胡先偉 李 明

(西安電子科技大學(xué) 西安 710071)

1 引言

小波變換相對傅里葉變換具有更強的時頻分析能力，它在處理非平穩(wěn)信號中表現(xiàn)出了其他數(shù)學(xué)分析方法所不具有的優(yōu)點，已逐漸發(fā)展成為信息處理、多媒體等領(lǐng)域中的重要理論基礎(chǔ)。但由于它計算復(fù)雜度較高，單純軟件算法實現(xiàn)是無法滿足實際工程中的實時處理需要的，而小波變換算法的硬件實現(xiàn)能將其推向更廣泛的實際應(yīng)用領(lǐng)域。

目前，雖然小波理論已經(jīng)漸近成熟，但小波變換硬件實現(xiàn)的應(yīng)用較少。文獻［1］基于小波變換采用中值濾波的方法進行圖像去噪，采用硬件計算閾值，需要估計噪聲方差，計算量大，需要消耗很多資源。由于FPGA 是基于查找表的，具有豐富的寄存器資源，本文設(shè)計的可配置IP 軟核，用戶可以根據(jù)實際使用需要進行相應(yīng)的配置，用于信號降噪或數(shù)據(jù)壓縮;同時本文設(shè)計使用的小波系數(shù)處理模塊，可以通過軟件仿真或先驗經(jīng)驗預(yù)設(shè)閾值，方便用戶更改設(shè)計，節(jié)約硬件資源，并具有較好的降噪效果。

2 離散小波變換原理

定義連續(xù)小波變換為［2］:

式中a ＞0 是尺度因子，b 是位移，可正可負?？紤]函數(shù):

通常，將連續(xù)小波變換中連續(xù)變化的尺度因子和位移因子離散化，即得到離散小波變換。離散化公式分別取做，這里j ∈Z，擴展步長a0≠1 是固定值，對應(yīng)離散小波變換函數(shù)ψj，k(t)即

而離散化小波變換系數(shù)則可表示為:

其重構(gòu)公式為:

c 是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。

3 小波分解單元設(shè)計

圖1 為離散小波Mallat 算法分解框圖［3］。

圖1 離散小波Mallat 算法分解框圖

圖1 為兩級Mallat 算法分解示意圖:待分解的輸入序列進入分解濾波器組后，經(jīng)過二抽取，得到一級小波分解的高頻細節(jié)信號和低頻概貌信號，如有需要，再將作為下一級輸入信號進行繼續(xù)分解，得到低頻概貌和高頻細節(jié)，如此組成原始輸入序列的多分辨率分解。二抽取環(huán)節(jié)就是將輸入序列每隔一個輸出一次，組成長度縮短一半的新序列。

圖2 為一級小波分解流程圖:輸入數(shù)據(jù)進入到小波分解單元后，先進行輸入數(shù)據(jù)邊界延拓，延拓后的數(shù)據(jù)在控制信號的作用下進入到小波分解濾波器組，數(shù)據(jù)經(jīng)過小波分解高通濾波器處理后得到高頻細節(jié)系數(shù)，對數(shù)據(jù)進行二抽取處理后存儲到RAM中，供用戶根據(jù)需要進行處理;經(jīng)過小波分解低通濾波器處理后的低頻概貌系數(shù)經(jīng)過二抽取處理后，直接送到下一級分解濾波器組繼續(xù)分解，至此，一級小波分解結(jié)束、如此重復(fù)，直到達到預(yù)定的分解層數(shù)位置。

圖3 為FPGA 小波分解模塊框圖。

圖3 FPGA 小波分解模塊框圖

輸入輸出管腳定義:

·data［9..0］:輸入數(shù)據(jù)總線，寬度為10bit(為原始8 位輸入符號位擴展后);

·clk1/ clk2:小波分解數(shù)據(jù)輸入時鐘/下采樣輔助時鐘;

·reset:復(fù)位信號;

·l_out/h_out［9..0］:小波分解低頻/高頻系數(shù)下采樣前輸出數(shù)據(jù)總線;

·l_sampout/ h_sampout［9..0］:小波分解低/高頻系數(shù)下采樣后數(shù)據(jù)總線;

小波分解模塊中涉及的功能單元介紹:

a.邊界延拓單元:小波變換算法中，假定數(shù)據(jù)是雙向無限的，且嚴(yán)格重抽樣的自帶信號樣本總數(shù)不會增加。而在實際處理中，數(shù)據(jù)一定是有限的，因此必須對邊界進行邊界延拓，以減弱邊界效應(yīng)帶來的誤差。本文中對數(shù)據(jù)頭采用鏡像對稱延拓技術(shù)初始化處理數(shù)據(jù)。

b.分解濾波器單元:本文中濾波器采用小波分解FIR 濾波器，濾波器系數(shù)根據(jù)所用小波預(yù)設(shè)濾波器系數(shù)擴大128 倍做量化處理，最后對濾波器輸出結(jié)果截取處理以得到正確結(jié)果。

c.數(shù)據(jù)移位單元:由于常用小波濾波系數(shù)較小，幾乎全部位于0.01 到1 之間。系統(tǒng)設(shè)計時，為了方便FPGA 數(shù)據(jù)的處理，將其擴大128 倍。因此在濾波結(jié)束后應(yīng)右移7 位，以得到正確結(jié)果。

d.二抽取單元:本文中二抽取的實現(xiàn)采用分頻時鐘和D 觸發(fā)器來實現(xiàn):用分頻后的時鐘對輸出數(shù)據(jù)進行采樣得到，分頻時鐘使用FPGA 內(nèi)部的PLL分頻得到。

小波分解模塊中，各級小波的分解是即時進行的:只要上一級小波分解輸出結(jié)果有效，下一級分級立即進行;每一級分解產(chǎn)生的小波高頻系數(shù)送至緩存單元保存，低頻系數(shù)進入下一級繼續(xù)分解。

4 小波重構(gòu)單元設(shè)計

圖4 為離散小波重構(gòu)算法框圖［4］。

圖4 離散小波重構(gòu)算法框圖

圖4 為兩級離散小波重構(gòu)算法。小波分解后的小波系數(shù)經(jīng)過高頻細節(jié)部分和低頻概貌部分，經(jīng)過2 插值后進入小波重構(gòu)濾波器組，處理后的數(shù)據(jù)經(jīng)過相加后作為上一級重構(gòu)低頻概貌部分，如此反復(fù)，直到完成小波的重構(gòu)。

圖5 為小波重構(gòu)流程圖:以第三級小波重構(gòu)為例說明一級小波重構(gòu)流程為:當(dāng)進行第三級小波重構(gòu)時，首先判斷低頻概貌數(shù)據(jù)ca4 是否有效:如果有效，輸出讀使能信號給緩存單元讀出存儲在緩存單元中的高頻細節(jié)系數(shù)cd4，將兩路數(shù)據(jù)同步對齊后進行二插值處理，將兩路數(shù)據(jù)送入重構(gòu)濾波器組進行重構(gòu)，重構(gòu)后的兩路數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)和運算后得到重構(gòu)到的第三級低頻概貌系數(shù)ca3;準(zhǔn)備好后再按照上述步驟進行下一級重構(gòu)，如此反復(fù)，直到小波重構(gòu)完成。

圖6 為FPGA 內(nèi)部小波重構(gòu)模塊框圖。輸入輸出管腳定義:

·ca［9..0］:上一級重構(gòu)輸出低頻系數(shù)數(shù)據(jù)總線;

·cd［9..0］:經(jīng)過閾值處理后的高頻系數(shù)數(shù)據(jù)總線;

·clk1/2:小波重構(gòu)數(shù)據(jù)輸入時鐘/輸入數(shù)據(jù)上采樣輔助時鐘;

·reset:復(fù)位信號;

·ca_cha/ cd_cha［9..0］:經(jīng)過2 插值后的低頻/高頻系數(shù)輸出數(shù)據(jù)總線;

·l_fir_out/ h_fir_out［9..0］:低通/高通重構(gòu)濾波器輸出數(shù)據(jù)總線;

·idwt_out［9..0］:一層小波重構(gòu)輸出數(shù)據(jù)總線;

小波重構(gòu)模塊中涉及的功能單元介紹:

a.二插值單元:實現(xiàn)每采樣一個數(shù)據(jù)插入一個零值，輸入數(shù)據(jù)需通過二插值后才能送至重構(gòu)濾波器進行重構(gòu)，二插值過程同樣使用分頻時鐘做時鐘時能實現(xiàn)。

b.重構(gòu)濾波器單元:濾波器采用小波重構(gòu)FIR濾波器，濾波器系數(shù)根據(jù)所用小波預(yù)設(shè)。濾波器系數(shù)先乘以128 倍做量化處理，最后對濾波器輸出結(jié)果作截取處理以實現(xiàn)除以128 作為濾波結(jié)果。

c.數(shù)據(jù)和單元:高低通濾波器輸出信號相加得到重構(gòu)信號，其中數(shù)據(jù)加使用Verilog 自帶的“+”運算。

小波重構(gòu)中關(guān)鍵注意數(shù)據(jù)對齊:重構(gòu)用高頻系數(shù)與低頻系數(shù)必須同步后再送入下一級重構(gòu)濾波器，否則將造成結(jié)果錯誤。圖7 為編譯后該離散小波變換IP 軟核的資源占用示意圖，仿真中使用FPGA 芯片為Altera 公司Stratix 系列EPS602F1020I4。

圖7 離散小波變換IP 軟核資源占用圖

從圖7 可知該芯片所有48352 個LE 資源中，10%用于實現(xiàn)組合邏輯;8%用于實現(xiàn)寄存器，即時序邏輯，F(xiàn)PGA 的整體邏輯使用率小于1%，資源占用率小。

5 離散小波變換IP 軟核在信號降噪中的應(yīng)用［5］

本文離散小波變換IP 軟核應(yīng)用于信號降噪的硬件架構(gòu)框圖如8 所示。

圖8 離散小波降噪硬件結(jié)構(gòu)框圖

a.輸入接口單元設(shè)計

主要作用是完成輸入數(shù)據(jù)的符號位擴展和數(shù)據(jù)緩沖等預(yù)處理，并在控制信號的作用下將數(shù)據(jù)送入小波分解單元進行處理。

b.存儲單元設(shè)計

主要用于存儲小波分解產(chǎn)生的中間數(shù)據(jù)，用于小波系數(shù)的閾值化處理和重構(gòu)。一個獨立的存儲單元主要由雙口RAM、寫地址產(chǎn)生單元和讀地址產(chǎn)生單元組成。雙口RAM 用于存儲小波分解產(chǎn)生的高頻系數(shù);寫地址產(chǎn)生單元:當(dāng)小波分解輸出高頻系數(shù)有效時，產(chǎn)生寫地址，將數(shù)據(jù)寫入RAM;讀地址產(chǎn)生單元:當(dāng)上一級小波重構(gòu)低頻系數(shù)輸出有效時，開始從RAM 讀出高頻系數(shù)做閾值化處理并用于下一級的小波重構(gòu)。

c.控制單元設(shè)計

控制單元是整個設(shè)計的大腦，負責(zé)產(chǎn)生各個單元正確有序運行的控制時序。本文設(shè)計中，控制單元主要包括了讀寫使能產(chǎn)生單元，作用主要在于控制數(shù)據(jù)存儲和讀寫，用以使小波分解和重構(gòu)能夠有序有效的進行，得到正確的數(shù)據(jù)結(jié)果。

d.系數(shù)處理單元設(shè)計

本文設(shè)計采用軟硬閾值折衷法。定義

上式為軟硬閾值折衷法小波系數(shù)估計器。特別地，當(dāng)a 分別取0 和1 時，上式成為軟硬閾值和軟閾值估計方法。對于一般0 ≤a ≤1 來講，該方法估計出來的數(shù)據(jù)w^t 的大小介于軟硬閾值之間，故稱之為軟硬閾值折衷法，本文中加權(quán)因子a 取值為0.5。

傳統(tǒng)的通用閾值準(zhǔn)則降噪方法，對所有的高頻細節(jié)系數(shù)采用同一個閾值進行閾值化處理，忽略了不同分解尺度上高頻細節(jié)系數(shù)的差異性。本文硬件設(shè)計中采用啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則，分層化閾值估計。結(jié)合噪聲和有用信號在不同分解尺度上的變化規(guī)律，對每一層高頻系數(shù)做一次閾值估計，能夠很好的保留真實信號部分，更加有效的剔除信號中的噪聲成分。模塊中的閾值估計采用Matlab 中的降噪閾值估計函數(shù)thselect 完成。

具體降噪流程為:系數(shù)處理(見圖9)模塊開始工作后，先將進入模塊的小波系數(shù)值進行符號位判斷(判斷正負)，求取小波系數(shù)與預(yù)設(shè)的閾值的差值，再判斷差值與處理前小波系數(shù)的符號位是否相等，若相等，則可知原小波系數(shù)的絕對值大于預(yù)設(shè)的閾值，將小波系數(shù)與差值的和右移一位，實現(xiàn)閾值化處理;若符號位不相等，則可知原始小波系數(shù)小于閾值，認為該小波系數(shù)由噪聲產(chǎn)生，直接置零。最后通過對輸出數(shù)據(jù)進行截取得到新估計的小波系數(shù)結(jié)果［6］。

圖9 系數(shù)處理流程圖

6 仿真與驗證

以下為離散小波變換降噪模塊整體效果仿真，仿真中使用了Matlab 自帶信號Heavysine、Doppler信號，測試數(shù)據(jù)中所添加噪聲為高斯白噪聲，將FPGA 運行得到的結(jié)果以文本形式保存，再通過Matlab圖形化顯示出來，并將降噪前后波形做了對比。圖10、圖11 為仿真降噪結(jié)果。

由以上仿真結(jié)果可以看出，該信號降噪模塊對Heavysine 信號以及Doppler 信號處理后，降噪后的信號信噪比都有了明顯的不同程度的提高，證明了該離散小波變換IP 軟核應(yīng)用于信號降噪是有效的。相比于Matlab 分層閾值法仿真效果，本文IP 軟核降噪后效果略差，主要是因為FPGA 邏輯運算中由濾波器系數(shù)擴大取整、數(shù)據(jù)迭代截斷運算造成的。

7 結(jié)論

隨著信號處理領(lǐng)域的不斷發(fā)展，離散小波變換的硬件實現(xiàn)是使它走向更廣泛應(yīng)用的需要。本文設(shè)計的離散小波變換IP 軟核應(yīng)用于非平穩(wěn)信號降噪中取得了不錯的降噪效果，而且可移植性好，可以根據(jù)實際工程需要配置系數(shù)處理模塊，不論用于圖像壓縮或信號處理，在工程實踐中具有一定的應(yīng)用價值。

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［2］潘泉，張磊，孟晉麗.小波濾波方法及應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005，9.

［3］程正興，楊守志，馮曉霞.小波分析的理論、算法、進展和應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007，7.

［4］齊敏，黃世震.基于Matlab 的小波去噪算法研究［J］.電子器件，2012，35(1) ：103-106.

［5］Wavelet denoising based on four improved functions for threshold estimation［J］.Journal of Mathematics.2006，26(5) ：473-477.

［6］周偉.Matlab 小波分析高級技術(shù)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2006.