童沛，樂秀璠

（河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京 210098）

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是確保電力系統(tǒng)運行安全的有效手段之一。合理的無功分布可以提高電壓穩(wěn)定和減少系統(tǒng)損耗。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法包括內(nèi)點法、梯度法、非線性規(guī)劃規(guī)[1-2]等，都各自具有一定的優(yōu)越性和適應(yīng)性，但會對目標(biāo)函數(shù)要求可微，初值條件較高，且易陷于局部極值，求解時間較長，大規(guī)模的優(yōu)化計算無法進行。由于無功優(yōu)化特殊性，傳統(tǒng)的這些優(yōu)化方法顯然不能滿足電力系統(tǒng)發(fā)展需求。

近年來所提出的人工智能優(yōu)化算法逐漸被引入到電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的研究中。這些方法投入到實際應(yīng)用中已取得了良好的效果。文獻[3]提出了自適應(yīng)差分進化算法的無功優(yōu)化。在該算法中，變異策略和3個控制參數(shù)都是依據(jù)經(jīng)驗進行自適應(yīng)的，在約束條件下，電壓波動達到良好的效果，系統(tǒng)有功網(wǎng)損與粒子群算法相比顯著減少。文獻[4]的改進微分進化算法提出了一種提高全局搜索效率的改進策略，在用于電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題上具有準(zhǔn)確、快速、高效的優(yōu)點。

為了達到全局尋優(yōu)，本文的混沌量子免疫算法[10]（Chaos Quantum Immune Algorithm，CQIA）是融合混沌優(yōu)化的遍歷性、規(guī)律性和量子優(yōu)化的種群多樣性的優(yōu)勢，且使用混沌變量來初始化尋優(yōu)量子抗體。在抗體克隆擴增和變異的過程中采用量子算法所特有的種群更新方式量子旋轉(zhuǎn)門，由量子旋轉(zhuǎn)門更新抗體上的量子相位。最后以IEEE30標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算，并與其他的優(yōu)化方法比較結(jié)果，表明該算法的可行性和有效性。

1 無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化在狀態(tài)變量不越限的條件下，通過對控制變量的改變來使系統(tǒng)的有功網(wǎng)損最小。控制變量包括無功補償容量、可調(diào)變壓器分接頭、發(fā)電機的端電壓；狀態(tài)變量包括系統(tǒng)的節(jié)點電壓和發(fā)電機的無功功率輸出。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

系統(tǒng)的有功網(wǎng)損最小為目標(biāo)函數(shù)定義下：

式中，Ploss為系統(tǒng)的有功網(wǎng)損；N1為支路數(shù)；gk為之路k的電導(dǎo)；ui為負荷節(jié)點i的電壓幅值；θij為負荷節(jié)點i，j的電壓相位差。

1.2 約束條件

等式約束條件為潮流方程：

式中，N0是系統(tǒng)中母線總數(shù)的集合；Ni是直接與第i母線連接的母線集合；NPQ是PQ型母線集合；PGi、QGi是發(fā)電機的有功和無功出力；PDi、QDi是負荷的有功和無功；Gij、Bij是節(jié)點ij間的電導(dǎo)和電納。

不等式約束包括控制變量和狀態(tài)變量約束，控制變量約束為：

式中，UGmax、UGmin是發(fā)電機端電壓的上下限；KTmax、KTmin是可調(diào)變壓器變比的上下限；QCmax、QCmin是補償電容無功容量上下限。

狀態(tài)變量約束為：

式中，uimax、uimin是節(jié)點電壓的上下限；QGmax、QGmax是發(fā)電機的無功出力上下限。

將狀態(tài)變量通過罰函數(shù)形式導(dǎo)入目標(biāo)函數(shù)：

式中，λ1、λ2為懲罰系數(shù)；NL為系統(tǒng)節(jié)點總數(shù)；NG為發(fā)電機節(jié)點總數(shù)。

2 混沌量子免疫算法（CQIA）

2.1 混沌系統(tǒng)

混沌優(yōu)化方法[5]是用混沌變量進行優(yōu)化搜索的。由于混沌運動具有隨機性、遍歷性、規(guī)律性等特點，利用類似載波方法將混沌運動的遍歷范圍擴大到尋優(yōu)變量的取值范圍，然后使用混沌變量來尋優(yōu)，保證尋優(yōu)的全局性。產(chǎn)生混沌變量模型為Logistic映射即：

當(dāng)μ=4時系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，混沌變量的取值范圍在[0，1]，但不能是0.25、0.50、0.75。在實際尋優(yōu)問題中需要用式（7）將混沌變量的空間映射到尋優(yōu)變量的解空間上。

式中，Xn為尋優(yōu)變量的解，Xn∈[a，b]。

2.2 免疫優(yōu)化算法

免疫優(yōu)化算法[7]是基于人體免疫機制，采用克隆選擇算子的算法。在算法中，抗原對應(yīng)于需要解決的問題，抗體是問題的解。尋優(yōu)的依據(jù)是抗體的親和力，在實際問題對應(yīng)的是目標(biāo)函數(shù)。親和力高的抗體通過克隆裂變，產(chǎn)生新的抗體，保證了搜索效率。親和力低的抗體通過變異操作，提高了全局搜索能力。

2.3 量子進化

量子進化算法[9]的最小單元是量子位，一個量子位的狀態(tài)可以表示為：

α，β為量子概率幅，滿足α2+β2=1。由式（8）可知一個量子態(tài)可以是0態(tài)、1態(tài)，也可以是任意疊加態(tài)。一個種群第n個個體有m個量子位則可以定義為：

2.4 混沌量子免疫算法

設(shè)含有m個變量的函數(shù)優(yōu)化問題可表示為max f（X1，X2，…，Xm）（最小值問題可以變換）優(yōu)化變量，Xi∈[ai，bi]（1≤i≤m）。在使用CQIA優(yōu)化計算時，抗體對應(yīng)于求解問題的解，抗體親和力由目標(biāo)函數(shù)計算到。

初始優(yōu)化抗體生成，給定m個初始值，用式（6）產(chǎn)生m個混沌變量xi1（1≤i≤m），利用這m個混沌變量初始化種群第一個抗體。然后依次令n=1，2，…，N－1產(chǎn)生另外的N－1個抗體。第n個抗體則如式（10）：

此時Δθki∈ k－λk，λkk，設(shè)第k個克隆母體為：

使用量子旋轉(zhuǎn)門后抗體為：

轉(zhuǎn)角方向不需要與當(dāng)前最優(yōu)抗體進行比較，有利于提高種群多樣性和搜索效率。對于克隆擴增后的抗體中親和力低的抗體使用變異手段，通過施加混沌擾動來改變量子位的相位。設(shè)親和力最低的r個抗體按照升序排列，則第k個母體變異相角幅值為：

3 CQIA算法在無功優(yōu)化中應(yīng)用

將CQIA算法用于電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中，具體步驟如下：

1）根據(jù)系統(tǒng)確定節(jié)點信息、支路信息、控制變量個數(shù)及各變量的取值范圍。由控制變量的初始值和式（10）產(chǎn)生第一代尋優(yōu)量子抗體p1，p2，…，pN。

2）將目標(biāo)函數(shù)F最小值問題轉(zhuǎn)換為最大值問題Ffitness=C/F，其中C為適當(dāng)?shù)某?shù)。調(diào)用軟件包對量子抗體潮流計算得出各抗體的親和力，潮流計算時需要將量子抗體概率幅由單位空間映射到控制變量解空間。

3）在保證種群規(guī)模穩(wěn)定的條件下，依據(jù)親和力的高低進行克隆擴增和變異操作。操作完成后替換上一代親和力低的抗體形成新一代母體，判斷是否滿足終止條件，若滿足則轉(zhuǎn)步驟4），不滿足則轉(zhuǎn)步驟2）。

4）尋找親和力最高的抗體由式（11）輸出結(jié)果。

具體算法流程見圖1。

4 算例分析

本文以IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算，該系統(tǒng)發(fā)電機節(jié)點有6個，分別為1、2、5、8、11、13，其中節(jié)點1為平衡節(jié)點，其余為PV節(jié)點，剩下的為PQ節(jié)點，4個變壓器支路（6-9、6-10、4-12、27-28），3個并聯(lián)電容器節(jié)點（3、10、24），標(biāo)幺值的基準(zhǔn)功率為100 MV·A，PV節(jié)點電壓范圍是［0.9，1.1］，PQ節(jié)點電壓范圍是 !0. 9 5，1.05"，變壓器變比范圍是 !0. 9 5，1.05"，并聯(lián)電容器無功出力范圍是 !－0 . 12，0.36"。算法中的參數(shù)設(shè)置見表1。

圖1 CQIA算法流程圖Fig.1 Flow chart of the CQIA algorithm

系統(tǒng)總負荷Pload=2.834，Qload=1.262。初始條件下設(shè)置變壓器變比和發(fā)電機節(jié)點電壓都為1.0。潮流計算得到∑PG=2.893 86、∑QG=0.980 2、Ploss=0.059 86。3處PQ節(jié)點發(fā)生了越限，V26=0.933、V29=0.941、V30=0.927。為了驗證CQIA算法的正確性和有效性，分別與改進免疫算法[11]（IIA）、改進量子遺傳算法[12-13]（IQGA）進行比較。表2給出了以上3種方法對系統(tǒng)進行30次仿真。

表2 仿真結(jié)果統(tǒng)計Tab.2 Statistics of results by three algorithms

表1 參數(shù)設(shè)置Tab.1 Simulation parameters

由表2統(tǒng)計結(jié)果可以看出，所用的CQIA算法優(yōu)化后的系統(tǒng)有功網(wǎng)損比另外2種算法的有功網(wǎng)損得到了減少。IIA和IQGA的有功網(wǎng)損分別為0.048 85和0.048 50，而CQIA的有功網(wǎng)損為0.048 23，網(wǎng)損下降率較前2種算法明顯增大。在收斂速度上看，CQIA在平均43次迭代時收斂到穩(wěn)定值，而IIA和IQGA平均收斂代數(shù)分別為48和80，收斂速度要慢于CQIA，因此CQIA的收斂性比另外2種方法要好。

圖2是3種算法仿真過程中同代最優(yōu)個體平均有功網(wǎng)損曲線。從曲線的收斂速度和收斂值可知CQIA算法不僅在收斂速度上表現(xiàn)較快，而且在系統(tǒng)有功網(wǎng)損上也能夠很好地減少，說明該算法適合電力系統(tǒng)無功優(yōu)化。

圖2 IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)平均網(wǎng)損收斂曲線Fig.2 The convergence curves of average active power loss for the IEEE-30 bus system

圖3 是3種算法優(yōu)化系統(tǒng)節(jié)點電壓平均幅值曲線，由圖3可知經(jīng)CQIA算法優(yōu)化后節(jié)點電壓均在幅值范圍內(nèi)，均沒有發(fā)生越限。曲線的平穩(wěn)度較IIA和IQGA算法后更好，所用的算法用于無功優(yōu)化后，系統(tǒng)的節(jié)點電壓均保持良好的水平。

圖3 IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)平均電壓幅值曲線Fig.3 The average voltage magnitude curves for the IEEE-30 bus system

5 結(jié)論

本文所用的混沌量子免疫算法綜合考慮了免疫優(yōu)化和混沌優(yōu)化各自在空間搜索的優(yōu)勢以及量子優(yōu)化的快速高效性。在進化過程中采用量子優(yōu)化，保持了種群多樣性，引入的混沌變量搜索策略，保證算法的全局搜索能力進一步提高。由仿真結(jié)果可知CQIA算法收斂速度快，全局尋優(yōu)能力突出，同時可以維持系統(tǒng)電壓處在一個良好范圍內(nèi)，能夠有效地用于電力系統(tǒng)無功優(yōu)化。

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