馬堯

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安 710072）

1 引言

空間遙感器在對(duì)地觀測(cè)、深空探測(cè)以及科學(xué)試驗(yàn)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。作為一個(gè)關(guān)鍵的元件，主反射鏡的性能在光機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中占據(jù)著重要地位。隨著需求特別是像元分辨率的提高，反射鏡的口徑已經(jīng)超過(guò) 1m，這就使得反射鏡支撐的設(shè)計(jì)、制造及裝配變得困難[1-3]。大口徑反射鏡技術(shù)一個(gè)重要的發(fā)展趨勢(shì)就是從剛度設(shè)計(jì)到柔性設(shè)計(jì)甚至是無(wú)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[4]。在柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，Bipod類型的柔性元件在眾多空間任務(wù)中有著廣泛應(yīng)用。

本文將在前人工作基礎(chǔ)上對(duì)Bipod柔性元件的分類進(jìn)行總結(jié)改進(jìn)，說(shuō)明Bipod類型柔性元件的多樣性，通過(guò)引入相對(duì)剛度比和相對(duì)位移比的概念，對(duì)柔性元件的卸載能力進(jìn)行分析，證明柔性元件對(duì)溫度變化以及制造裝配誤差的卸載能力很大程度上取決于柔性元件的準(zhǔn)靜定程度。

2 Bipod柔性元件的準(zhǔn)靜定特性及多樣性

靜定方法是機(jī)械設(shè)計(jì)上一個(gè)古老并且有效的法則，在很多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[5]。靜定的優(yōu)點(diǎn)就在于作用在物體上的力是明確的，并且來(lái)自周?chē)h(huán)境以外的力矩不會(huì)對(duì)物體產(chǎn)生不良影響。這些特點(diǎn)有利于反射鏡支撐結(jié)構(gòu)隔離溫度變化和制造裝配誤差的影響。有很多方式可以實(shí)現(xiàn)靜定支撐[6]。對(duì)于一個(gè)空間三維物體來(lái)說(shuō)至少需要3個(gè)點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]總結(jié)了3種不同的三點(diǎn)約束布局，如圖1所示，包括一種3-2-1布局以及兩種2-2-2布局。3-2-1布局分別限制3個(gè)點(diǎn)的3個(gè)、2個(gè)以及1個(gè)平動(dòng)自由度。而2-2-2布局的每個(gè)點(diǎn)都限制了2個(gè)平動(dòng)自由度。對(duì)于圓形反射鏡，圖1(b)中的2-2-2(I)是一個(gè)典型的應(yīng)用，它約束了3個(gè)軸向和3個(gè)切向自由度，本文將采用這個(gè)形式。

圖1 三點(diǎn)支撐類型的3種自由度分配方式Fig. 1 Constraint allocation for three kinds of mount configuration

實(shí)現(xiàn)上述準(zhǔn)靜定支撐需要使用不同的柔性元件，其中Bipod作為一個(gè)重要的二自由度柔性元件在空間反射鏡支撐結(jié)構(gòu)上具有廣泛應(yīng)用[7-10]，迄今為止已發(fā)射最大口徑的反射鏡是 Herschel項(xiàng)目的主鏡，其是一個(gè)口徑為3.5m的SiC反射鏡，如圖2所示，具有3個(gè)鈦合金的Bipod柔性支撐。對(duì)Bipod柔性元件分類進(jìn)行的改進(jìn)見(jiàn)表1，這可以使設(shè)計(jì)者在確定Bipod方案時(shí)有一個(gè)更清楚的全局輪廓[11]。

圖2 Herschel ?3.5 m SiC反射鏡（Bipod柔性元件）Fig. 2 Herschel ?3.5 m SiC primary m irror w ith Bipod flexure

從表1可以看出，Bipod柔性元件按照不同的方式可以分為多種類型。從整體性的角度出發(fā)，一體式在大多數(shù)情況下都是一個(gè)較好的選擇，特別是對(duì)于較小的反射鏡，因?yàn)檫@種分類方式可以簡(jiǎn)化裝配過(guò)程并減少由于操作帶來(lái)的誤差；分離式一般應(yīng)用在大型反射鏡上；反射鏡和Bipod元件之間安裝點(diǎn)的數(shù)量應(yīng)盡量少以減輕對(duì)反射鏡的不良影響，但逆Bipod在重力沿著光軸豎直方向時(shí)可以使得面形有一定的改善；凹口式相對(duì)葉片式具有較大的旋轉(zhuǎn)半徑[12]，具有良好的應(yīng)用性；混合式實(shí)際是凹口和葉片式的組合，具有較好的卸載效果，但增加了制造的復(fù)雜性。Bipod相對(duì)反射鏡的位置主要由空間限制決定，但側(cè)邊支撐在重力方向和光軸方向垂直時(shí)通常具有較好的面形。從控制方式上看，被動(dòng)式由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此其應(yīng)用更為廣泛?？傮w而言，沒(méi)有一種類型對(duì)所有情況都具有良好的適用性，因此設(shè)計(jì)者必須根據(jù)實(shí)際需求謹(jǐn)慎地選擇、組合適當(dāng)?shù)念愋鸵赃_(dá)到性能上的均衡。

表1 空間反射鏡支撐結(jié)構(gòu)的Bipod柔性元件使用分類Tab.1 Classification of the bipod flexure in space mirror assembly

3 Bipod柔性元件的卸載能力評(píng)價(jià)

Bipod柔性元件涉及的設(shè)計(jì)參數(shù)較多，如 Bipod柔性元件的長(zhǎng)度、柔性元件之間的夾角以及布置位置、柔性元件削弱部分的尺寸、柔性元件的材料參數(shù)等。建立這些結(jié)構(gòu)參數(shù)和反射鏡面形卸載能力之間的關(guān)系，對(duì)于柔性元件的選取和設(shè)計(jì)具有重要意義。然而從上述分類可以看出，Bipod柔性元件的種類繁多，直接建立設(shè)計(jì)參數(shù)和卸載能力之間的關(guān)系還比較復(fù)雜，本文下面從表征這些不同種類的Bipod元件的剛度這一共同特性出發(fā)，對(duì)其卸載能力進(jìn)行分析。

為了評(píng)估柔性元件的準(zhǔn)靜定程度，本文引入了相對(duì)剛度比的概念，即

式中ik、jk分別為柔性元件在自由和約束方向的剛度；ijk為相對(duì)剛度比，其數(shù)值大小表明柔性或者準(zhǔn)靜定的程度。對(duì)于2-2-2(I)布局，約束運(yùn)動(dòng)是切向和軸向的平動(dòng)，在這種布局中共有8個(gè)相對(duì)剛度比，當(dāng)這些數(shù)值為0時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)理想的靜定支撐，否則就是準(zhǔn)靜定的或者過(guò)約束的。對(duì)于柔性元件的卸載能力，下面引入了相對(duì)位移比的概念，即

式中iu、ju分別為位移響應(yīng)量和基礎(chǔ)的輸入。位移響應(yīng)可以是特定載荷工況下鏡面的峰谷值（Peak-to-valley，PV）或者均方根值（Root-mean-square，RMS），也可以是組件上任何節(jié)點(diǎn)的位移；基礎(chǔ)輸入來(lái)自于溫度變化以及制造裝配誤差，這個(gè)數(shù)據(jù)越小則表示結(jié)構(gòu)對(duì)反射鏡面形的卸載能力越強(qiáng)。理想的靜定結(jié)構(gòu)可以達(dá)到最佳的卸載效果，也就是說(shuō)隨著相對(duì)剛度比的降低，Bipod柔性元件的卸載能力也隨之增強(qiáng)，下面將通過(guò)實(shí)例分析來(lái)證明這種關(guān)系的正確性，并揭示了卸載能力變化時(shí)對(duì)組件振動(dòng)頻率的影響情況。

4 相對(duì)剛對(duì)比和卸載能力之間的關(guān)系驗(yàn)證

本文利用數(shù)值算例來(lái)研究相對(duì)剛度比和卸載能力之間的關(guān)系。此實(shí)例中包含3部分的零件：1個(gè)圓形反射鏡、1個(gè)基板以及3個(gè)Bipod柔性元件。為了方便起見(jiàn)，反射鏡和支撐之間的膠在這里忽略了。反射鏡的材料是微晶玻璃，口徑為360mm，內(nèi)孔徑為80mm，反射鏡的質(zhì)量約為12kg。Bipod柔性元件用銦鋼加工制備。涉及材料的屬性參數(shù)見(jiàn)表2，有限元模型圖如圖3所示。

表2 玻璃及銦鋼的材料屬性參數(shù)Tab.2 Material properties for zerodur and Invar

圖3 反射鏡組件的有限元模型Fig. 3 M irror assembly of the finite element model

為了研究相對(duì)剛度比和卸載能力之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)了3個(gè)不同柔性的Bipod元件，根據(jù)式（1）計(jì)算的相對(duì)剛度比見(jiàn)表3，其中只考慮了rzk、rkτ兩個(gè)數(shù)值，分別為徑向剛度相對(duì)軸向和切向剛度的比值。表3中的r, z, t分別為徑向、軸向以及切向。卸載能力使用式（2）由面形的PV及RMS改變量相對(duì)基礎(chǔ)位移輸入的比值來(lái)計(jì)算，并模擬了兩種溫度變化工況下的卸載能力變化。

表3 3個(gè)Bipod柔性元件設(shè)計(jì)的相對(duì)剛度比Tab. 3 Relative stiffness ratios for three kinds of Bipod design %

模型使用MSC/PATRAN建立，然后利用 NASTRAN進(jìn)行分析，面形參數(shù)由空間光學(xué)集成分析平臺(tái)（space optical remote sensor analysis platform，SORSA）中的面形模塊計(jì)算。 首先進(jìn)行了模態(tài)分析，前5階頻率見(jiàn)表4，計(jì)算了兩個(gè)工況下的靜態(tài)分析。工況1模擬了組件上不均勻的溫度分布；工況2模擬了均勻溫度變化情況。兩個(gè)工況都通過(guò)在1個(gè)或3個(gè)柔性元件基板上施加強(qiáng)迫位移來(lái)實(shí)現(xiàn)。兩個(gè)工況下的面形分析結(jié)果見(jiàn)表5、6，其中鏡面剛體位移變化量用鏡面球心在坐標(biāo)系在X、Y、Z 3個(gè)方向上的變化量來(lái)表示。

表4 反射鏡組件模態(tài)分析結(jié)果Tab. 4 Modal analysis results Hz

表5 工況1面形變化情況Tab. 5 Changes of the mirror surface figure（case 1）

表6 工況2面形變化情況Tab. 6 Changes of the mirror surface figure（case 2）

從上面的模態(tài)分析結(jié)果，可以看到組件的頻率隨著柔性的減小而增加。需要指出的是，并不能依據(jù)這些結(jié)果說(shuō)明頻率和柔性之間準(zhǔn)確的關(guān)系，但在絕大數(shù)情況下都表現(xiàn)出這種狀態(tài)，因此在實(shí)際工程中必須小心處理這些因素之間的平衡。從表5、6中可以發(fā)現(xiàn)鏡面面形隨著柔性的增加而變好，這些數(shù)據(jù)的可視化顯示如圖4、5所示。圖中，分別為單位基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移鏡面RMS變化量、單位基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移鏡面PV變化量。從圖4中可以看出，相對(duì)剛度比和卸載能力之間的變化規(guī)律很明顯，即卸載能力隨著相對(duì)剛度比的減小而增加。比如在工況1中，當(dāng)從6.26%減小到0.96%時(shí), 相對(duì) RMS比值從34變到1。相對(duì)RMS和PV比值隨相對(duì)剛度比的變化規(guī)律如圖4、5所示，其他的計(jì)算量如相對(duì)曲率半徑變化或者某節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位移比等都具有同樣的規(guī)律。由于3個(gè)設(shè)計(jì)的絕對(duì)剛度不同，將對(duì)相對(duì)剛度比和相對(duì)位移之間的關(guān)系產(chǎn)生影響。為了說(shuō)明在柔性元件剛度大致相同條件下兩個(gè)比值間的關(guān)系，本文采用了近似的方法，即利用了相對(duì)位移比和組件基頻的比值，對(duì)于RMS的評(píng)價(jià)結(jié)果如圖6所示，其中縱坐標(biāo)單位為1/Hz，即單位頻率變化對(duì)應(yīng)的相對(duì)變化量；為RMS相對(duì)變化量。從圖6可以看出，在剛度大致相同的情況下，相對(duì)剛度比和卸載能力之間保持同樣的規(guī)律，即隨著相對(duì)剛度比的減小，柔性元件的卸載能力增強(qiáng)。需要指出的是，圖6中在設(shè)計(jì)2有出現(xiàn)的峰點(diǎn)和利用組件的基頻代替柔性元件的基頻的差異有關(guān)。上述分析中只采用了兩個(gè)相對(duì)剛度比，在進(jìn)一步的分析中，還需要對(duì)其他幾個(gè)剛度比進(jìn)行分析，以便揭示這些數(shù)值之間的耦合關(guān)系以及對(duì)組件振動(dòng)頻率的影響。

圖4 單位基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移鏡面RMS變化量與 之間的關(guān)系Fig. 4 Relations between

圖 5 單位基礎(chǔ)強(qiáng)迫位移鏡面PV變化量與之間的關(guān)系Fig. 5 Relations between

圖 6 RMS相對(duì)變化量與間的關(guān)系Fig. 6 Relations between

5 結(jié)束語(yǔ)

Bipod類型的柔性元件是實(shí)現(xiàn)空間反射鏡準(zhǔn)靜定支撐的重要部件。本文對(duì)于Bipod柔性元件的分類方法在前期工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行了完善，然后通過(guò)引入相對(duì)剛度比和相對(duì)位移比的概念，研究了柔性元件準(zhǔn)靜定度對(duì)于卸載能力的影響。對(duì)圓形的反射鏡和 Bipod柔性元件的組件進(jìn)行了有限元分析，揭示了這些因素之間的關(guān)系，即隨著相對(duì)剛度比的減小，柔性元件的卸載能力增強(qiáng)。由于Bipod柔性元件的類型以及設(shè)計(jì)參數(shù)的多樣性，目前還難以直接建立設(shè)計(jì)參數(shù)和卸載能力之間的關(guān)系，這將是對(duì)Bipod柔性元件卸載能力深入研究的重點(diǎn)。

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