任恒峰 王清亮 趙 龍

(忻州師范學院 山西忻州 034000)

固體物理學是研究固體的性質(zhì)、微觀結構及其各種內(nèi)部運動，以及這種微觀結構和內(nèi)部運動同固體宏觀性質(zhì)關系的學科。固體的內(nèi)部結構和運動形式非常復雜，固體物理學的研究內(nèi)容也變得越來越豐富，手段隨之也越來越多樣化，而與之相應的傳統(tǒng)固體物理教學內(nèi)容與方法都比較滯后［1］，難以滿足學科自身的發(fā)展和學生培養(yǎng)目標的要求，難以跟上現(xiàn)代社會的發(fā)展。傳統(tǒng)固體物理課程內(nèi)容結構體系是以長程有序的晶體為研究對象、研究晶體的結構、晶格動力學和能帶理論等為主要內(nèi)容［1］。進入21世紀后，隨著科學技術的飛速發(fā)展，特別是納米科學與技術在全球呈爆炸式的發(fā)展對固體物理課程教學提出了即時現(xiàn)代化改革的緊迫要求［1］。這就需要教學者對固體物理學的教學進行多角度、多方位的變革。本文結合固體物理學中的一些模型進行系統(tǒng)化研究，列舉固體中的一些基本模型，闡述其各自特點并且找出其共有特性;并且討論在固體物理學的教學過程中如何貼切使用模型特點，找出適合固體物理學教學的方案。

固體物理學中的主要模型大體上有下述幾種。

1 一維單原子鏈模型

一維單原子鏈的晶格具有周期性，其振動膜為格波。格波和一般連續(xù)介質(zhì)波相類似，但也有它不同的特點，它的格波形式解可寫為:

它與一般連續(xù)介質(zhì)波:

上面的討論只適用于無窮長鏈，對于有限長原子鏈而言，兩端的原子和內(nèi)部原子不同，為了解決這個問題，玻恩卡曼提出包含N個原胞的環(huán)狀鏈作為一個有限鏈的模型，它包含有限數(shù)目的原子，且所有原胞完全等價。一維單原子鏈采取波恩——卡曼條件之后，一維單原子鏈變成了一個近似直線振動的一維單原子環(huán)。這相當于給原子鏈附加了一個周期性邊界條件，這樣做的結果使得考慮了邊界條件之后，一維有限長原子鏈問題與無限長問題非常類似:內(nèi)部各原子的振動都是近似在一條直線上運動的，并且保證所有原子完全等價。這與未采取玻恩——卡曼條件之前的區(qū)別在于必須考慮到鏈的循環(huán)性，若不采取波恩——卡曼條件，在只有近鄰相互作用時，中間的原子分別受到兩邊相鄰原子給它的作用，而兩端的兩原子則都各只受一個近鄰作用。因此，兩端原子與中間原子的運動方程不同，從而使得它的運動規(guī)律非常復雜。為了避免這種情況，波恩——卡曼提出的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型，使得計算大大簡化，并且對結果沒有影響。

2 晶格量子熱容模型

固體熱容主要由晶格熱容和電子熱容組成，只有在極低溫度下，電子熱容才有貢獻，且貢獻很小，所以往往討論的熱容僅限于固體的晶格熱容。對于晶格熱容而言，只要知道簡正振動的頻率，就可以直接根據(jù)熱容公式寫出熱容。但對于具體晶體，計算出3N個簡正頻率是一件不可完成的任務。在一般討論時，常常采用愛因斯坦模型與德拜模型。

2.1 愛因斯坦模型

愛因斯坦假設晶格中各原子的振動可以看作是相互獨立的，所有原子都具有同一頻率ω0［2］，每個原子有三個自由度，則整個晶體共有3N個頻率為ω0的振動。與經(jīng)典理論相比，愛因斯坦的這種理論改進十分顯著，它基本上能夠反映出Cv隨溫度下降的趨勢，并且與實驗數(shù)據(jù)基本吻合。但是在極低溫度下，晶格熱容以T3趨于零，而愛因斯坦熱容則比T3更快地趨于零，這與實驗偏差較大。這是由于愛因斯坦模型過于簡單，因為在極低溫度下，晶格熱容主要取決于長聲學波。愛因斯坦把所有的格波都視為光學波，則沒有考慮長聲學波在極低溫時對熱容的重要要貢獻，這也表現(xiàn)出愛因斯坦模型存在一定的局限性。

2.2 德拜模型

在低溫范圍內(nèi)，愛因斯坦理論值下降很陡，與實驗不符，為了解決這一問題德拜考慮到了晶格振動的頻率分布。德拜模型的基本思想是:把格波作為彈性波來處理。他對晶格采取了一個很簡單的近似模型，從而得到了非常重要的近似頻率分布函數(shù)，他認為，如果從宏觀力學的角度而不是原子理論來進行分析，晶體可以視作連續(xù)的彈性介質(zhì)。德拜也正把晶格當作彈性介質(zhì)來處理的，他具體分析的是各向同性的彈性介質(zhì)，在這種情況下，對于一定的波數(shù)矢量→q，有一個縱波ω=c1q和兩個獨立的橫波ω =c1q［2］。這表明，縱波與橫波具有不同的波速，在德拜模型中各種不同波矢→q的縱波和橫波，構成了晶格的全部振動模［2］。

德拜模型的量子熱容在高溫情形下與經(jīng)典理論相一致，而且在極低溫度下與實驗也是相符的，并且溫度越低符合程度越好。因為在低溫極限時，熱容決定于最低頻率的振動，這些正是波長最長的彈性波。根據(jù)德拜理論可以得出，在極低溫度下，熱容與T3成正比，這種規(guī)律稱為德拜T3定律。在德拜模型中，起到關鍵作用的德拜溫度ΘD都是間接由實驗來確定的，所測出的德拜溫度ΘD應是一個與溫度無關的常數(shù)，但事實上，根據(jù)實驗所測出的CV而定出的不同溫度下的ΘD卻不同，表明它與溫度有關。ΘD理論值與實驗值有偏差的原因在于德拜模型忽略了晶體的各向異性，忽略了光學波和高頻聲學波對熱容的貢獻，這在一定程度上體現(xiàn)了德拜模型的局限性。

晶格熱容的這兩個模型的建立是逐步遞進式發(fā)展起來的，并且具有承上啟下的重要作用。愛因斯坦模型在晶體的熱容問題中引入了量子力學的相關理論，并且在做了基本簡單的近似之后給出了比較符合實驗事實的熱容理論;而德拜模型則是在愛因斯坦模型的基礎上，做了進一步的修正，找出原有模型的缺陷之處進行大膽的假設和簡單近似，從而使獲得的理論更加的細致、更加的符合實驗事實。在固體物理學的教學中，充分挖掘晶格熱容的兩個模型特點，不僅可以使得學生加深對熱容相關理論的理解，而且還可以為學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題提供一套合適的方式。

3 固體能帶模型

能帶理論是研究固體中電子尤其是價電子運動規(guī)律的主要理論基礎，它是在確立了量子力學運動規(guī)律以后，借助量子力學相關理論研究金屬電導理論的過程中逐步發(fā)展起來的，最初的成就在于定性的解釋了晶體中電子運動規(guī)律的普遍性特點［4］。

固體中存在大量的電子，各電子的運動相互關聯(lián)，每個電子的運動都不是獨立的行為，都要受到其它電子運動的影響［3］。能帶理論是一種單電子近似的理論，它把每個電子的運動看成是獨立的在一個等效勢場中的運動。對于價電子而言，其等效勢場，包括離子實的勢場、其它價電子的平均勢場以及考慮電子波函數(shù)反對稱性而帶來的交換作用［3］。能帶理論的根基在于固體中的電子不再束縛于個別原子，而被整個固體共有，稱為共有化電子［3］。對于共有化電子而言，假定原子實處在其平衡位置，把原子實偏離平衡位置的影響看成微擾［3］。理想晶體中原子規(guī)則地周期性排列成晶格，因而整個晶格具有周期性，則等效勢場也應具有相應的周期性。晶體中電子的波動方程為:

以此為基礎，固體能帶理論在發(fā)展的過程中，建立了贗勢、近自由電子近似、緊束縛近似等進一步的近似模型。

3.1 贗勢模型

贗勢即在原子實內(nèi)部用假象的勢能取代真實的勢能，而在求解波動方程的過程中，不改變體系的能量本征值及離子實之間區(qū)域的波函數(shù)［3］。實際采用的贗勢往往是使離子實內(nèi)部的電子波函數(shù)盡可能的平坦，使問題在符合實驗的基礎上更加的理想、簡單。這里以空中心模型為例，它所表示的正離子贗勢為:

這是一種理想化模型，在討論問題的過程中，將離子實內(nèi)部的排斥作用和吸引作用相互抵消，而離子實外部被看成是離子電荷+Ze的庫倫場。相關工作表明，只要取得合適Rc，這種模型能和實驗結果符合。

在贗勢模型中，需要解決的一個問題是介電屏蔽。固體中的離子與氣體不同，它們是浸在電子云中的，它的屏蔽可以使電子云極化，這種極化反過來起著屏蔽作用。其中離子勢是各個格點位置上單離子勢的疊加，即

或者寫成傅里葉級數(shù)的形式

3.2 近自由電子近似模型

近自由電子近似模型將晶體等效周期場中的電子近似的視作自由電子，它處理周期勢場起伏比較小的情況。此時，勢場的平均值可以作為零級近似的哈密頓量，零級近似波動方程的解為自由電子，將周期勢場相對平均值的起伏作為微擾，利用不含時的簡并、非簡并微擾論進行微擾計算，從而得到近自由電子近似的能帶理論。

采取這種模型進行討論，可以進一步了解在周期場中運動的電子本征態(tài)一些最基本的特點。近自由電子模型對于周期性起伏較小的情況，將各電子間的相互作用做了簡單化、理想化的處理，這樣做更有易于計算周期場中電子的運動情形，可以更加方便地討論電子的能級所形成的能帶，促使能帶理論的形成，還可以解釋許多金屬晶體的實驗結果。在教學的過程中，引導學生學習如此建立模型的習慣，可以使同學擺脫傳統(tǒng)物理思維的束縛，進而培養(yǎng)解決稍顯深奧物理問題的具體能力。

3.3 緊束縛近似模型

這種模型的出發(fā)點是電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成是微擾作用，這樣可以得到電子的原子能級與晶體中能帶之間的相互關系和相關作用［4］。類似于近自由電子近似模型，這種模型的優(yōu)點是:可以方便的利用此模型來討論外界壓力對固體能帶結構的影響，把能帶寬度和禁帶寬度表示為近鄰原子之間的距離R的函數(shù)，當壓力發(fā)生變化時，近鄰原子之間的距離R也會發(fā)生變化，因而壓力對能帶結構的影響清晰可見，其物理意義明確，有助于學生更清楚地理解壓力對固體能帶結構影響的物理本質(zhì)，此外理論計算結果與實驗結果在數(shù)量級上基本一致［4］。由此可以看出采取這種模型對于學習能帶理論有很大的幫助，有助于深刻理解能帶理論的形成。

通過系統(tǒng)地分析以上各種模型的特點，可以看出模型化在固體物理學中的學與教中都有非常明顯的優(yōu)勢所在。應用各種模型的優(yōu)點可以將固體物理中無法精確求解的無限問題轉化為有限問題、將經(jīng)典無法解決的問題借助量子理論進行近似處理、將某些非線性問題轉換成線性模型問題，同時，在模型化的過程中，抓住了其中的主要矛盾，而忽略掉次要矛盾，進而使固體問題理想化、簡單化。此外，還可以根據(jù)實驗結果來確定相應的物理值，使相關物理量理論值盡可能與實驗值符合好。這樣剝離出固體中的具體模型，在教學的過程中可以使同學們更加明晰固體物理相關理論，使繁瑣的固體物理學問題較為條例、清晰，并且物理意義更加明確。

4 結論

本文首先列舉了固體物理學中的一維單原子鏈模型、晶體量子熱容的德拜及愛因斯坦模型、贗勢模型、近自由電子近似模型、緊束縛近似模型等，在分析其各自模型的特點后，討論這幾種典型模型在固體物理中教與學的優(yōu)勢所在，分別找出其在解決固體問題的簡單方式，這在一定程度上有利于固體物理的教與學，并可以廣泛用于科學技術;最后總結分析以上各種模型的基本特點并找出其共性，認識到模型化在固體物理學中的重要性。

［1］香蓮，張建芳，何穎卓.《固體物理學》教學改革淺析 ［J］.內(nèi)蒙古民族大學學報，2012，18(5):156.

［2］張啟明.錫銀鋅合金及其金屬間化合物的熱性質(zhì)和電輸運性質(zhì) ［D］.天津:天津大學，2010，13.

［3］夏中秋.ZnTe及稀土摻雜ZnTe電子結構和電學性質(zhì)的研究［D］.呼和浩特:內(nèi)蒙古大學，2012.27.

［4］張娟娟.Ⅲ－N化合物電子結構和晶體動力學性質(zhì)的第一性原理研究 ［D］.呼和浩特:內(nèi)蒙古大學，2011.21.

［5］李德俊，葉伏秋，趙鶴，等.用緊束縛理論研究壓力對固體能帶結構的影響 ［J］.發(fā)光學報，2005，26(2):153.