羅峻

近年中考對“反比例函數(shù)”板塊的考查力度有所增加，出現(xiàn)了不少新穎獨到、構(gòu)思巧妙、綜合性強的中考試題. 要解答這類題目，須聯(lián)系相關(guān)知識點及反比例函數(shù)的性質(zhì)，還需運用數(shù)形結(jié)合和等積變換的思想，進行具體分析.下面以武漢市中考題為例，談?wù)勥@類題的解答方法.

例1 （2012年湖北武漢中考題） 如圖1，點A在雙曲線y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸于點B，點C在x軸正半軸上，且OC=2AB，點E在線段AC上，且AE=3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為3，則k的值為 .

圖1

分析：反比例函數(shù)y=的一個重要性質(zhì)是：比例系數(shù)k=xy.解決問題時，常常利用這個結(jié)論作出輔助線：過反比例函數(shù)圖象上的點作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂線段與橫、縱坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為k.也可以圍繞反比例函數(shù)的 k不變性，將題目中不明顯的條件逐步轉(zhuǎn)化，慢慢向這一性質(zhì)靠攏，使之能利用這一性質(zhì)解題.在這個過程中，往往通過面積作為橋梁實現(xiàn)未知與已知之間的轉(zhuǎn)化.再看本題，已知的重要條件有“點A在反比例函數(shù)的圖象上，點D為OB的中點，AE=3EC”等，將它們綜合考慮，聯(lián)系不同的知識點和基本圖形，便能產(chǎn)生不同的解題方向和解題方法，從而培養(yǎng)思維的開闊性和靈活性，起到整合知識、訓(xùn)練思維的目的.

解法1：面積的割補法

如圖2，連接DC.

觀察到△ADE和△CDE的底在同一直線AC上，且高相等，由AE=3EC，△ADE的面積為3，易知△CDE的面積為1，那么△ACD的面積為4.設(shè)點A（a，b），則AB=a，OC=2AB=2a.又點D為BO的中點，則BD=OD=b. 再根據(jù)梯形ABOC的面積為△ABD、△ADC和△DOC的面積之和，所以（a+2a）·b=a·b+4+×2a·b，解得ab=.又點A 在雙曲線y=上，則k=ab=.

點評：由已知條件AE=3EC，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含著有聯(lián)系的兩個三角形，即△ADE和△CDE的面積之比等于兩底之比，這樣可以很順利地作出輔助線.通過設(shè)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)，表示出有關(guān)線段，以面積為橋梁建立方程，使問題得以解決，這也是我們最易想到的一種求解通法.

解法2：利用中點，構(gòu)造全等三角形

如圖3，延長AD交x軸的負半軸于點F，連接EF.

圖3

由D為OB的中點，易證△ABD≌△FOD（ASA），則AD=DF，△ADE的面積與△DEF的面積相等且都為3，所以△AEF的面積為6 .

又AE∶EC=3∶1，則S△AEF∶S△CEF=AE∶EC=3∶1=6∶2，即S△CEF=2.所以S梯形ABOC=S△ACF=8.設(shè)A（a，b），則（a+2a）·b=8，解得ab=，即k=ab=.

點評：連接與中點有關(guān)的線段構(gòu)造全等三角形也是梯形中常見的輔助線，這樣梯形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個三角形（即△ACF）的面積.本解法反復(fù)運用同高的三角形的面積之比等于兩底之比，將面積的求法發(fā)揮得淋漓盡致，實現(xiàn)了識圖與轉(zhuǎn)化能力的突破.

解法3：運用坐標(biāo)系中三角形的面積公式

如圖4，分別過點D、E作x軸的平行線，交點分別為F、G.

圖4

由于D點為BO的中點，由DF∥AB∥x 軸知，點F平分AC.又AE=3EC，則E是FC的中點.

又由EG∥DF∥x軸，得G為OD中點，故DF、GE分別為梯形ABOC、梯形DFCO的中位線.

設(shè)A （a，b），則DF=（AB+CO）=a.又yA=b，yE=b，則yA-yE=BG=b.由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積公式S=×水平寬×鉛垂高，得S△ADE=DF·BG=×a·b=3，即ab=. 因此k=ab=.

點評：近年來中考出現(xiàn)的一類平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積計算問題，愈演愈烈，由此歸納出：三角形的面積公式S=×水平寬×鉛垂高.本題正是基于這樣的背景之下，想到運用此公式解題，為求解三角形面積問題添上了濃抹重彩的一筆.

例2 （2011年湖北武漢中考題）如圖5，？荀ABCD的頂點A，B的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（0，-2），頂點C，D在雙曲線y=上，邊AD交y軸于點E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，則k= .

圖5

分析：要求出k值，須求出點C或點D的坐標(biāo)，即求出點C或點D到坐標(biāo)軸的距離.這需聯(lián)系條件“四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍”和“AB、CD互相平行且相等”及結(jié)論“反比例函數(shù)的比例系數(shù)k為一常數(shù)”，三者有機結(jié)合，綜合分析與思考.

方法1：面積轉(zhuǎn)換法

注意到E是平行四邊形邊上一點，則△BCE的面積始終是平行四邊形面積的一半，而△BCE與△ABE有公共邊BE，這樣可以根據(jù)面積之間的關(guān)系構(gòu)造方程，求出C點的橫坐標(biāo)，為解題帶來突破口.

解：如圖6，由條件“四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍”知，？荀ABCD的面積是△ABE面積的6倍.而E為？荀ABCD邊上一點，連接CE，則S△BCE=S？荀ABCD=3S△ABE.又△BCE與△ABE有公共邊BE，S△BCE=·BE·xc， S△ABE=·BE·AO.

∴·BE·xc=3×（·BE·AO）.又AO=1 ， ∴xc=3.

由點C在雙曲線y=的圖象上，設(shè)點C的坐標(biāo)為（3，），分別過C、D兩點作y軸、x軸的平行線交于點H，則DH⊥CH.

由DH∥AO，知∠HDC+∠EDC +∠EAO=180°① .

由CD∥AB，知∠BAO+∠EDC +∠EAO=180°②.

結(jié)合①、②得∠HDC=∠BAO.

又AB=CD，

則△ABO≌△DCH（AAS）.

∴DH=AO=1，CH=OB=2.

又C為（3，），因此點D為 （2，+2）.

而點C在反比例函數(shù)圖象上，由反比例函數(shù)系數(shù)的不變性，得2（+2）=k.

解得k=12.

點評：連接CE后，便出現(xiàn)基本結(jié)論：“連接平行四邊形邊上的點與對邊兩端點所成的三角形的面積是原平行四邊形面積的一半”，正是這個結(jié)論的運用，為解題起承上啟下的作用.

方法2：比例線段法

注意到△ABE和梯形EBCD都在同一直線上，且高相等，根據(jù)題設(shè)的面積關(guān)系可求出線段AE和DE的長度之比，再過點D作出平行于x軸的平行線，出現(xiàn)比例線段，易求出點D的橫坐標(biāo)，為解題帶來曙光.

解：如圖7，設(shè)AD與BC之間的距離為h，則S△ABE=AE·h，S梯形BCDE =（DE+BC）·h.

由條件“四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍”知，（DE+BC）h=5×AE·h

又BC=AD=AE+DE ， DE+AE+DE=5AE ，∴DE=2AE.

圖7

過D點作DM⊥y軸于M，

由DM∥AO，知=，

∴DM=2AO=2.

因此D點的橫坐標(biāo)為2.設(shè)D點的坐標(biāo)為（2，b）.

同方法一，過C、D作y軸、x軸的平行線交于點H，

易知△ABO≌△DCH（AAS）， ∴DH=AO=1，CH=OB=2，

那么點C的坐標(biāo)為（3，b-2）.

又點C、D均在y=的圖象上，

由反比例函數(shù)系數(shù)k的不變性可得2b= 3（b-2），解得b=6.

∴k=2b=12.

點評：？荀ABCD可看成是三角形與梯形的和，這兩個圖形有一條邊均在同一直線上，且它們有公共高.由面積關(guān)系，則相關(guān)的線段的比值可求出.再根據(jù)平行線及平移的知識可實現(xiàn)有效解題.

方法3：中心對稱法

由AB∥CD，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)“對邊相等，對角相等”，過點D作BE的平行線，這樣又出現(xiàn)一個新的平行四邊形BEDF，有△ABE≌△CDF，再結(jié)合面積關(guān)系求出點D的橫坐標(biāo).

解：如圖8，過點D作DF∥BE交BC于F，易知四邊形DEBF為平行四邊形，則DE=BF，從而有AE=CF，

又∠DCF=∠EAB， CD=AB ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）.

又四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，

∴？荀DEBF的面積是△ABE面積的4倍.

而？荀DEBF與△ABE有公共邊BE，AO為△ABE中BE邊上的高，因此可以求出D點的橫坐標(biāo).

設(shè)點D（a，b），則BE·a=4×BE·AO，

又 AO=1，∴a=2.即點D為（2，b）.

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，知C到DF的距離CH=AO=1，而DH=BO=2，

那么點C的坐標(biāo)為（3，b-2）.

而C、D均在反比例函數(shù)y=的圖象上，則2b= 3（b-2），解得b=6 . ∴k=2b=12..

點評：平行四邊形是中心對稱圖形，通過添加平行線得到另一個平行四邊形，運用中心對稱的性質(zhì)便可實現(xiàn)求解.

從上面兩例的解答可看出，有些中考填空題（或選擇題）看似雖小，但實質(zhì)蘊含的知識點多，綜合性強，要解決它們，須掌握扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，對題設(shè)和圖形進行綜合分析，并結(jié)合已有的知識逐步轉(zhuǎn)化，最終實現(xiàn)解題.這啟示我們，在平時的學(xué)習(xí)中，不能因題小而不屑一顧，應(yīng)重視這些“小題”，盡量從不同角度去分析、探究，以溝通各個知識點的聯(lián)系，實現(xiàn)融會貫通，發(fā)展創(chuàng)新思維與探究能力，從而使我們的解題能力得以提高.