駱乾坤，吳劍鋒，林 錦，祝曉彬，吳吉春

（1.南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院水科學(xué)系，江蘇 南京 210093；2.南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029）

在地下水污染治理和修復(fù)過(guò)程中，建立相應(yīng)的地下水污染長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)網(wǎng)絡(luò)，可以及時(shí)獲取地下水的物理、化學(xué)、生物特性的動(dòng)態(tài)變化資料，從而保證治理結(jié)果的可靠性［1］。自20世紀(jì)80年代國(guó)外就有地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)設(shè)計(jì)的研究報(bào)道，隨后國(guó)內(nèi)也開(kāi)展了這方面的研究［2～5］。近10多年來(lái)，地下污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)設(shè)計(jì)研究已成為地下水領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一［6～10］。目前，地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)的設(shè)計(jì)多采用模擬-優(yōu)化方法［11］。

在處理地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，決策者往往需要權(quán)衡各方面因素的相互影響。在這種情況下，采用多目標(biāo)優(yōu)化方法求解出相互矛盾的目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡曲線可以提供給決策者一系列的Pareto解，以便其根據(jù)實(shí)際需要選擇一個(gè)最有效、最合適的解。但傳統(tǒng)地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)大多數(shù)都是建立在單一目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化基礎(chǔ)上的罰函數(shù)方法［7～9］。通常情況下如果對(duì)罰函數(shù)選取不當(dāng)，優(yōu)化算法就很可能陷入局部最優(yōu)解，然而對(duì)于一個(gè)給定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，很難找到適合的罰函數(shù)。將單一目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題多目標(biāo)化就可以克服以上問(wèn)題［12］。多目標(biāo)優(yōu)化方法可以同時(shí)優(yōu)化所有的目標(biāo)函數(shù)，而不需要知道各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重或者處理為約束條件。為此，近年來(lái)，各種多目標(biāo)進(jìn)化算法已逐漸應(yīng)用到地下水資源模擬優(yōu)化領(lǐng)域。如，Ritzel等［13］將多種遺傳算法應(yīng)用到目標(biāo)函數(shù)分別為最小化治理成本和最大化去除污染物的地下水污染治理問(wèn)題，結(jié)果表明Pareto遺傳算法(Pareto genetic algorithm，PGA)比其他算法更為優(yōu)越。Erickson等［14］將小生境Pareto遺傳算法(niched Pareto genetic algorithm，NPGA)引入到地下水水質(zhì)管理領(lǐng)域，場(chǎng)地實(shí)驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果表明與單目標(biāo)遺傳算法和隨機(jī)搜索算法相比，NPGA可以得到更加完整的權(quán)衡曲線。吳劍鋒等［15～16］針對(duì)NPGA算法存在局部早熟收斂和收斂速度慢兩個(gè)不足，提出了改進(jìn)NPGA(improved NPGA，INPGA)方法。二維理想算例和三維實(shí)際算例的優(yōu)化結(jié)果均表明該算法求解過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算時(shí)間短，優(yōu)化得到的Pareto解集權(quán)衡曲線的跨度更為合理。

本文采用模擬-優(yōu)化方法建立地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，同時(shí)引入INPGA方法用于求解監(jiān)測(cè)網(wǎng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并通過(guò)算例應(yīng)用對(duì)其進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題概述

一般多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可描述為:最小化:

約束條件:

以上多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題由k個(gè)目標(biāo)函數(shù)fk(x)或yk，n個(gè)決策變量xn和m個(gè)約束條件組成。X表示決策空間，ln和un分別為變量xn的下界和上界，L和U分別是決策變量xn的下界和上界向量，Y表示目標(biāo)函數(shù)空間。對(duì)于任意兩個(gè)向量 y=(y1，y2，...，yk)和 y'=(y'1，y'2，...，y'k)，如果任意 i∈ {1，2，...，k}，有 yi≤ yk'成立，同時(shí)存在 i∈ {1，2，...，k}，使得 yi≤ yk'成立，亦即向量y在所有的目標(biāo)函數(shù)中至少不劣于向量y'，且至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)于向量y'，則稱向量y優(yōu)于或控制向量y'。

對(duì)于以上多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，如果存在x*∈X，同時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)不存在x∈X，使得y=F(x)優(yōu)于y=F(x*)，則稱x*為決策空間X上的一個(gè)Pareto最優(yōu)解，也稱為非支配解或非受控解。一系列非受控解組成的集合稱為多目標(biāo)問(wèn)題的Pareto解集或最佳權(quán)衡解。

2 地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型

2.1 地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型

污染物在含水層中的分布形態(tài)可以用污染羽的空間矩來(lái)刻畫，即零階矩(污染物的總質(zhì)量)、一階矩(污染羽的質(zhì)心位置)和二階矩(污染羽圍繞質(zhì)心的分布范圍，即各個(gè)方向的協(xié)方差)［8］。三種不用的空間矩分別從不同方面來(lái)刻畫污染物在空間上的分布狀態(tài)。只有同時(shí)已知這三個(gè)不同的物理特征值，才能準(zhǔn)確刻畫污染羽的分布狀態(tài)。假設(shè)模擬得到的污染羽濃度分布代表未來(lái)某一時(shí)刻的實(shí)際污染羽分布，亦即如果某一結(jié)點(diǎn)被優(yōu)化模型選中，則該點(diǎn)位置的濃度認(rèn)為已知，并由運(yùn)移模型模擬所得的該點(diǎn)濃度值來(lái)給定。各種不同取樣方案中取樣點(diǎn)的濃度可通過(guò)插值得到一個(gè)污染羽，并分別與所有可能觀測(cè)點(diǎn)插值計(jì)算所得到的污染羽進(jìn)行比較。如果取樣的點(diǎn)數(shù)量足夠多，則插值所得到的污染羽與模擬所得到的污染羽就會(huì)趨于一致。同時(shí)，取樣點(diǎn)數(shù)目的增加，勢(shì)必增加監(jiān)測(cè)費(fèi)用。因此，在提高監(jiān)測(cè)精度和減少監(jiān)測(cè)費(fèi)用兩者之間必須要權(quán)衡利弊，得到最佳采樣方案。數(shù)學(xué)上，地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型包括以下4個(gè)目標(biāo)函數(shù):(1)最小化監(jiān)測(cè)費(fèi)用(即取樣及分析費(fèi)用)；(2)最小化污染物質(zhì)量評(píng)估誤差；(3)最小化污染羽一階矩評(píng)估誤差；(4)最小化污染羽二階矩評(píng)估誤差。第1個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示“以最小的投入”，后3個(gè)目標(biāo)函數(shù)則表示“獲取最準(zhǔn)確的污染羽空間分布信息”即污染羽的空間矩評(píng)估誤差最小。具體地，優(yōu)化模型可表示為:

最小化:

由式(3)～(7)組成的污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型實(shí)際上還包含嵌入的地下水流與污染物的運(yùn)移模型［10，13］。

式中:N——所有可能取樣的觀測(cè)井?dāng)?shù)；

α1——單個(gè)樣品的采集和分析費(fèi)用；

δi——二進(jìn)制變量，表示在第 i號(hào)孔位置是否進(jìn)行取樣，如果δi=1表示取樣，如果δi=0則不取樣；

li——第i號(hào)孔不同深度的取樣個(gè)數(shù)；

α2——第i號(hào)監(jiān)測(cè)孔單位深度的安裝/鉆井費(fèi)用；

di——第i號(hào)監(jiān)測(cè)孔的深度；

θi——二進(jìn)制變量，表示位置i處是否需要重新打井(即觀測(cè)孔原來(lái)是否已經(jīng)存在)，θi=1表示需要打井，θi=0表示觀測(cè)孔已存在；

masscal——采用所有可能的觀測(cè)點(diǎn)取樣分析插值計(jì)算得到的污染物質(zhì)量；

massj——采用第j個(gè)取樣方案取樣分析插值得到的污染物質(zhì)量；

U(xk)——根據(jù)取樣點(diǎn)數(shù)據(jù)無(wú)法插值得到污染羽未知濃度點(diǎn)個(gè)數(shù)。

如果某一個(gè)取樣方案導(dǎo)致U(xk)≠0，以上4個(gè)目標(biāo)函數(shù)就要受到懲罰以降低此方案的適應(yīng)度值，從而保證最好的策略在進(jìn)化搜索過(guò)程中得以保存下來(lái)。罰函數(shù)可表示為以下數(shù)學(xué)形式［10］:

式中:nest——總的插值點(diǎn)數(shù)；

J1，max—— 第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大值。

2.2 污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型的求解

地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型的求解包括3個(gè)主要模塊，即:地下水流和污染物運(yùn)移模擬模塊，污染羽空間矩評(píng)估模塊，以及基于多目標(biāo)進(jìn)化算法的優(yōu)化搜索模塊。

2.2.1 地下水流和污染物運(yùn)移模擬

研究采用 MODFLOW［17］和 MT3DMS［18］程序分別作為地下水流和污染物運(yùn)移模型來(lái)模擬污染物在不同時(shí)段的變化狀況，從而獲取不同取樣點(diǎn)位置處的真實(shí)濃度數(shù)據(jù)值。

2.2.2 污染羽空間矩評(píng)估

污染羽空間矩評(píng)估用來(lái)刻畫某一特定時(shí)刻污染物的總質(zhì)量以及空間分布形態(tài)。根據(jù)取樣點(diǎn)的濃度數(shù)據(jù)值，采用普通克里格(ordinary kriging，OK)方法插值計(jì)算未知結(jié)點(diǎn)的濃度值［19］，得到不同方案所對(duì)應(yīng)的污染羽空間分布，然后分別與采用全部取樣點(diǎn)插值得到的污染物的總質(zhì)量、一階矩和二階矩進(jìn)行比較。進(jìn)而計(jì)算和評(píng)估相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并檢查是否滿足約束條件。

污染羽在任一時(shí)刻t關(guān)于原點(diǎn)的一階矩，即污染羽質(zhì)心坐標(biāo) ()可以表示為［8，20］:

mass——污染物的總質(zhì)量(零階矩)；

C(p，t)—— t時(shí)刻污染物在空間點(diǎn) p=(p1，…，pd)處的濃度；

d——空間的維數(shù)，可以是2或者3；

θ——含水層在空間點(diǎn)p=(p1，…，pd)處的有效孔隙度；

Ω——污染物的濃度分布區(qū)域。

2.2.3 多目標(biāo)進(jìn)化求解

本次研究采用INPGA方法［15］來(lái)求解監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型，其求解過(guò)程可用圖1來(lái)表示。首先調(diào)用水流和溶質(zhì)運(yùn)移模型MODFLOW和MT3DMS獲取所有可能取樣點(diǎn)的濃度數(shù)據(jù)，根據(jù)所得到的濃度數(shù)據(jù)插值計(jì)算相應(yīng)污染羽的空間矩；然后優(yōu)化模型產(chǎn)生初始種群，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值(監(jiān)測(cè)費(fèi)用、污染物質(zhì)量評(píng)估誤差、污染羽一階矩評(píng)估誤差、污染羽二階矩評(píng)估誤差)；經(jīng)過(guò)INPGA的尋優(yōu)迭代計(jì)算，最終得到地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的Pareto最優(yōu)解［7～9］。

與Erickson等［14］提到的 NPGA方法相比，INPGA方法主要通過(guò)添加Pareto解集過(guò)濾器、精英個(gè)體保留策略、鄰域空間Mühlenbein變異以及個(gè)體適應(yīng)值庫(kù)來(lái)提高算法的搜索能力和求解效率［21～22］。

3 算例應(yīng)用

3.1 場(chǎng)地概述

本研究算例為一均質(zhì)各向同性二維承壓地下水系統(tǒng)。如圖2所示，研究區(qū)橫向長(zhǎng)600m，縱向延伸400m。已知有56個(gè)可能取樣點(diǎn)分布于研究區(qū)(圖2中的小三角形點(diǎn))，假設(shè)在污染源處發(fā)生了一次泄漏(C0=1000.0×10－6mg/L)，導(dǎo)致地下水污染，污染羽向左邊界移動(dòng)。

3.2 地下水流模型和污染物運(yùn)移模型

圖1 地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化模型的進(jìn)化求解流程Fig.1 Flowchart describing the evolutionary process for solving a multi-objective groundwater monitoring network design model

水流模型和污染物運(yùn)移模型分別采用以有限差分法為基礎(chǔ)的MODFLOW和MT3DMS程序進(jìn)行求解。研究區(qū)空間離散為30×20=600個(gè)正方形差分網(wǎng)格，網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為20m(圖2中的淺色正方形網(wǎng)格)。研究區(qū)左側(cè)邊界為給定水頭邊界，自上而下由89.0m線性漸升為89.5m；右側(cè)為給定流量補(bǔ)給邊界，單位面積上的流量為9.45m/d；上下均為隔水邊界。其他相關(guān)水文地質(zhì)參數(shù)見(jiàn)表1。在此僅以污染源自泄漏起始至污染物運(yùn)移3年期末作為第一個(gè)管理期來(lái)進(jìn)行監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.3 監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

針對(duì)此算例的監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可采用式(3)～(7)表示。為了方便優(yōu)化模型計(jì)算，不妨定義監(jiān)測(cè)費(fèi)用率(即監(jiān)測(cè)過(guò)程中實(shí)際取樣分析費(fèi)用與全部可能取樣點(diǎn)取樣分析費(fèi)用之比)來(lái)代替式(3)所表示的監(jiān)測(cè)費(fèi)用［10］，具體可表示為:

圖2 研究區(qū)平面圖Fig.2 Map showing the study area

表1 算例中水流和溶質(zhì)運(yùn)移模型的參數(shù)(據(jù)Wu等［9］)Table 1 Parameters input to the flow and transport model［9］

其他各式保持不變。優(yōu)化模型中各參數(shù)取值為:N=56；J1，max=100；nest=651；α1li和 α2di均為 2000 個(gè)貨幣單位；==1。

3.4 優(yōu)化結(jié)果及分析討論

在求解監(jiān)測(cè)網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型時(shí)，INPGA算法的有關(guān)參數(shù)分別取值如下:計(jì)算代數(shù)為40；種群大小為500；Pareto解集過(guò)濾器大小為400；交叉概率為0.95；Mühlenbein變異概率為0.25；小生境半徑為0.05。

由INPGA優(yōu)化得到的結(jié)果如圖3所示。圖3a為各目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系，圖3b～3d分別為圖3a中優(yōu)化結(jié)果在三個(gè)面上的投影，即對(duì)應(yīng)3個(gè)不同目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系。整體上，隨著費(fèi)用率的增加，其它3個(gè)目標(biāo)函數(shù)包括質(zhì)量評(píng)估誤差、一階矩和二階矩的評(píng)估誤差均呈現(xiàn)非線性遞減的趨勢(shì)，說(shuō)明增加監(jiān)測(cè)費(fèi)用可提高污染羽的監(jiān)測(cè)精度。同時(shí)，質(zhì)量評(píng)估誤差與一階矩和二階矩的評(píng)估誤差均為正相關(guān)關(guān)系，尤其前兩者(J2∝J3)近乎為線性正相關(guān)關(guān)系，而二階矩評(píng)估誤差受取樣點(diǎn)數(shù)目及位置影響最為敏感。再?gòu)膬?yōu)化得到權(quán)衡解的空間域來(lái)看，圖3中費(fèi)用率的變化區(qū)間為3.57% ～66.7%，質(zhì)量評(píng)估誤差介于0.93%～28.25%，一階矩評(píng)估誤差和二階矩評(píng)估誤差分別介于0.86%～28.25%和6.5%～125.5%。由此說(shuō)明，優(yōu)化得到的權(quán)衡解的空間分布很廣，可滿足決策者在不同費(fèi)用率(3.57%～66.7%)前提下追求監(jiān)測(cè)精度最大化(J2～J4最小化)的目標(biāo)。顯然，當(dāng)費(fèi)用率超過(guò)一定程度(J1＞66.7%)時(shí)，其他各目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有減小，亦即監(jiān)測(cè)精度沒(méi)有提高)。

圖3 INPGA求解多目標(biāo)模型得到的優(yōu)化結(jié)果(黑邊三角形點(diǎn)為最優(yōu)解集中的一個(gè)“最優(yōu)監(jiān)測(cè)方案”)Fig.3 The INPGA-based optimization results showing the tradeoffs between different objectives(The black triangle indicates a preselected optimal plume monitoring design based on INPGA method)

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，決策者可以根據(jù)監(jiān)測(cè)費(fèi)用的預(yù)算狀況和污染物監(jiān)測(cè)的精度需要選擇圖3中對(duì)應(yīng)的任一特定解作為相應(yīng)的監(jiān)測(cè)方案。在多數(shù)情況下，決策者均需要全面權(quán)衡各個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即需要兼顧監(jiān)測(cè)費(fèi)用和監(jiān)測(cè)精度。以圖3中黑邊三角形點(diǎn)所示的Pareto解為例(通過(guò)此監(jiān)測(cè)方案得到的污染羽的濃度等值線如圖2中虛線所示)，該點(diǎn)基本處于圖中多目標(biāo)解集中的拐點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的費(fèi)用率為37.5%，其它3個(gè)目標(biāo)函數(shù)即質(zhì)量評(píng)估誤差、一階矩和二階矩評(píng)估誤差分別為3.36%，2.86%和20.17%。在費(fèi)用率J1＜37.5%時(shí)，隨著費(fèi)用率的增加，污染羽監(jiān)測(cè)精度也能明顯得到提升；而在費(fèi)用率J1＞37.5%時(shí)，監(jiān)測(cè)精度之提升速率隨著費(fèi)用率的增加明顯減緩。因此，在需要兼顧監(jiān)測(cè)費(fèi)用和監(jiān)測(cè)精度的情況下，一般說(shuō)來(lái)，決策者可將此三角形點(diǎn)對(duì)應(yīng)的解作為污染監(jiān)測(cè)實(shí)施過(guò)程中的監(jiān)測(cè)方案。

在有些情況下，根據(jù)場(chǎng)地實(shí)際和污染物性質(zhì)，如果污染物對(duì)環(huán)境危害不太大，公眾反應(yīng)也不太敏感，這時(shí)可能更關(guān)注節(jié)省監(jiān)測(cè)費(fèi)用，決策者可根據(jù)費(fèi)用預(yù)算情況選擇最能刻畫污染羽空間分布的Pareto解作為監(jiān)測(cè)方案。而另外有些情況，如污染物的毒性很強(qiáng)，同時(shí)對(duì)公眾影響巨大，這時(shí)最關(guān)注的應(yīng)該是監(jiān)測(cè)精度，而不會(huì)過(guò)分強(qiáng)調(diào)節(jié)省監(jiān)測(cè)費(fèi)用，決策者則需選擇監(jiān)測(cè)精度盡可能高的Pareto解作為監(jiān)測(cè)方案。

由以上不同情況可知，利用多目標(biāo)模型進(jìn)行地下水監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，由INPGA求解一次多目標(biāo)模型就可得到一系列權(quán)衡解，決策者具有充分的選擇權(quán)，可根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的權(quán)衡解作為相應(yīng)的監(jiān)測(cè)方案。這是多目標(biāo)優(yōu)化模型的最顯著優(yōu)勢(shì)。與此相反，如果不采用多目標(biāo)優(yōu)化模型求解上述監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化問(wèn)題，則需要將以上多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型，即保留1個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其它3個(gè)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榻o定閾值的相應(yīng)約束條件，利用單目標(biāo)遺傳算法即可求解。但這種情況下，約束條件下的右端項(xiàng)具有較大的人為性和主觀性，依賴于分析者的個(gè)人專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)利用單目標(biāo)遺傳算法每運(yùn)行一次單目標(biāo)模型只能得到依賴于約束條件右端項(xiàng)的一個(gè)解，決策者沒(méi)有其它選擇，會(huì)有“分析者取代決策者之嫌”。

4 結(jié)論

(1)本文采用模擬-優(yōu)化方法建立了一個(gè)包括監(jiān)測(cè)費(fèi)用、污染物質(zhì)量評(píng)估誤差、污染羽一階矩和二階矩評(píng)估誤差等4個(gè)目標(biāo)函數(shù)的地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。同時(shí)，采用進(jìn)化算法求解，可得到能真實(shí)反映各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之權(quán)衡關(guān)系的一系列Pareto權(quán)衡解，而不用考慮懲罰因子的影響。

(2)污染羽質(zhì)量評(píng)估誤差與一階矩評(píng)估誤差和二階矩評(píng)估誤差均為正相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，二階矩評(píng)估誤差對(duì)取樣點(diǎn)數(shù)目及其位置最為敏感，表明污染羽外圍監(jiān)測(cè)點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)確刻畫污染羽的空間分布具有重要作用。

(3)采用多目標(biāo)模型進(jìn)行地下水污染監(jiān)測(cè)網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，能最大限度地減少分析者的主觀性，同時(shí)，利用進(jìn)化算法求解多目標(biāo)模型，一次求解就能獲得一系列權(quán)衡解集，其設(shè)計(jì)效率高，能給決策者以充分的選擇權(quán)。

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