蘆琴，張瑞雪

（1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院水利工程學(xué)院，陜西楊凌 712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水工程安全與病害防治研究中心，陜西楊凌 712100；3.河北大學(xué)建筑工程學(xué)院，河北保定 071002）

在凍土的力學(xué)特性中強(qiáng)度是最主要的一項(xiàng)研究內(nèi)容.目前國內(nèi)外已建立了不少有關(guān)凍土的力學(xué)模型，但以復(fù)合材料力學(xué)機(jī)理為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行研究的較少，文獻(xiàn)［1－6］的研究成果為建立凍土本構(gòu)模型奠定了一定的理論基礎(chǔ)，但為了更進(jìn)一步掌握凍土力學(xué)特性實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，同時(shí)，避免Mori－Tanaka夾雜理論［7］分析的麻煩，基于以上研究基礎(chǔ)，應(yīng)用復(fù)合材料力學(xué)中的Sevostianov夾雜理論模型［8］，給出了凍土的橫觀各向同性本構(gòu)模型及不同含冰率的凍土的彈性本構(gòu)與溫度和含冰率關(guān)系.

1 Sevostianov夾雜理論模型

對(duì)于含冰率低的凍土，可以看成是各向同性土粒夾雜冰顆粒的復(fù)合材料.Sevostianov［7］理論和Mori－Tan［8］模型都可以處理這類問題，本文主要參考Sevostianov夾雜理論.將用于描述單個(gè)夾雜體剛度分布張量N（分量形式為Nijkl定義為

其中表示構(gòu)成基體物的剛度張量（其逆為），εkl表示遠(yuǎn)場應(yīng)變張量，張量Nijkl的大小取決于夾雜體的彈性特性及形狀.

利用Kunin［9］和Eshelby［10］問題的解.

假定1有橢球體形狀的夾雜體存在于各向同性的基體材料中，其在無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的均勻應(yīng)變場為，則其作用的均勻應(yīng)變?yōu)?/p>

其中

J為四階單位張量為夾雜體內(nèi)材料的剛度張量，張量P表示為

故

V為總體積，V＊為夾雜體體積.

基于圖1所示的N與m的表達(dá)式關(guān)系，把式（5）寫為

其中G0為基體材料的剪切模量.

圖1 夾雜體軸向mFig.1 Axial symmetric inclusion with axial direction m

由上述分析研究可得N的表達(dá)式

其中夾雜材料的平均方向

m和分別表示第k個(gè)夾雜體的對(duì)稱軸單位矢量和體積.

由此可得

2 橫觀各向同性凍土彈性模型

根據(jù)文獻(xiàn)［11－14］的研究內(nèi)容可知，凍土的力學(xué)特性與凍結(jié)溫度、材質(zhì)的密度、水分飽和程度、土質(zhì)特點(diǎn)、凍結(jié)快慢、凍結(jié)方向等因素有關(guān)系，要精確計(jì)算很困難，傳統(tǒng)方法存在應(yīng)用不變、理論基礎(chǔ)不足的缺點(diǎn)，針對(duì)上述問題，本文根據(jù)相關(guān)力學(xué)原理先明確主要力學(xué)特性參數(shù)的取值區(qū)域及規(guī)律，結(jié)合影響因素和實(shí)驗(yàn)確定其大小.根據(jù)文獻(xiàn)［4］中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將含冰率低的凍土看成是橫觀各向同性固體介質(zhì).因此作如下假定：

假定2各向同性土顆粒材料中夾雜的冰顆粒在回轉(zhuǎn)軸方向上互相平行為各向同性材料，如圖2所示.

圖2 凍土組構(gòu)坐標(biāo)Fig.2 Coordinates system of frozen soil

根據(jù)以上假設(shè)，式（9）可寫為

其中M＝m?m.

假定取凍土代表體元，令z－軸為此體元的回轉(zhuǎn)軸，材料在x－y面內(nèi)呈各向同性.此時(shí)，m＝［0 0 1］.將M和I拉伸為一維矢量［15］如下：

對(duì)四階張量的拉伸結(jié)果

將式（10）改寫成

則由式（12），（13）得

d1，d2，d3和d4通常是凍土微結(jié)構(gòu)及外部環(huán)境因素（如土質(zhì)、溫度、含冰率、密度等）的函數(shù).

d1和d2分別反映土體對(duì)凍土拉壓剛度和剪切剛度的貢獻(xiàn)；d3和d4分別反映了冰晶體對(duì)凍土拉壓剛度和剪切剛度的貢獻(xiàn).

這就是橫觀各向同性凍土的彈性本構(gòu)模型.

3 結(jié)論

理論及實(shí)驗(yàn)分析說明：基土顆粒的剛度、冰晶體含冰量與凍土的剛度均成正比；夾雜體的剛度總量與凍土的剛度正相關(guān)；凍結(jié)溫度使凍土中土顆粒的抗壓、剪切剛度貢獻(xiàn)增強(qiáng)，使冰晶體的抗壓剛度貢獻(xiàn)增強(qiáng)，剪切剛度貢獻(xiàn)降低.

由以上分析可見，本文基于Sevostianov夾雜理論及凍土的組構(gòu)特性推導(dǎo)出的橫觀各向同性彈性凍土模型理論依據(jù)充實(shí)，形式簡單，通用性強(qiáng)，節(jié)約成本，為凍土區(qū)工程建設(shè)提供分析依據(jù).利用本計(jì)算公式結(jié)合實(shí)驗(yàn)成果，可以通過上述操作獲得某一地區(qū)凍土的彈性－溫度或含冰率的曲線方程，便于進(jìn)行凍土的理論分析和數(shù)值分析計(jì)算，為相關(guān)凍土工程建設(shè)和安全提供了一定的理論依據(jù).

［1] 王正中，袁駟，陳濤.凍土橫觀各向同性非線性本構(gòu)模型試驗(yàn)研究［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2007（8）：1215－1218.WANG Zhengzhong，YUAN Si，CHEN Tao.Study on the constitutive model of transversely isotropic frozen soil［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2007（8）：1215－1218.

［2] ARENSON L U，SPRINGMAN S M，SEGO D C.The rheology of frozen soils［J］.Applied Rheology，2007，17（1）：12147.

［3] 寧建國，王慧，朱志武，等.基于細(xì)觀力學(xué)方法的凍土本構(gòu)模型研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，25（10）：847－851.NING Jianguo，WANG Hui，ZHU Zhiwu，et al.Investigation of the constitutive model of frozen soil based on Meso－Mechanics［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2005，25（10）：847－851.

［4] 王正中，牟聲遠(yuǎn)，牛永紅.橫觀各向同性凍土彈性常數(shù)及強(qiáng)度預(yù)測［J］.巖土力學(xué)，2008（S1）：475－480.WANG Zhengzhong，MU Shengyuan，NIU Yonghong.Predictions of elastic constants and strength of transverse isotropic frozen soil［J］.Rock and Soil Mechanics，2008（S1）：475－480.

［5] 寧建國，朱志武.含損傷的凍土本構(gòu)模型及耦合問題數(shù)值分析［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39（1）70－76.NING Jianguo，ZHU Zhiwu.Constitutive model of frozen soil with damage and numerical simulation of the coupled problem［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2007，39（1）：70－76.

［6] 王正中，沙際德，蔣允靜，等.正交各向異性凍土與建筑物相互作用的非線性有限元分析［J］.土木工程學(xué)報(bào)，1999（3）：45－49.WANG Zhengzhong，SHA Jide，JIANG Yunjing，et al.Nonlinear finite element analysis of interaction of orthotropic frozen ground and construction［J］.Journal of China Civil Engineering，1999（3）：45－49.

［7] SEVOSTIANOV I，KACHANOV M.Explicit cross－property correlations for anisotropic two－phase composite materials［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2002，50：253－282.

［8] MORI T，TANAKA K.Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions［J］.Acta Met，1973，21：571－574.

［9] KUNIN I A，SOSNINA E G.Ellipsoidal inhomogeneity in the elastic medium［J］.Sov Phys Dokl，1971，16：571－574.

［10] ESHELBY J D.The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems［J］.Proc Roc Soc，1957，A241：376－396.

［11] GRAHAM J，AU V C S.Effects of freeze－thaw and softening on a natural clay at low stresses［J］.Canadian Geotechnical Journal，1985，22（1）：69－78.

［12] KONRAD J M，DUQUENNOI C.A model for water transport and ice lensing in freezing soils［J］.Water Resources Research，1993，29（9）：3109－3124.

［13] LUNARDINI V J.Heat transfer with freezing and thawing［M］.Tokey：Elsevier，1991.

［14] PAFAHL DENNIS E.Frost action［M］.Oxford：ASCE，1996.

［15] 史姣，王正中，蔡坤.張量分析中簡化記法在公式推導(dǎo)中的應(yīng)用及張量分量的計(jì)算［J］.工程力學(xué)，2006，23（10）：45－48.SHI Jiao，WANG Zhengzhong，CAI Kun.Application of laconic notations in formula derivation and calculation of components in tensor analysis［J］.Engineering Mechanics，2006，3（10）：45－48.