tǒng)滲透率，μm2;h為油藏厚度，m;hw為壓裂裂縫寬度，m;df為壓裂裂縫間距，m;t為時(shí)間，s;P 為壓力，10－1MPa;Lxf為壓裂裂縫半長(zhǎng)，m;L為參考長(zhǎng)度，m;μ為滲流流體黏度，mPa·s;φ 為孔隙度;ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa－1;下標(biāo)D表示無(wú)因次量，下標(biāo)f表示裂縫系統(tǒng)，下標(biāo)m表示基巖系統(tǒng)，下標(biāo)w表示壓裂裂縫，下標(biāo)e表示油藏邊界。

1.2.1 單條裂縫時(shí)井底壓力解

Ozkan［14］給出的雙重介質(zhì)頂?shù)追忾]四周無(wú)限大油藏的點(diǎn)源解為

式(3)即為頂?shù)追忾]四周無(wú)限大油藏中長(zhǎng)為2Lxf、寬為hw的單條壓裂裂縫生產(chǎn)時(shí)，地層中任意一點(diǎn)在拉氏空間中的壓降解。同理，可以得到盒狀封閉油藏中一條不完全穿透地層壓裂裂縫的壓降解為

頂?shù)追忾]，四周定壓的矩形油藏中一條不完全穿透地層壓裂裂縫壓降解為

1.2.2 多條裂縫時(shí)井底壓力解

在數(shù)學(xué)模型中，假設(shè)壓裂的裂縫條數(shù)為n，每一條壓裂裂縫都假定擁有不同的特性，并且可以在井筒的任意位置。認(rèn)為壓裂裂縫都在相同的井筒壓力下生產(chǎn)，即為水平井無(wú)限導(dǎo)流能力模型。壓裂裂縫可以是橫向的或者與井筒垂直。水平井總的流量是每一條壓裂裂縫中流出流量的總和，用公式表示為

因此，無(wú)因次壓力差可以通過(guò)褶積積分來(lái)求得，即

式中，PwDi表示微元i處的無(wú)因次壓力差，PwDij表示由第j(j=1，2，…，n)條裂縫生產(chǎn)時(shí)在第i條裂縫處產(chǎn)生的壓力差。

對(duì)式(6)和(7)進(jìn)行Laplace變換，得

在無(wú)限導(dǎo)流能力的假設(shè)條件下，水平井井筒中各處保持相等的壓力，可以表示為

寫(xiě)出每條壓裂裂縫上相應(yīng)的公式(8)、(9)、(10)的形式，可以得到如下的矩陣方程組:

通過(guò)求解該矩陣方程組，可以求得井底壓力解及每條裂縫的產(chǎn)量變化［20］。

1.3 考慮井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)時(shí)水平井井底壓力的計(jì)算方法

上述計(jì)算的水平井井底壓力并沒(méi)有考慮井筒存儲(chǔ)和污染的影響。在Laplace空間利用Duhamel原理，引入無(wú)因次井筒存儲(chǔ)系數(shù)CD和總表皮系數(shù)S，得到Laplace空間壓力解的關(guān)系［21］如下:

在Laplace空間計(jì)算得到水平井井底壓力之后，再利用Stehfest數(shù)值反演方法［22］，便可得到真實(shí)空間內(nèi)考慮井筒存儲(chǔ)效應(yīng)和表皮系數(shù)的壓力pD。

2 壓力動(dòng)態(tài)分析

假設(shè)水平井存在3條垂直壓裂裂縫，水平井交于裂縫中心。各無(wú)因次參數(shù)取值為:壓裂裂縫半長(zhǎng)LfD=0.2，壓裂裂縫寬度hwD=0.1，水平井長(zhǎng)度Lh=1，油藏長(zhǎng)度xeD=12，油藏寬度yeD=12，油藏厚度hD=0.1，裂縫系統(tǒng)彈性儲(chǔ)能比ω=0.1，竄流因子λ=0.1，井儲(chǔ)系數(shù) CD=10－5，表皮系數(shù) S=0.01。

將裂縫性油藏看作雙重介質(zhì)油藏，與單重介質(zhì)油藏相比存在基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流，這在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為一個(gè)“凹子”，如圖2所示，“凹子”的深度與位置跟裂縫系統(tǒng)的彈性儲(chǔ)能比及介質(zhì)內(nèi)部竄流系數(shù)有關(guān)。

圖2 不同介質(zhì)類型壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)對(duì)比Fig.2 Comparison of pressure behavior of fracturing horizontal well in different media

圖3 不考慮井儲(chǔ)和表皮的壓裂水平井井底壓力動(dòng)態(tài)曲線Fig.3 Pressure behavior of fracturing horizontal well neglecting storage and skin factor

圖4 裂縫線性流示意圖Fig.4 Sketch map of fracturing lineal flow

如圖3所示，不考慮水平井的井筒儲(chǔ)存及表皮系數(shù)時(shí)，裂縫性油氣藏壓裂水平井的流動(dòng)形態(tài)分為5種:①壓裂裂縫線性流(圖4)，是指在流動(dòng)初期地層中流體線性的流向各條壓裂裂縫。在雙對(duì)數(shù)圖上表現(xiàn)為無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線為1/2斜率的直線段。②壓裂裂縫徑向流(圖5)，是指若壓裂裂縫較短，且縫距較大，則在各壓裂裂縫周圍產(chǎn)生水平徑向流動(dòng)，反之，該流動(dòng)階段不會(huì)出現(xiàn)。該流動(dòng)段在雙對(duì)數(shù)診斷圖上表現(xiàn)為無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線為一水平直線段。③地層線性流(圖6)，是指在流動(dòng)中后期，若邊界較遠(yuǎn)，產(chǎn)生的流線相互平行，且垂直于水平井軸線的線性流動(dòng)。該流動(dòng)段的無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線在雙對(duì)數(shù)圖上為1/2斜率的直線段。④系統(tǒng)徑向流(圖7)，是指對(duì)于整個(gè)油藏，如果生產(chǎn)時(shí)間很長(zhǎng)，且壓力波未傳播到邊界，則流體以擬徑向流的形式向水平井及壓裂裂縫區(qū)域流動(dòng)。該流動(dòng)段在雙對(duì)數(shù)診斷圖上表現(xiàn)為無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線為0.5值水平直線段。⑤邊界影響，是指壓力波傳播到邊界以后，邊界的性質(zhì)對(duì)流體流動(dòng)狀態(tài)的影響。如果油藏具有封閉外邊界，地層中出現(xiàn)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，雙對(duì)數(shù)診斷圖上表現(xiàn)為無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹并與無(wú)因次壓力曲線重合;如果油藏具有定壓外邊界，則地層中壓力趨于穩(wěn)定，形成穩(wěn)態(tài)，雙對(duì)數(shù)診斷圖上表現(xiàn)為無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線急劇下掉，無(wú)因次壓力曲線為水平線;如果油藏為無(wú)限大邊界，則地層中流體繼續(xù)系統(tǒng)徑向流。

圖5 裂縫徑向流示意圖Fig.5 Sketch map of fracturing radial flow

圖6 地層線性流示意圖Fig.6 Sketch map of formation lineal flow

圖7 系統(tǒng)徑向流示意圖Fig.7 Sketch map of formation radial flow

圖8 考慮井儲(chǔ)和表皮的壓裂水平井井底壓力動(dòng)態(tài)曲線Fig.8 Pressure behavior of fracturing horizontal well considering storage and skin factor

如圖8所示，考慮水平井井筒存儲(chǔ)和表皮系數(shù)的影響時(shí)，井筒的續(xù)流段(圖8中的Ⅰ區(qū))和過(guò)渡段(圖8中的Ⅱ區(qū))掩蓋了裂縫線性流和裂縫徑向流階段，Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ區(qū)分別對(duì)應(yīng)于圖3中③ 、④ 、⑤ 區(qū)的流動(dòng)階段。如果井筒存儲(chǔ)系數(shù)更大或表皮系數(shù)增大，續(xù)流段和過(guò)渡段甚至還會(huì)掩蓋地層線性流階段，所以實(shí)測(cè)的壓力曲線中可能觀察不到裂縫早期的流動(dòng)形態(tài)。

3 參數(shù)敏感性分析

不同的油藏參數(shù)、壓裂裂縫參數(shù)及井參數(shù)都會(huì)對(duì)水平井井底壓力動(dòng)態(tài)產(chǎn)生影響。以盒狀封閉油藏中心一口壓裂水平井生產(chǎn)的情況為例分析井底壓力動(dòng)態(tài)對(duì)各個(gè)參數(shù)的敏感性。

3.1 竄流系數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響

如圖9所示，在雙對(duì)數(shù)曲線圖上可以看出，竄流出現(xiàn)在系統(tǒng)徑向流階段或流動(dòng)達(dá)到邊界以后，且竄流系數(shù)越大，竄流段出現(xiàn)的時(shí)間就越早，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的“凹子”越靠近左側(cè)。

圖9 竄流系數(shù)對(duì)壓裂水平井井底壓力的影響Fig.9 Effect of interporosity flow on pressure behavior of fracturing horizontal well

3.2 彈性儲(chǔ)能比對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響

圖10 彈性儲(chǔ)能比對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響Fig.10 Effect of storativity ratio on pressure behavior

如圖10所示，彈性儲(chǔ)容比ω對(duì)水平井井底壓力動(dòng)態(tài)的早期影響較大，ω越小，早期壓降越大。這是因?yàn)棣乇硎镜氖橇芽p系統(tǒng)的儲(chǔ)油能力，早期流動(dòng)主要是裂縫系統(tǒng)的流動(dòng)。另外，ω的大小還決定了竄流持續(xù)的時(shí)間，ω越小，竄流持續(xù)的時(shí)間越長(zhǎng)，在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為“凹子”的深度越深、寬度越大。這是因?yàn)楫?dāng)裂縫系統(tǒng)壓力降低后，基巖向裂縫補(bǔ)充流體，需要較長(zhǎng)的時(shí)間才能提高裂縫系統(tǒng)的壓力。

3.3 壓裂裂縫條數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響

隨著壓裂工藝技術(shù)的不斷完善，水平井可以采用分段壓裂技術(shù)壓出多條裂縫。由圖11可知:壓裂裂縫條數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響較大，隨著壓裂裂縫條數(shù)的增加，同樣的生產(chǎn)時(shí)間時(shí)，無(wú)因次井底壓降變小。這是由于增大裂縫條數(shù)可以使流體更容易流入井底，從而減少了滲流的壓力損失。但是隨著裂縫條數(shù)的繼續(xù)增加及生產(chǎn)時(shí)間的增加，這種效果會(huì)越來(lái)越不明顯。由此可知，雖然裂縫條數(shù)較多能加快油藏的開(kāi)發(fā)速度，但盲目增大裂縫條數(shù)會(huì)導(dǎo)致開(kāi)采成本大幅度增長(zhǎng)。對(duì)一具體油藏，存在一個(gè)最佳的裂縫條數(shù)值，在保證油藏高效開(kāi)發(fā)的同時(shí)，獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益。

圖11 裂縫條數(shù)nf對(duì)壓裂水平井井底壓力的影響Fig.11 Effect of fracture number on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

3.4 壓裂裂縫半長(zhǎng)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響

裂縫長(zhǎng)度是影響壓裂水平井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的一個(gè)重要因素。圖12為不同裂縫半長(zhǎng)條件下的壓力動(dòng)態(tài)曲線。可以看出，隨著裂縫長(zhǎng)度的增加，無(wú)因次井底壓降變小，但這種變小并不是無(wú)限制的。同時(shí)還可以觀察到，壓裂裂縫的長(zhǎng)度會(huì)影響壓裂裂縫徑向流出現(xiàn)的時(shí)間。壓裂裂縫越長(zhǎng)，壓裂裂縫徑向流出現(xiàn)的時(shí)間越晚;當(dāng)壓裂裂縫很長(zhǎng)時(shí)，壓裂裂縫徑向流將不會(huì)出現(xiàn)。

圖12 裂縫半長(zhǎng)Lxf對(duì)壓裂水平井井底壓力的影響Fig.12 Effect of fracture half-length on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

在縱向上增加裂縫長(zhǎng)度即是增加裂縫寬度，研究發(fā)現(xiàn)，增加裂縫寬度對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響與增加裂縫半長(zhǎng)對(duì)壓降的影響相同。這是因?yàn)椴徽撌窃黾訅毫蚜芽p的長(zhǎng)度還是寬度都是增加了壓裂縫的面積，從而使得流體更容易流向井筒，但裂縫寬度不會(huì)影響壓裂裂縫徑向流出現(xiàn)的時(shí)間。考慮到經(jīng)濟(jì)及技術(shù)因素，對(duì)于具體油藏來(lái)說(shuō)，在裂縫條數(shù)、儲(chǔ)層滲透率及裂縫導(dǎo)流能力等參數(shù)一定時(shí)，存在一個(gè)最優(yōu)的裂縫長(zhǎng)度及寬度。

3.5 壓裂裂縫間距對(duì)壓力動(dòng)態(tài)的影響

如圖13所示，從無(wú)因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上可以看出，壓裂裂縫間距會(huì)影響壓裂裂縫徑向流結(jié)束的時(shí)間，且縫距越小，壓裂縫徑向流持續(xù)的時(shí)間越短。這是因?yàn)楫?dāng)兩條壓裂裂縫靠近時(shí)，相互間的干擾作用就會(huì)加劇，使得兩條裂縫中間形成一個(gè)低壓區(qū)，低壓區(qū)形成后，該區(qū)域的原油就很難流動(dòng)，此時(shí)水平井的產(chǎn)量主要受裂縫外圍區(qū)域流體滲流的影響。隨著滲流區(qū)域的擴(kuò)大，滲流阻力也會(huì)相應(yīng)增加，與較大的裂縫間距相比，小的裂縫間距會(huì)使?jié)B流在裂縫徑向流結(jié)束后所需的壓降變大，這一點(diǎn)在無(wú)因次壓力曲線上可以看出。增大裂縫間距并不會(huì)增加施工難度及施工費(fèi)用，同時(shí)裂縫間距的增大可以增加水平井周圍的泄油面積，減小壓裂裂縫間的相互干擾。因此，水平井壓裂設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡可能加大裂縫間距，以提高水平井壓裂效益。

圖13 裂縫間距d對(duì)壓裂水平井井底壓力的影響Fig.13 Effect of fracture spacing on pressure behavior of fracturing horizontal wellbore

4 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證模型的正確性，取某油田的一個(gè)測(cè)試實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。油藏的基礎(chǔ)參數(shù)為:油層平均有效厚度32.5m，平均孔隙度0.2，井筒半徑0.091 m，水平井水平段長(zhǎng)度60 m，原油黏度2 mPa·s，原油體積系數(shù) 1.05，綜合壓縮系數(shù) 4.7 ×10－4MPa－1，測(cè)試前該井產(chǎn)量為60 m3/d。應(yīng)用上述試井解釋模型計(jì)算測(cè)試井的理論壓力響應(yīng)，并利用遺傳算法對(duì)理論壓力響應(yīng)與實(shí)測(cè)壓力響應(yīng)進(jìn)行自動(dòng)擬合［23］，擬合結(jié)果如圖14所示。由圖14所示的壓力恢復(fù)雙對(duì)數(shù)擬合結(jié)果可得如下試井解釋參數(shù):平均滲透率k=180×10－3μm2，表皮系數(shù) S=0，彈性儲(chǔ)能比 ω =0.199，竄流系數(shù)λ=9.89×10－6，裂縫條數(shù) n=3，裂縫半長(zhǎng)Lxf=5.8 m。

圖14 測(cè)試井理論曲線與實(shí)測(cè)曲線雙對(duì)數(shù)擬合圖Fig.14 Type curve matching of theoretical curves and tested curves

5 結(jié)束語(yǔ)

利用Green函數(shù)法，通過(guò)鏡像映射和疊加原理求得了頂?shù)追忾]四周無(wú)限大、封閉及定壓邊界條件下裂縫性油氣藏壓裂水平井單條裂縫或多條裂縫生產(chǎn)時(shí)水平井井底壓力響應(yīng)的Laplace空間解。裂縫性油氣藏壓裂水平井存在壓裂裂縫線性流、壓裂裂縫徑向流、地層線性流、系統(tǒng)徑向流及邊界影響5種流動(dòng)形態(tài)，并且會(huì)出現(xiàn)基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流。壓裂裂縫條數(shù)越多，相同的生產(chǎn)時(shí)間時(shí)，無(wú)因次井底壓降越小，但當(dāng)壓力波傳播到邊界后，裂縫條數(shù)不再對(duì)流動(dòng)造成明顯影響;壓裂裂縫長(zhǎng)度及寬度只影響地層線性流之前的流動(dòng)，增加壓裂裂縫長(zhǎng)度或?qū)挾?，無(wú)因次井底壓降減小，且隨著壓裂裂縫長(zhǎng)度的增加，壓裂裂縫徑向流出現(xiàn)的時(shí)間越來(lái)越晚，當(dāng)壓力裂縫長(zhǎng)度很大時(shí)，壓力裂縫徑向流將不會(huì)出現(xiàn);壓裂裂縫間距會(huì)影響壓裂裂縫徑向流結(jié)束的時(shí)間，且縫距越小，壓裂裂縫徑向流持續(xù)的時(shí)間越短。現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用實(shí)例證明了試井解釋模型的正確性。

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