周知進，盧 浩，王 釗，左明健

（1.湖南科技大學機電工程學院，湖南 湘潭411201；2.湖南科技大學機械設備健康維護省重點實驗室，湖南 湘潭411201；3.阿爾伯塔大學機械工程系，埃德蒙頓，T6G2M7）

流體－結構相互作用問題和一般的多物理場問題往往過于復雜而難以分析解決，所以它們要通過實驗或數值模擬方法完成。由于在計算流體力學和計算結構動力學領域的研究工作取得長足進展，這些領域的成果使流體－結構相互作用的數值模擬得以完成。模擬流體－結構相互作用問題有2種主要方法：

單片方法：管流方程和結構位移同時解決，用一個單一的求解器一同解決；

分區(qū)方法：分別采用2個不同的求解方程來求解流體和結構位移，

單片方法需要這個物理問題特定組合分區(qū)的方法，而保留軟件模塊，因為有現成的流動求解和結構求解耦合的代碼。此外，分區(qū)的辦法，由于流動方程和結構方程的不同，可能更利于開發(fā)專門的流體方程和結構方程的解決方案。另一方面，在分區(qū)模擬中需要穩(wěn)定和精確的耦合算法。

同時Newton－Raphson方法和不動點迭代可以用來解決流固耦合作用（Fluid－Structure Interaction，簡稱FSI）問題。基于Newton－Raphson迭代方法在單片［1－3］和分區(qū)［4－5］方法中被使用。采用 Newton－Raphson的這些方法解決非線性流體方程和結構方程。在Newton－Raphson內的迭代線性方程組可以解決系統(tǒng)沒有雅可比矩陣迭代法先驗知識的系統(tǒng)，而用矢量雅可比產品有限差分進行近似。

而Newton－Raphson方法解決在整個液體和固體域的狀態(tài)流動和結構性問題，它也有可能重新用于在界面位置未知數的多自由度系統(tǒng)的FSI裝置問題。這個域分解凝結成了1個與界面有關的子空間FSI誤差［6］問題。因此具有未知界面位置的這個FSI問題或者成為了1個求根或者1個固定點問題。

采用Newton－Raphson迭代的界面牛頓－拉夫森方法解決尋找這個解的問題，例如：雅可比近似線性遞減物理模型［7－8］。在耦合迭代過程中采用最小二乘模型耦合黑箱子流體界面擬牛頓法雅可比來逆向逼近求解流體和結構［9］。這種技術是基于界面擬牛頓最小二乘模型，其中重新表示FSI問題作為1個系統(tǒng)界面的位置和界面上的應力分布作為未知數方程的雅可比矩陣逼近技術。該系統(tǒng)解決了高斯－賽德爾類型的流體求解和結構求解雅可比矩陣塊擬牛頓迭代逼近最小二乘模型［10］。

固定點問題也可能用固定點迭代解決，也被稱為高斯－賽德爾迭代［6］，這意味著流體問題和結構性問題都相繼解決，直到變化小于收斂準則。然而，迭代收斂速度慢，尤其是當流體和結構之間的相互作用很強時，特別是高密度流體／結構比例或不可壓縮的流體的情況［12］。適用基于以前的固定點迭代能被Aitken松馳和最速下降松弛因子穩(wěn)定和加速收斂［10］。

如果流體和結構之間相互作用較弱，僅僅在每1個時間步需要1個固定點迭代。這些所謂的交錯或松散耦合方法不強制執(zhí)行1個時間步內的流體結構界面上的平衡，但它們適用于帶有重型的和相當剛性的結構模擬。部分研究分析了用于模擬流體－結構相互作用分割算法的穩(wěn)定性［11－12］。

垂直懸臂提升管道在輸送固液兩相流過程中，管道（固體）為彈性體，受到內外流體作用，流體的作用引起管道壁發(fā)生變形或運動，管道的變形或運動又反過來改變流場形態(tài)，從而改變流動狀態(tài)，流動狀態(tài)的改變又會影響管道的運動和變形，管道與流體之間的這種相互作用，在不同約束支撐下將產生多種形態(tài)各異的流固耦合現象［3］，即管道與流體之間的耦合作用。以往學者大多對水平輸送、固定支撐（多約束）、彈性支承等管道振動進行研究［4－7］，對于垂直單端支撐提升管道振動研究較少，更沒有考慮柔性支撐情況下輸送過程的流固耦合作用，所得結果精度不高［13－14］。

1 揚礦硬管流固耦合數學模型

對揚礦硬管工作狀態(tài)進行計算分析的時候，揚礦硬管內部固液兩相流體和外部海水必然都是相互影響的。流體作用力施加到管壁（結構）上，結構的變形反過來影響流體區(qū)域，這樣就形成了流固耦合過程。

流固耦合邊界位移協調方程［15］：

流固耦合邊界力平衡方程：

式中：df為流體位移；da為結構位移；τf為流體的應力；τs為結構的應力。

將這些值定義在流固耦合界面上。由位移協調方程來決定流固耦合邊界上流體節(jié)點的位置，另外由力平衡方程決定在流固耦合邊界上的應力，根據公式：

式中：hd為結構節(jié)點的位移；τf為流體的應力。流體均布力積分為集中力施加到結構節(jié)點上。

流固耦合中流體和結構模型的時間積分必須是相容的，在ADINA中流體和結構在流固耦合界面上2個坐標系是相同的，都是用lagragian坐標系。流體和結構的方程分別用Gf［f，f′］＝0和Gs［d，d′，d″］＝0來表示，以f和d分別表示流體和結構的變量。流體的速度和加速度分別表示為：

方程中t＋Δt時刻的速度和加速度可以用位移未知量來表示：

將這個公式應用到耦合系統(tǒng)中，可以得出時間積分格式為：

Gs（t＋Δt）≈Gs［dt＋Δt，dt＋Δta＋ξt，dt＋Δtb＋ηt］＝0 （9）流固耦合有限元方程則表示為：

式中：Xf、Xs分別為流體和結構節(jié)點上的解向量；Ff、Fs分別是Gf和Gs相應的有限元方程。

在這個問題中，內外部流場作用力引起了結構的變形，同時結構的位移又影響流場的狀態(tài)，兩者相互作用。在考慮2種作用時流固耦合分析稱為雙向耦合，流固耦合分析中流固耦合方程必然是非線性的，所以使用迭代方法得到解。ADINA中使用應力、位移或者應力和位移來檢查迭代收斂性。

2 揚礦管道有限元模型

2.1 管道模型的建立

管道幾何模型采用ADINA—native建模方式，本文根據不同截面尺寸建立管道幾何模型，按照相關要求定義和施加邊界條件，一種是對管道上端按照固接情況施加約束，另一種是對管道上端按照鉸接情況施加約束，施加載荷類型為Mass Proportional，在Z軸負方向定義 Magnitude為9.8m／s2，管道單元采用3D solid單元，單元劃分采用8節(jié)點3D實體單元，網格密度在線、面、體建模時依次設置，并選擇小變形假設。

2.2 流體模型的建立

將管內流體簡化成圓柱體，采用native建模方式，流體單元采用3DFluid單元，單元劃分采用8節(jié)點3D實體單元，并根據輸送流體體積濃度等情況不同設置管內液體參數；管外流體區(qū)域大小選擇為管道結構的7倍［15］，單元選擇與劃分和管內流體相同。

得到的管道流體流固耦合有限元模型及管道、管外流體、管內流體有限元模型見圖1。

圖1 管道、流體、管道流體有限元模型Fig.1 Finite element model of pipe and fluid and pipefluid coupled

3 仿真及結果分析

3.1 不同輸送礦石體積濃度對管道固有頻率的影響

揚礦管道輸送不同體積濃度礦石顆粒會對管道產生不同程度的振動，管道固有頻率受礦石顆粒體積濃度影響程度不一樣。

選取同一管道結構，分析不同礦石顆粒體積濃度對管道固有頻率的影響，選取管段長度11m，管內徑為206mm，壁厚10mm，彈性模量210GPa，泊松比0.3，密度為7800kg／m3。管外流體為水，密度為1 000kg／m3，體積模量為2×109N／m2，流速設定為0.1m／s。管內輸送礦石顆粒密度為2 040kg／m3，體積濃度分別為5%、10%、15%，上端采用固接約束，對管道進行流固耦合模態(tài)分析，計算3種輸送濃度下管道的前6階固有頻率與相應振型，并將管內流體—管道二者耦合、管內流體—管道—管外流體三者耦合與不考慮流固耦合效應進行對比，且定義考慮流固耦合與不考慮流固耦合的管道固有頻率之比為影響系數［15］。管內流體—管道二者耦合固有頻率、管內流體—管道—管外流體三者耦合固有頻率仿真結果如表1、表2所示，相應的曲線見圖2～3。

表1 不同輸送濃度的管內流體—管道二者流固耦合管道固有頻率Table 1 Natural frequency of fluid－pipe coupled under different transporting volume concentrations

表2 不同輸送濃度的管內流體—管道—管外流體三者流固耦合管道固有頻率Table 2 Natural frequency of internal fluid－pipe－outer coupled under different transporting volume concentrations

圖2 不同濃度下管內流體－管道耦合頻率Fig.2 Both coupled frequency under different concentration

圖3 不同濃度下管內流體－管道－管外流體耦合頻率Fig.3 Three coupled frequency under different concentration

由表1、2可以看出：（1）管道的前6階固有頻率，第1、2階，第3、4階，第5、6階數值相同，振型也相同，只是振動方向不同，即存在強的對稱性，1、2階振型表現為橫向偏移，3、4階振型表現為單向彎曲，5、6階振型表現為雙向彎曲；（2）管道流固耦合固有頻率隨著輸送濃度的增大而降低，同一階固有頻率的影響系數也呈遞減趨勢，即管內輸送流體濃度越大，考慮流固耦合的固有頻率較不考慮耦合時差異越明顯；（3）不同階次固有頻率影響系數不同，即不能單純的乘以1個系數來處理，在實際的管道輸送中應該考慮流固耦合效應對固有頻率的影響，盡量使管道固有頻率遠離工作頻率，避免管道共振情況的發(fā)生；（4）考慮管內流體—管道—管外流體三者流固耦合時管道固有頻率較只考慮管內流體—管道二者耦合要低，比不考慮流固耦合時更低，影響系數也呈下降趨勢。

從圖2和圖3可以看出，在體積濃度較低情況下，濃度小幅波動對流固耦合管道固有頻率影響較小?？紤]流固耦合與不考慮流固耦合情況隨著模態(tài)階次提高，管道固有頻率差異越來越大。如輸送濃度5%時管內流體－管道二者耦合時其固有頻率相差分別為：一階相差0.4Hz、三階相差2.5Hz、五階相差11.15Hz。只考慮管內流體－管道耦合的管道固有頻率比考慮管內流體－管道－管外流體三者耦合求得的固有頻率高4Hz左右。

3.2 不同管道截面對管道流固耦合固有頻率的影響

管道的截面尺寸由直徑和壁厚決定，揚礦管道根據設計要求具有多種截面，本文用壁厚與管徑之比［14］即管道相對壁厚d來討論其對管道流固耦合固有頻率的影響。下面以管內流體為5%體積濃度的礦石顆粒，支撐條件為管道上端固接，計算各種截面參數下管道的前6階流固耦合固有頻率。由于其1階與2階，3階與4階，5階與6階固有頻率相同，故選擇1階、3階、5階頻率為對象討論管道截面尺寸對流固耦合固有頻率的影響。計算結果如表3所示，相應曲線如圖4、5、6、7所示。

表3 不同截面參數下管道流固耦合固有頻率Table 3 Natural frequency of fluid－pipe interaction under different cross－section

從表3和圖2可以看出，流體對管道流固耦合固有頻率的影響程度隨著相對厚度d值的增大而減小，因為d值越大說明管壁相對越厚，流體對管道的作用效應相對就弱，則流固耦合效應對固有頻率的影響就小?？紤]管內流體—管道—管外流體三者耦合比考慮管內流體—管道二者耦合時各階固有頻率均降低，三者耦合時相差比二者耦合時大，說明了考慮三者耦合時計算結果更加趨于精確。

4 結論

本次調查基于有限元軟件ADINA－FSI模塊的利用，建立了管道流固耦合有限元模型，對管道－流體之間相互作用進行了流固耦合模態(tài)分析，討論了不同輸送體積濃度、不同管道截面尺寸下流固耦合效應對管道固有頻率的影響。結果表明：

（1）揚礦管道流固耦合固有頻率隨著管內輸送礦石顆粒濃度的增大而降低，考慮管內流體—管道—管外流體三者流固耦合時的管道固有頻率較只考慮管內流體—管道二者耦合和不考慮流固耦合時要小，影響系數也相應降低，即考慮三者流固耦合時管道固有頻率結果更加精確。

圖7 相對誤差%與管道相對壁厚b的關系曲線Fig.7 The curve of relative proportion of FSI natural frequency of pipe with d

（2）流體對管道流固耦合固有頻率的影響程度隨著相對厚度d值的增大而減小，在考慮管內流體—管道—管外流體三者流固耦合時管道固有頻率較只考慮管內流體—管道二者耦合相對誤差增大，說明了考慮三者流固耦合的重要性。

（3）在實際的揚礦管道輸送中應該考慮輸送流體顆粒濃度、不同相對管道壁厚對管道固有頻率的影響及管內流體—管道—管外流體三者流固耦合作用對固有頻率的影響，盡量使管道固有頻率遠離工作頻率，避免共振情況的發(fā)生。

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