韓莉莉，許軍輝，寧 祎，朱邦河

HAN Li-li,XU Jun-hui,NING Yi,ZHU Bang-he

（河南工業(yè)大學(xué)，鄭州 450007）

0 引言

空間機(jī)器人受工作環(huán)境的限制，對重量和構(gòu)形比較敏感。同時，空間作業(yè)要求機(jī)器人在動作和工作空間上具有一定的柔性，傳統(tǒng)的機(jī)器人一般通過桿傳動，使機(jī)器人的重量較大，工作空間柔性不足。柔索驅(qū)動機(jī)器人的出現(xiàn)，為解決這一問題提供了有效手段。它用柔索代替?zhèn)鹘y(tǒng)并聯(lián)機(jī)器人的連桿，從而在很大程度上降低了機(jī)器人的重量，并增加了在構(gòu)型上的柔性。自20世紀(jì) 80 年代以來，柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人一直是眾多學(xué)者關(guān)注的研究熱點(diǎn)之一。國內(nèi)外已開展了多項關(guān)于柔索驅(qū)動的研究，并取得了一定的進(jìn)展。

柔索驅(qū)動建模的難點(diǎn)在于柔索的建模。SHIANG等把柔索看做無質(zhì)量的直線單元對三自由度索系并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了數(shù)值仿真[1]，PHAM等利用數(shù)值仿真與數(shù)學(xué)分析相結(jié)合的方式研究了三自由度柔索驅(qū)動機(jī)器人[2]。到目前為止，柔索驅(qū)動的動力學(xué)建模還沒有形成一套完全令人滿意的方法。本文利用ADAMS通過仿真實驗建立了柔索模型和空間三自由度柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)分析和軟件仿真相結(jié)合的方法驗證了該模型的穩(wěn)定性和合理性，提高了效率，簡化了計算。本文所建立的柔索驅(qū)動機(jī)器人數(shù)學(xué)模型在柔索建模方法上具有一定的通用性，為進(jìn)一步研究柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)優(yōu)化及控制奠定了基礎(chǔ)。

1 運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)分析

1.1 建立模型

并聯(lián)柔索機(jī)器人一般由驅(qū)動器、柔索傳動系統(tǒng)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成。它用柔索代替?zhèn)鹘y(tǒng)并聯(lián)機(jī)器人的連桿，從而在很大程度上降低了操作臂重量。由于柔索只能沿其軸向承受拉力，不能承受壓力，所以n根柔索并不能實現(xiàn)n個自由度位置的完全約束，至少需要n + 1條才能實現(xiàn)位置的完全約束，多出的1條或者多條用來保證機(jī)構(gòu)中所有驅(qū)動柔索處于張緊狀態(tài)。

本文研究的空間三自由度柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人，采用四根柔索驅(qū)動，其結(jié)構(gòu)模型示意圖如圖1所示，從圖1中可知其結(jié)構(gòu)參數(shù)共有四個，分別設(shè)為：

圖1 三自由度球關(guān)節(jié)模型示意圖

1）球關(guān)節(jié)支撐中心到動平臺的高度為h；

2）底座固定平臺的半徑為R；

3）運(yùn)動平臺的半徑為r；

4）鋼絲繩與底座固定平臺和運(yùn)動平臺的聯(lián)接點(diǎn)分別為Ai,Bi,i∈{1,2,3,4}。

1.2 靜力學(xué)與運(yùn)動學(xué)分析

在進(jìn)行仿真之前，首先要解決的是運(yùn)動學(xué)正解問題[3,4]。本文研究對象為三自由度柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人（如圖1所示)，由4根柔索驅(qū)動。柔索的兩端分別連接在動平臺和底座上的點(diǎn)Bi和Ai(i=1，2，3，4)處?！艫和∑B分別為固聯(lián)在底座的基坐標(biāo)系和動平臺的動坐標(biāo)系。為了簡化計算，做如下假設(shè)∶

1）柔索與動平臺和底座的連接為理想球鉸;

2）除柔索之外，其他部件均為理想剛性;

3）柔索為線彈性。

操作臂的位置和姿態(tài)可以定義為齊次變換矩陣：

式中：R∈ R3×3和P∈ R3×1分別表示動坐標(biāo)系相對基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣和動坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的位置矢量。姿態(tài)矩陣則是具有9個元素的方向余弦矩陣，因此可用3個獨(dú)立變量來表示姿態(tài)矩陣。這三個變量分別取繞基坐標(biāo)三個軸的轉(zhuǎn)角。則可以得到運(yùn)動平臺相對于轉(zhuǎn)動前的姿態(tài)變換矩陣，如式（1）所示：

其中，R(X,a),R(Y',b)和R(Z'',g)分別是繞X,Y',Z''軸的基本旋轉(zhuǎn)變換矩陣，ca=cosa,sa=sin a。同理可以得到其他旋轉(zhuǎn)順序的旋轉(zhuǎn)矩陣。

這里設(shè)動平臺中心位置坐標(biāo)為 c[ X,Y,Z]，那么就可以將動平臺中的位姿表示為：

根據(jù)以上分析，下面推導(dǎo)其逆運(yùn)動學(xué)方程，其逆運(yùn)動學(xué)方程是指在已知機(jī)械臂末端位姿的條件下求解各驅(qū)動繩索的長度。

繩索的長度矢量用Li表示，則：

其中ai和bi分別表示第i（i=1，2，3，4）根柔索在∑A和∑B中連接點(diǎn)的矢量表示：

繩索的長度：

對式（3）求導(dǎo)可得到柔索的速度：

1.3 動力學(xué)分析

動平臺的位置可以通過歐拉方向角來唯一確定，令 x=[a,b,g]T根據(jù)拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

其中，t=[t1,t2,t3,t4]T為柔索的張力矢量。JT系統(tǒng)的雅可比矩陣：

式(7)中riA和rBi分別為第i根柔索在坐標(biāo)系∑A和∑B中的矢徑表示：

其中sa=sina ，ca=cosa。

2 仿真及結(jié)果分析

2.1 柔索可靠性分析

由于系統(tǒng)中加入了柔索，柔索只能受拉力而不能受壓力、彈性變形和非線性力學(xué)特性，使得并聯(lián)柔索機(jī)器人的建模變得相對困難。所以柔索模型的正確性在仿真中至關(guān)重要，本文基于ADAMS利用有限分割法把柔索看作是有限個有質(zhì)量的小圓柱，通過bushing力連接來建立柔索模型。首先，我們要對一根鋼絲繩進(jìn)行模擬仿真實驗，來確定柔索模型的相關(guān)參數(shù)。對于單根鋼絲繩的動力學(xué)仿真模型，其阻尼比主要受以下三個方面的影響[5～7]：

1）鋼絲繩的自由擺動姿態(tài)接近實際仿真情況，來確定阻尼比的值；

2）當(dāng)鋼絲繩受力彎曲時，另一端連接到基底的受力應(yīng)為0（鋼絲繩只能承受拉力，不能承受壓力）；

3）在拉力的作用下，鋼絲繩的伸長量應(yīng)與實際伸長量接近。

鋼絲繩模型的參數(shù)如下：有100段半徑為1mm長度為10mm的圓柱組成。其參數(shù)設(shè)置如下圖：

系統(tǒng)重力加速度為9.8N/kg，下面我們對這單根鋼絲繩進(jìn)行仿真來證明這種方法建立的鋼絲繩模型是符合實際情況的。

仿真1：讓鋼絲繩在重力作用下自由擺動。仿真時間為5s，仿真步數(shù)為1000。鋼絲繩只在重力作用下的自由擺動姿態(tài)接近實際情況。

仿真2：把鋼絲繩的一端固定，另一端用滑動副連接并施加100m/s的速度，方向朝向固定端，在仿真剛開始，由于存在鋼絲繩的拉力，固定端受力為0.9761N，但是隨著鋼絲繩的彎曲固定端的受力迅速衰減至0，這接近實際情況。其受力變化如圖2所示。

圖2 固定端受力變化

仿真3：在鋼絲繩的一端沿Y軸負(fù)方向施加一個1000N的力，來觀察鋼絲繩在Y軸方向上長度變化如圖3所示，長度為2001.667mm，其伸長量為1.667mm。而通過理論計算鋼絲繩的伸長量為1.6mm，鋼絲繩在X軸和Z軸的伸長量幾乎為0。其仿真誤差為4%，在許可范圍之內(nèi)。

圖3 在Y軸施加力后柔索的長度變化

經(jīng)實驗驗證得到ADAMS中柔索模型bushing力的剛度和阻尼比分別為59346和1。

2.2 模型驗證

如圖1所示三自由度柔索并聯(lián)驅(qū)動機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)如下：R=500mm，r=100mm，h=1000mm畫出三自由度球關(guān)節(jié)的三維運(yùn)動學(xué)模型，結(jié)合上述分析，通過編制cmd程序來建立鋼絲繩模型[8]。該機(jī)構(gòu)的三維模型如圖4所示。

圖4 三自由度柔索并聯(lián)驅(qū)動機(jī)器人三維模型

因為鋼絲繩不能夠承受壓力，所以這里的平移副和球鉸副的摩擦力設(shè)置為零，同時，每根鋼絲繩上施加預(yù)緊力τ（方向沿鋼絲繩），以保證鋼絲繩始終處于張緊狀態(tài)。對上述三自由度并聯(lián)柔索驅(qū)動機(jī)器人，在各驅(qū)動繩上施加相應(yīng)的控制力，可使運(yùn)動平臺在相應(yīng)的控制力作用下，到達(dá)指定位置。以此來驗證模型的合理性和正確性。

動平臺中心運(yùn)動軌跡：

根據(jù)動力學(xué)分析，可以計算出動平臺在沿軌跡運(yùn)動過程中的速度變化、繩長的變化和力的變化，然后將所計算的力的數(shù)據(jù)以sp1ine的形式導(dǎo)入到adams中，來控制動平臺運(yùn)動，通過仿真可以得到動平臺位置變化曲線圖5和柔索長度變化曲線圖6。仿真時間為5s，step=1000。由圖5可知，動平臺上端中心的運(yùn)動曲線與數(shù)學(xué)分析所得的值在x，y，z軸方向的最大誤差分別為0.328mm、0.632mm、1.056mm，最大誤差小于1%。仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)計算結(jié)果基本一致，進(jìn)一步驗證了所建模型的合理性。

圖5 動平臺中心的位移

圖6 四根繩索的長度變化

從圖6的仿真曲線中可以看出，在運(yùn)動過程中，繩索2的伸長量最大，繩長變化從1081.6769mm到1197.3076mm；繩索1的收縮量最大，繩長變化從1081.6769mm到955.6774mm；繩索3、4長度幾乎沒有變化。這種情況與運(yùn)動軌跡的描述是一致的。仿真結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)在沿預(yù)定軌跡運(yùn)動時，整體運(yùn)動平滑和穩(wěn)定，所建模型合理、有效。

3 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種空間三自由度柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人模型，并用數(shù)學(xué)分析和軟件仿真方法對其進(jìn)行了研究，結(jié)論如下：

1)把柔索看作是有限個有質(zhì)量的小圓柱通過bushing力連接，建立柔索的動力學(xué)模型，結(jié)果表明，該柔索模型與實際情況。比較接近。該方法具有一定的通用性，為空間三自由度柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人的控制奠定了基礎(chǔ)，并為其他柔索驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)模型的仿真提供了理論參考。

2)通過數(shù)學(xué)分析和ADAMS軟件仿真相結(jié)合的方法來研究柔索問題，具有一定的有效性；

3)該機(jī)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)較為簡單、重量輕、實用性強(qiáng)、便于組裝和維護(hù)、能夠產(chǎn)生較大的工作空間，同時其運(yùn)動學(xué)計算簡單，易得出顯式表達(dá)式，從而易于實時控制。適用于空間作業(yè)。

[1] SHANG W J. CANNON D,GORMAN J. Dynamic ana1ysis of the cab1e array robotic crane[C]//Proc,of IEEE Int.Conf. on Robotics and Automation,May 10-15,1999,Detroit,Michigan,USA.Michigan;IEEE,1999∶2495-2500.

[2] PHMA C B,YEO S H,YANG G L,et a1.Force-c1osure workspace ana1ysis of cab1e-driven para11e1 machanisms[J].Mechansim and Machine Theory,2006,41(1)∶53-69.

[3] S Kawamura,H Kino,C Won. High-speed manipu1ation by using para11e1 wire-driven robots. Robotica,2000,18(1)∶13-21.

[4] Maeda K.,Tadokoro S.,Takamori T. On design of a redundant wire- driven para11e1 robot WARP manipu1ator.Proceedings of the 1999 IEEE internationa1 conference on robotics & automation,1999∶895-900.

[5] 周煒,易建軍,鄭建榮.ADAMS軟件中繩索類物體的一種建模方法[J].現(xiàn)代制造工程,2004,5∶38-39.

[6] 袁志剛,臧鐵剛.基于ADAMS平臺的鋼索系列物體建模環(huán)境的研究[M].制造業(yè)信息化,2007∶82-84.

[7] 晉民杰,劉華偉,裴培,馮振華.基于 ADAMS 宏程序的礦井提升機(jī)鋼絲繩建模研究[J].礦山機(jī)械2011,39(12).

[8] 劉紅軍,趙帥,魏英姿.一種剛?cè)峤Y(jié)合并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其動力學(xué)分析.制造業(yè)自動化,2009,12∶166-168.