周新云，李鍛能 ，姚松亮，鄭秀宏

ZHOU Xin-yun,LI Duan-neng,YAO Song-liang,ZHENG Xiu-hong

（廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣州 510520）

0 引言

串并混聯(lián)的碼垛機(jī)器人結(jié)合了串聯(lián)機(jī)器人工作范圍大的優(yōu)點(diǎn)和并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)剛度大、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)精度高以及位置反解簡(jiǎn)單和力反饋控制方便的優(yōu)點(diǎn)，適合碼垛這種運(yùn)行負(fù)載大、運(yùn)動(dòng)范圍廣的工作，逐漸成為了碼垛機(jī)器人的一個(gè)研究方向[2～7]。機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)是實(shí)現(xiàn)機(jī)器人閉環(huán)控制不可缺少的條件。目前，機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法有：幾何法、數(shù)值法、代數(shù)符號(hào)法及解的存在與證明等。

針對(duì)混聯(lián)碼垛機(jī)器人的結(jié)構(gòu)，如圖1所示，通過幾何法，利用構(gòu)造相似三角形的方法，快速的得到了碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。同時(shí)，工作空間范圍也是機(jī)器人的一個(gè)重要指標(biāo)，通過求解不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)空間，證明了，這種求解方法，能夠適應(yīng)不同的工作范圍。

圖1 碼垛機(jī)器人實(shí)體

1 結(jié)構(gòu)分析

目前碼垛機(jī)器人從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上可以分為兩大類。一種是以ABB公司的IRB660為代表的傳統(tǒng)串聯(lián)關(guān)節(jié)型機(jī)器人，這種機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)通過減速器與電機(jī)聯(lián)接，構(gòu)成所謂的串聯(lián)機(jī)器人。另一種是以FUJI公司研制的Ace系列，主體結(jié)構(gòu)應(yīng)用了平行四邊形機(jī)構(gòu)，構(gòu)成混聯(lián)聯(lián)機(jī)構(gòu)，其驅(qū)動(dòng)采用滾珠絲桿和滾動(dòng)導(dǎo)軌這類線性驅(qū)動(dòng)元件，依靠機(jī)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的水平與豎直的運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器的合成運(yùn)動(dòng)[8]。

圖2 碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

斜導(dǎo)面直線驅(qū)動(dòng)混聯(lián)碼垛機(jī)器人類似于第二類機(jī)器人如圖1所示，但不同的是下方驅(qū)動(dòng)的導(dǎo)軌與水平方向保持一定的傾斜角β，這樣可減小了斜道面絲桿軸向力的大小，使執(zhí)行點(diǎn)的工作范圍可變。同時(shí)上方驅(qū)動(dòng)采用可以改變受力方向的絲桿套筒結(jié)構(gòu)，及直線驅(qū)動(dòng)，這樣使得桿件的受力在一條直線上，驅(qū)動(dòng)里傳遞效率最高，而且整個(gè)工作過程絲桿套筒處于受拉的狀態(tài)，符合桿件合理受力方式。碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)圖如圖2所示。包括執(zhí)行點(diǎn)A、小臂AC、大臂BD，同時(shí)構(gòu)建以大臂小臂為邊的平行四邊形BDCE。OP為絲桿，CE為套筒，OP、CE構(gòu)成絲桿套筒機(jī)構(gòu)，電機(jī)1在O處驅(qū)動(dòng)絲桿。D點(diǎn)在NM斜道面上滑動(dòng)，D點(diǎn)由平行于NM的絲桿傳動(dòng)，由電機(jī)2驅(qū)動(dòng)，整個(gè)斜面平臺(tái)及其上部繞y1軸旋轉(zhuǎn)，由電機(jī)3驅(qū)動(dòng)。整個(gè)機(jī)構(gòu)構(gòu)成一個(gè)柱坐標(biāo)。而執(zhí)行端通過平行四邊形機(jī)構(gòu)保證其始終水平。

只考慮斜面平臺(tái)上部的機(jī)構(gòu)，可知桿件數(shù)n=6，低副個(gè)數(shù)Pl=8，高副個(gè)數(shù)Ph=0。

因此，自由度為：

在斜面平臺(tái)下方還有1個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，因此，整個(gè)機(jī)構(gòu)的自由度為3。

2 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

根據(jù)斜導(dǎo)面式混聯(lián)碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，其機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)存在著耦合，本文提出了采用構(gòu)造相似三角形的方式來推導(dǎo)其正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[9]。

首先，求機(jī)構(gòu)在平面坐標(biāo)系O-xy中執(zhí)行點(diǎn)的坐標(biāo)。

如圖1所示，O、E、C在同一條直線上，此方向進(jìn)給量由電機(jī)1以點(diǎn)O原點(diǎn)控制輸入。

當(dāng)OE=0時(shí)，此時(shí)：

y為OE方向進(jìn)給量。

設(shè)OE與x軸的夾角為θ；取OE上一動(dòng)點(diǎn)F，使△FED ∽△DBA；則三角形相似比i：

其中：BA=e，ED=c；可求出EF長(zhǎng)度為：

其中：EF=f，DB=d；即E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

如圖2所示，DH垂直于x軸于H。電機(jī)2驅(qū)動(dòng)斜面絲桿，使導(dǎo)板D沿平行于x軸方向運(yùn)動(dòng)。

設(shè)，當(dāng)H與O點(diǎn)重合時(shí)：

其中x為OH方向進(jìn)給量；

則D點(diǎn)的坐標(biāo)為：

其中DH=h。

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為Ax，Ay；由i=AD/DF ，則A點(diǎn)坐標(biāo)為：

在式(1)中sinθ,cosθ 為未知數(shù)。

通過四邊形OHDE可求得θ與x，y的關(guān)系。知ED=c，E點(diǎn)和D的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，即θ與x，y存在著如下關(guān)系：

其次，求執(zhí)行點(diǎn)A點(diǎn)在O-x1y1中的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)變換，有A點(diǎn)坐標(biāo)為：

最后，求機(jī)構(gòu)在空間坐標(biāo)系中執(zhí)行點(diǎn)與驅(qū)動(dòng)量之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

在平面坐標(biāo)系O1-x1y1的原點(diǎn)處，過原點(diǎn)作坐標(biāo)軸x2垂直于該平面，且z2軸取y1軸，y2軸取x1軸，由x，y，z軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系。設(shè)電機(jī)3轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α。則空間坐標(biāo)系O-x2y2z2中A點(diǎn)坐標(biāo)為：

式（1）～式（4）式便是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解，當(dāng)已知各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，便可求得末端執(zhí)行器的位置。

確定電機(jī)1和電機(jī)2的運(yùn)動(dòng)范圍：當(dāng)取電機(jī)1的運(yùn)動(dòng)范圍為[xmax,xmin]時(shí)，由△DOE三邊的關(guān)系可知，y滿足的條件為：

通過上面的推導(dǎo),可以得出該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)論：碼垛機(jī)器人執(zhí)行點(diǎn)在x軸的運(yùn)動(dòng)與三個(gè)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)量有關(guān)；y軸的運(yùn)動(dòng)與三個(gè)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)量有關(guān)；z軸的運(yùn)動(dòng)與電機(jī)1和電機(jī)2的驅(qū)動(dòng)量有關(guān)。本文研究的碼垛機(jī)器人各軸相互耦合，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解無法通過上序求得的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解。運(yùn)動(dòng)正解通過在OE上取動(dòng)點(diǎn)F，構(gòu)造相似三角形的方法，使碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析正向求解問題得到簡(jiǎn)化；同時(shí)，如果需要改變AB的桿長(zhǎng)來增大工作空間，以上的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析依然成立。這樣使這種碼垛機(jī)器人的應(yīng)用更靈活。這種方法也可以應(yīng)用于其他類似的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

3 工作空間分析

機(jī)器人的工作空間是指其末端能夠到達(dá)的空間點(diǎn)的集合，它是機(jī)器人學(xué)中一重要的研究領(lǐng)域，是評(píng)價(jià)機(jī)器人幾何特性的重要指標(biāo)。另外，機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)主要根據(jù)末端參考點(diǎn)所要求達(dá)到的工作區(qū)域來確定，因此工作空間的分析顯得非常重要。

由于碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間為一個(gè)柱坐標(biāo)，因此這里只分析在O-xy平面的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)范圍，根據(jù)上節(jié)求出的運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用MATLAB，先分析單獨(dú)驅(qū)動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡；然后，分析在傾斜角β取不同值時(shí)的工作平面的位置；最后，分析在整體機(jī)構(gòu)不變的情況下改變AB桿長(zhǎng)來求得工作平面的位置。

給定參數(shù)值：取電機(jī)1運(yùn)動(dòng)范圍為x=[180,340]，相關(guān)參數(shù)：a=233，b=540，c=150，d=350，e=300，h=142，β=30 。則由式（5）得：電機(jī)2的運(yùn)動(dòng)范圍為[209,379]。取本碼垛機(jī)器人電機(jī)2的運(yùn)動(dòng)范圍取[220,370]。

電機(jī)1單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡：當(dāng)電機(jī)2處于y=220、y=270、y=320、y=370這四個(gè)位置，電機(jī)1給進(jìn),得到執(zhí)行端在Ox1y1平面的運(yùn)動(dòng)曲線如圖3所示。

圖3 電機(jī)1單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)曲線（β=30 ）

電機(jī)2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡：當(dāng)電機(jī)1處于x=180、x=230、x=280、x=340這四個(gè)位置，電機(jī)2給進(jìn)時(shí),得到執(zhí)行端在Ox1y1平面的運(yùn)動(dòng)曲線如圖4所示。

圖4 電機(jī)2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)曲線（β=30 ）

由圖3、圖4可知碼垛機(jī)器人各軸的運(yùn)動(dòng)都是非線性的，且各軸都相互耦合。

在傾斜角β取不同值時(shí)碼垛機(jī)器人在過z軸的平面的位置：當(dāng)AB=500，分別取β=0 ，β=30 時(shí)碼垛機(jī)器人在過z軸的平面上的最大工作范圍如圖5所示。

圖5 不同β值下運(yùn)動(dòng)平面仿真結(jié)果

由圖5可知，與β=0 相比，β=30 時(shí)，將工作平面繞圖1的O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)30 ，使得工作空間整體下移。

在AB桿長(zhǎng)取不同值時(shí)碼垛機(jī)器人在過z軸的平面的位置：當(dāng)β=30 ，取AB=500和AB=700時(shí)碼垛機(jī)器人在過z軸的平面上的最大工作范圍如圖6所示。

圖6 不同AB桿長(zhǎng)下的運(yùn)動(dòng)平面仿真結(jié)果

由圖6可知，當(dāng)傾斜角β不變時(shí)，通過增加AB桿的長(zhǎng)度，會(huì)使碼垛機(jī)器人在過z軸的平面上的工作范圍下移，并且工作范圍增大。這樣，在系列產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，可通過改變AB的桿長(zhǎng)，來設(shè)計(jì)出不同工作范圍的碼垛機(jī)器人，同時(shí)，由于AB桿長(zhǎng)不同的碼垛機(jī)器人，在運(yùn)動(dòng)算法上相同，無需大幅度的改變結(jié)構(gòu)，有利于產(chǎn)品的系列化。

圖7 碼垛機(jī)器人的工作空間

文章最后運(yùn)用Solidworks的插入->曲線->通過XYZ點(diǎn)的曲線，來將碼垛機(jī)器人在過z軸的平面上的最大工作范圍的邊界點(diǎn)導(dǎo)入到Solidworks中，同將工作平面繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到碼垛機(jī)器人在參數(shù)AB=500，β=30 時(shí)的工作空間，如圖7所示。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)一種新型斜導(dǎo)面式碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析和研究，采用了巧妙的構(gòu)造相似三角形的方法來求得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。運(yùn)用Matlab分析了電機(jī)1和電機(jī)2單獨(dú)驅(qū)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。采用這種斜導(dǎo)面形式，采用一個(gè)角度β可變的變量設(shè)計(jì)法，可以的碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間范圍進(jìn)行優(yōu)化，增加了碼垛機(jī)器人的靈活性。

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