李章，張金順

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

有限維可積系統(tǒng)一直是人們感興趣的研究課題.特征值問題的非線性化方法溝通了有限維可積系統(tǒng)與無限維可積系統(tǒng)之間的聯(lián)系，是構(gòu)造有限維可積系統(tǒng)的重要途徑［1-4］.本文通過引入映射，導(dǎo)出遞推算子和孤立子方程族.在Bargmann約束下，將Lax非線性化為有限維Hamilton系統(tǒng)，并利用母函數(shù)方法導(dǎo)出對(duì)合的守恒積分.

1 Lenard算子與對(duì)孤子方程族

考慮2×2特征值問題，即

定義一個(gè)線性映射［5］σλ∶C3→sl（2，C），即

則U＝σλ（u，v，1）T.

令V＝σλ（G），G∈C3，則

式（3）中：K，J為Lenard的算子對(duì)，即

命題1 矩陣V＝σλ（G）滿足Lax方程Vx-［U，V］＝0的充分必要條件是：Kgj＝Jgj+1，Jg-1＝0，其中：j＝-1，0，1，….

利用命題1，可以計(jì)算出Lenard序列｛gj｝和向量場(chǎng)｛Xj｝，即

特別地，當(dāng)N＝1，2時(shí)，由式（8），分別可得孤立子方程為

Lax對(duì)為

2 Bargmann系統(tǒng)

令φ＝（φ1，φ2）T是方程（1）的一個(gè)解，定義一個(gè)映射［5］τλ∶C2→C3為

則τλ（φ）滿足方程

設(shè)λj（j＝1，2，…，N）為方程（1）的N個(gè)互異特征值，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)滿足方程

其映射定義為

式（13）中：qk＝φk2，pk＝φk1.由式（13），可得到一個(gè)Lax陣，即

證明 通過式（3），（11）即可證明.

引入Bargmann約束

式（15）中：p≡（p1，…，pN）T；q≡（q1，…，qN）T；Λ＝diag（λ1，…，λN）.

則特征值問題（1）被非線性化為N維Hamilton系統(tǒng)，即

證明 利用A，B∈sl（2，C）的特殊性質(zhì)，及Lax方程Ax＝［A，B］，直接計(jì)算可證.

將母函數(shù)F（λ）展開為λ的洛朗級(jí)數(shù)，得到

［1］ 曹策問.AKNS族的Lax方程組的非線性化［J］.中國科學(xué)：A輯，1989，32（7）：701-707.

［2］ 杜殿樓.產(chǎn)生有限維可積系統(tǒng)的一個(gè)新途徑［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1997，29（1）：1-7.

［3］ CAO Ce-wen，GENG Xian-guo.Classical integrable systems generated through nonlinearization of eigenvalue problems Nonlinear［C］∥Research Reports in Physics.Berlin：Springer，1989：68-78.

［4］ CAO Ce-wen，WU Yong-tang，GENG Xian-guo.Relation between the Kadometsev-Petviashvili equation and the confocal involutive system［J］.J Math Phys，1998，40（8）：3948-3970.

［5］ WU Yong-tang，ZHANG Jin-shun.Quasi-periodic solution of a new （2+1）-dimensional coupled soliton equation［J］.J Phys A：Math Gen，2001，34（1）：193-210.