樊 濤，陳傳鐘，馬 麗

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 海口 571158）

1 引言和模型假定

在保險精算學中，學者們對保險公司的最優(yōu)投資比例問題越來越感興趣.因為保險公司不僅投資到貨幣市場，而且部分投資到股票市場.但是股票市場具有高風險性，所以投資策略和風險管理變得越來越重要.較早研究這個問題的是Browne[1]，他考慮的模型是風險資本模型是由經(jīng)典的Black-Scholes模型刻畫，保險公司的風險過程是一個帶漂移的Brown運動刻畫，得到的結果是在沒有負債約束的條件下，不管公司盈余多少，最優(yōu)投資策略是在風險市場上投資定量的資金.Chi Sang Liu和Hailiang Yang[2]在經(jīng)典的風險模型基礎上，加入風險投資和無風險投資，將保險公司資產(chǎn)分為兩部分，一部分是投入股票市場的資產(chǎn)，另一部分投入到證券市場，他們通過HJB方程，得到一個關于最優(yōu)投資股票市場金錢數(shù)量與初始盈余的關系.

本文在經(jīng)典的Lundberg風險模型的基礎上，加入風險投資和無風險投資，將投到風險資產(chǎn)上的比例為b(t),b(t)∈[0 ,1]建立相關的投資模型，將隨機控制理論運用到此模型中，解決最優(yōu)隨機控制問題，通過生存概率推導出相關的HJB方程，得到生存概率最大的最優(yōu)解b（t）與初始盈余之間的關系.

假定在交易過程中沒有交易費和稅費，假定投資過程中僅有一個風險股票市場和一個無風險證券市場，t時刻的股票價格用pt表示，則pt滿足隨機微分方程（1）

其中μ和σ是正常數(shù)，μ表示股票返回的瞬間期望率，σ表示股票價格的易變性，{Wt∶t≥0}是定義在完備化的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的標準布朗運動，.t時刻證劵價格滿足隨機微分方程（2）

r0表示利率，假定r0是非負常數(shù).下面我們從經(jīng)典的Cramer-Lundberg模型出發(fā)，假定風險模型（3）

要找到最優(yōu)投資比例bt，使得保險公司破產(chǎn)概率最小.假定①{btU（t），t≥0}是可測并且是適應過程，且②

假定①意味著投資者只能依據(jù)現(xiàn)有的信息決策，投資者“沒有先知先覺”功能，不能準確預測未來價格的變化，假定②的經(jīng)濟意義是投資者不能“惡意透支”[3].

2 最優(yōu)投資問題的HJB方程

用生存概率

作為目標函數(shù)，來求一個投資策略，也就是定出最優(yōu)投資比例b*（t），使得生存概率最大化[4].

考慮一個很小的區(qū)間[0，dt]，在這個小時間段內(nèi)最多只有一個索賠發(fā)生，由于索賠到達過程{N（t），t≥0}服從強度為 的泊松分布，所以在[0，dt]上有一次的索賠Y到達的概率為λdt，此時盈余將減少為u-Y，反之無索賠發(fā)生的概率為1-λdt+o（dt），盈余將增加為

由全概率公式生存概率δ（u）取期望可以表示成式（6）

由于δ（u）是連續(xù)二次可微的（見Hansperter Schmidli[5]）類似于（隨機分析與應用Fima C Klebaner[6]）中Th4.13的證明，可以對上面式子施加泰勒展開式，得到式（7）

這就得到了最優(yōu)問題的HJB方程.

3 最優(yōu)投資問題HJB方程的求解

這里首先可以假定δ（u）嚴格遞增，因為保險公司財富儲存越多，保險公司生存概率也就越大，另外假定δ（u）是凹函數(shù)，并且索賠密度函數(shù)是局部有界的[7].令b*（t）u是在股票市場上的最優(yōu)投資數(shù)量，令

將b*（t）代入HJB方程中，經(jīng)過一些計算，可以得到

易得t=0時，初始盈余u=0，b（*t）=0，代入HJB方程，得到 cδ′(0)=λδ(0)，這就是HJB方程的初始條件，同時若δ（u）是一個解，那么kδ（u）也是它的解，為了簡便令δ（0）=1所以初始條件為c=λδ（0）[8].設F（y）表示索賠大小的分布函數(shù)，則

對積分項進行計算，令H（t）=1-F（t），用部分積分法則，

下面考慮常見的指數(shù)型索賠分布情況，注意到H（u）的表示，假定（fy）=ke-ky，那么F（y）=1-e-ky，H（y）=e-ky這里為了計算方便，令 t(u)= δ′(u )，v（u）=所以

這是一個非線性常微分方程，很容易可以得到方程的初始條件w（0）=0，解出w（u），就可以得到δ（u）和b*（t）U（u），知道比例b（u）了，問題就解決了.下面的任務就是解上面的常微分方程.用兩種方法可以解這個常微分方程：第一種方法用有限差分法，用差商代替導數(shù)（若步長較小，則有

這樣用這個遞推公式和初始條件w（0）=0，那么w（u）的數(shù)值解就可以得到.

第二種方法，可以用Matlab軟件求解微分方程數(shù)值解，令k=1，λ=3，μ=0.1，r0=0.04，σ=0.3，c=3.6，最后得到了下列曲線圖（見圖1）.

圖1 索賠為指數(shù)分布的最優(yōu)投資策略Fig.1 Claims for the exponential distribution of the optimal investment strategy

可以從圖形看出來，當盈余很小的時候，保險公司寧愿把超過盈余的資金都投入到股票市場，下表顯示比例幾乎是b=1，也就是說保險公司樂意接受高風險的回報來阻止破產(chǎn)和虧損，這是因為風險資產(chǎn)有著更高的漂移系數(shù)將導致更高的投資比例，然而當盈余慢慢增大時，投資到股票市場的比例減小，也就是說，盈余越大，保險公司虧損的風險越小，完全可以抵抗住一些索賠數(shù)量，保險公司就會樂意持有保守的投資策略，因此保險公司寧愿選擇無風險的證劵市場來減少資金的損失.

另外，本文中投資比例和盈余之間的關系圖形，與2004年Liu[2]得到的一個投資數(shù)量與盈余之間的關系圖形吻合較好，并且從此圖更能看出，人們投資的比例在0.65以上，這超出了百分之五十，這能夠說明我們大多數(shù)投資者都是風險愛好者，才會在盈余越來越大的時候還是會把過多的資產(chǎn)投入到風險市場中，這正與實際吻合，同時給保險公司管理者和風險投資者更好地投資策略組合.

4 本文的經(jīng)濟意義

為了提高保險公司的支付能力，考慮將保險公司的資金用于投資，其中包括風險投資和無風險投資兩部分，從得出的最優(yōu)策略隨參數(shù)u的變化關系，這說明合理的選取u對最優(yōu)投資策略的變化至關重要，對于保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營業(yè)相當關鍵，本文的結論對實際運營具有啟發(fā)性的意義.

[1]Browne S.Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process：Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(2)：937-958.

[2]Liu C S,Yang H L.Optimal investment for an insurer to minimize its probability of ruin[J].North American Actuarial Journal,2004,8(2)：11-31.

[3]Yang H,Zhang L.Ruin theory with interest incomes[J].Statistics and Finance,1999,55(2)：355-369.

[4]Schmidli H.On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance[J].The Annals of Applied Probability,2002,12(3)：890-907.

[5]Hanspeter S.Stochastic Control in Insurance[M].London：Springer-Verlag,2008：48-49.

[6]Klebaner F C.Introduction To Stochastic Calculus With Applications[M].London：Imperial College Press,2005：105-106.

[7]Schmidli H.Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting[J].Scandinavian Actuarial Journal,2001,11(1)：55-68.

[8]Browne S.Survival and Growth with Liability：Optimal Portfolio Strategies in Continuous Time[J].Mathematics of Operations Research,1997,22(2)：468-493.