王瑞琴 宮箭 武建英 陳軍

(內(nèi)蒙古大學物理科學與技術(shù)學院,呼和浩特 010021)

(2012年11月8日收到;2012年12月13日收到修改稿)

1 引言

近些年來,隨著自旋電子學[1]這一概念被提出,電子自旋自由度的開發(fā)利用受到了普遍關(guān)注,其在量子計算、自旋電子器件等方面良好的應用前景和可觀的商業(yè)價值,激發(fā)了人們卓有成效的研究,不少由自旋極化流調(diào)控的概念性量子器件被相繼提出：如自旋場效應管、共振隧穿二極管[2]、自旋發(fā)光二極管及最近提出的門電壓調(diào)制的共振隧穿三極管(RT-FET)[3]等.特別地,人們對自旋電子學的核心問題,即自旋注入問題,從理論上和實驗上做了廣泛而成功的研究.然而,由于電導率的不匹配,從鐵磁金屬到非磁半導體的自旋注入效率極低[4].隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)非磁半導體本身就可以作為自旋過濾器[5,6],這是由于自旋軌道耦合(SOC)效應使電子本征能級的自旋簡并消除,進而形成電子的自旋極化隧穿現(xiàn)象,其為自旋極化電子的產(chǎn)生、注入和探測提供了新的可能性.而電子的自旋極化是由結(jié)構(gòu)非對稱所致的Rashba SOC效應[5,7,8]和材料中心反演非對稱所致的k3Dresselhaus SOC效應所導致的[6,9,10].其中,引起Rashba SOC效應的結(jié)構(gòu)非對稱條件可由外加電場或材料生長條件來控制,導致k3Dresselhaus SOC效應的中心反演非對稱條件可由III-V半導體的閃鋅礦(或II-VI族纖鋅礦)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn).

有關(guān)Rashba SOC效應導致的自旋極化隧穿的研究較早.1998年,Voskoboynikov等[5]研究了III-V族半導體非對稱單勢壘中電子的自旋極化隧穿問題,結(jié)果發(fā)現(xiàn),即使在沒有外加磁場的情況下,電子隧穿的透射系數(shù)也能夠出現(xiàn)自旋極化.2000年,Voskoboynikov等[7]又研究了非對稱雙勢壘共振隧穿結(jié)構(gòu)中的自旋極化輸運問題,2002年Koga等[8]也研究了非對稱三勢壘共振隧穿結(jié)構(gòu)中的自旋極化輸運,研究結(jié)果均表明：在非對稱共振隧穿結(jié)構(gòu)中,Rashba SOC效應導致了顯著的共振透射峰的自旋劈裂.然而這種效應在對稱結(jié)構(gòu)中并不引起電子隧穿的自旋極化.2003年,Perel等[6]提出,由于一種新的機制——Dresselhaus SOC,電子在單勢壘中透射也可以產(chǎn)生依賴于自旋的極化隧穿,他們研究的由GaSb生長而成的單勢壘的自旋極化率可達20%.計入這種效應,2005年,Glazov等[9]又研究了對稱雙勢壘共振隧穿二極管中的自旋極化共振隧穿問題,并考察了平面電流與極化電流間的關(guān)系.

另一方面,電子輸運過程中的隧穿時間是描述量子器件動態(tài)工作范圍的重要指標.電子在指定空間中的隧穿時間問題很早就被提了出來,直到現(xiàn)在才引起人們的普遍關(guān)注.一直以來,有關(guān)隧穿輸運時間的描述不一,人們從不同的角度嘗試給出了不同的定義,常見的有渡越時間(traversal time)、居留時間(dwell time)、構(gòu)建時間(build-up time)、隧穿壽命(lifetime)等等.最近人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn),當計及k3Dresselhaus SOC,電子的共振隧穿特性在時間域內(nèi)出現(xiàn)了顯著的自旋極化[11-13].2006年,Li和Guo[11]研究了Dresselhaus SOC對雙勢壘結(jié)構(gòu)中電子居留時間的影響,結(jié)果表明：當平面波矢不為零時,電子的共振透射峰在時間域內(nèi)亦出現(xiàn)了自旋劈裂;自旋向上和自旋向下電子的居留時間的差別隨著平面波矢的增大而增大.另外,他們還指出,結(jié)構(gòu)的非對稱和外加電場并不會改變共振特性,只會使共振能級發(fā)生移動和峰值變小.2007年,Gong等[13]研究了外加偏壓下對稱雙勢壘結(jié)構(gòu)中電子自旋極化輸運的動力學問題,由于Dresselhaus SOC效應,自旋取向不同的電子隧穿壽命不同,電子在時間域內(nèi)出現(xiàn)了自旋極化.文中還指出,當取入射能量為不同自旋電子共振能級附近的值時,可以得到符號相反的極化率,經(jīng)歷一定時間以后,兩種情況都達到穩(wěn)定的完全極化.這與共振情形類似,但非共振態(tài)隧穿較早地在時間范圍內(nèi)出現(xiàn)了自旋極化.2008年,Peter[14]和Radovanovic等[15]結(jié)合考慮了Rashba SOC與Dresselhaus SOC對電子自旋極化共振隧穿的影響,他們均指出,如果參數(shù)選取合適,計入兩種SOC后,Rashba項與Dresselhaus項互相修正,電子的自旋極化顯著增強.另外,Sheng和Chang[16]在同時考慮Rashba與Dresselhaus SOC后,發(fā)現(xiàn)兩者之間的競爭會導致平面內(nèi)的各向異性,產(chǎn)生一個有效的周期勢,這個周期勢導致了能譜上的差異.同時消弱了固有電流和自旋流的震蕩,電荷密度和局域自旋的方向也因此被局限在沿著量子線的方向上.

本文討論了對稱性雙勢壘結(jié)構(gòu)AlxGa1-xSb(x=0.15/0.3/0/0.3/0.15)中電子自旋極化共振隧穿的透射系數(shù)等問題.考慮k3Dresselhaus SOC效應對電子哈密頓量的修正,通過解含時薛定諤方程討論了電子的隧穿壽命問題等,并在時間域內(nèi)定義了電子的自旋極化率.

2 理論模型

我們選取Dresselhaus SOC效應較強的對稱雙勢壘結(jié)構(gòu)AlxGa1-xSb(x=0.15/0.3/0/0.3/0.15)作為電子隧穿輸運的結(jié)構(gòu).其勢阱深為Vw=-200 meV,阱寬為30?A,勢壘高為Vb=230 meV,壘厚為50?A.結(jié)構(gòu)如圖1所示,材料生長方向選取為[001]的方向.

圖1 電子波包沿材料生長方向z//[001]的方向透射 勢壘高為V b=230 meV,勢阱深為V w=-200 meV;雙勢壘勢阱結(jié)構(gòu)的邊界a=-50A?,b=80A?

下面討論具有初始波矢k=(k//,kz)的電子穿透勢壘的問題.這里k//是波矢在界面方向上的分量,kz是垂直于勢壘層并指向材料生長方向的分量.系統(tǒng)哈密頓量可以寫為

其中

為k3Dresselhaus SOC項對哈密頓的貢獻[17],其中,γ是SOC強度,m?i為電子在各層中的有效質(zhì)量,V(z)是電子在異質(zhì)結(jié)材料中感受到的勢能,σα(α=x,y,z)是泡利矩陣,坐標軸x,y,z分別平行于晶包邊矢量[100],[010],[001].

假設入射電子能量遠遠小于勢壘高和勢阱深[6,8],則k3Dresselhaus項可簡化為

不同取向的電子自旋本征態(tài)可以表示為

Dresselhaus SOC項可在自旋表象中對角化,式中σ=“±”分別表示自旋向上和自旋向下(下同),φ是波矢k在xy平面的極角,k//=k//(cosφ,sinφ).注意到,相應于本征態(tài)“±”的電子自旋依賴于平面

波矢k//

在自旋表象中電子的有效哈密頓為

其中修正后的有效質(zhì)量為

為研究電子自旋極化隧穿的動力學問題,給出一般形式的含時薛定諤方程：

上式可以通過數(shù)值方法求解[18-20].

電子含時波函數(shù)可以表示為

將(9)式代入(8)式,將求解三維含時薛定諤方程問題轉(zhuǎn)化為一個一維問題

采用分離變量法,將ψσ(z,k,t)分成

將其代入(10)式,可以得到

及一維定態(tài)薛定諤方程

其中,Ezσ為不同自旋電子在z方向的能量.則電子在t時刻的含時波函數(shù)可以通過按與時間無關(guān)的本征函數(shù)φσ(z,k)做展開得到[21]

其中e-i Ezσt/hˉ項反映了波函數(shù)隨時間的演化,Ezσ為電子的初始動能.

方程(13)的解φσ(z,k)可結(jié)合轉(zhuǎn)移矩陣方法和數(shù)值計算方法得到.我們將結(jié)構(gòu)分為三個區(qū)域[22]：入射層1區(qū)(z＜a=-50),雙勢壘量子阱2區(qū)(a≤z≤b),接收層3區(qū)(z＞b=80).三個區(qū)域中的定態(tài)電子波函數(shù)φσ(z,k)分別為

其中

當考慮SOC時,流連續(xù)中流算子的形式將發(fā)生改變[23].本文主要考慮瞬態(tài)問題,根據(jù)文獻[6,9,11],忽略了流算子中的非對角項,進而考慮φiσ(z,k)與在界面處連續(xù)[24],在轉(zhuǎn)移矩陣方法下,(15)式中波函數(shù)的振幅滿足：

以及

利用 (17),(18)式得到系數(shù) A1σ,B1σ,A2σ,B2σ,A3σ.透射系數(shù)Tσ可定義為

利用自旋向上電子和自旋向下電子透射系數(shù)的不同,可以定義極化率P(Ez)為[25]

以描述電子穿過此結(jié)構(gòu)得到某種自旋極化的可能性.

利用以上結(jié)果我們可以得到各個區(qū)域中的未歸一化的波函數(shù)

這里,我們?nèi)3σ=0.

用yσ代替 (13)式中的 fσ(z)和gσ(z),其滿足一維定態(tài)薛定諤方程：

從上式可得

利用龍格-庫塔法方法可以得到上式中的xσ,yσ,即 fσ(z)及 gσ(z).

(14)式中的Fourier展開系數(shù)滿足Cσ(k)：

其中,ψσ(z,k,0)是t=0時刻的波包函數(shù),可近似取為Gauss波包：

其中,z0代表初始時刻不同自旋電子波包的平均位置,k0是初始時刻波包的平均波矢,δ是初始波包的標準偏差.由上式我們可以知道,z＞a時,ψσ(z,k,0)=0.

由此,Cσ(k)可以簡化成

將(25)式代入上式可得展開系數(shù)Cσ(k)的解析形式：

這里,δk是初始波包相對于波矢的標準偏差,對波包有主要貢獻的波矢k的取值范圍為[k0-5/δ,k0+5/δ].注意到,這里的標準偏差δk是在入射波包與雙勢壘的散射時間遠遠小于其壽命的情況下選取的.

隧穿壽命τ是電子在雙勢壘量子阱結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)概率ρ的指數(shù)衰減時間,計入k3DresselhausSOC效應后,我們發(fā)現(xiàn)所測到的電子壽命是依賴于自旋的：

上式包含了共振極化隧穿的時間特性的重要信息.正如Guo等[19]指出,這個依賴于自旋的概率隨時間先增加后減小,經(jīng)過一段構(gòu)建時間tb達到最大值,然后指數(shù)衰減.對于衰減部分可用下式擬合,以得到不同自旋電子的隧穿壽命：

這里ρ0是擬合值,自旋向上和自旋向下可取為相同.注意到,出現(xiàn)在勢阱中的概率形狀連續(xù)且隨著時間指數(shù)衰減.這點暗示我們,不需要像(28)式那樣在整個接收層內(nèi)對波函數(shù)積分,而只需取一個點就可以計算出電子隧穿壽命：

這里ψ0是擬合值;zq是所選位置,可被選定在30A?處,即積分范圍選取為勢阱區(qū)域.

考慮到不同自旋電子的構(gòu)建時間和衰減時間的不同,自旋極化率也可以定義如下：

上式可以用來描述在指定區(qū)域中找到不同自旋電子的相對概率隨時間和入射能量的變化關(guān)系.

3 結(jié)果與討論

我們數(shù)值上討論了如圖1所示的對稱雙勢壘結(jié)構(gòu)中的自旋極化隧穿問題.在計算中假定各層中電子的有效質(zhì)量均為mσ?,物質(zhì)常數(shù)均為γ.

圖2不同自旋電子在結(jié)構(gòu)Al x Ga1-x Sb(x=0.15/0.3/0/0.3/0.15)中的透射系數(shù)與自旋極化率隨縱向入射能量的函數(shù)關(guān)系,m?i=0.053m0,γ=76 eV·A? 3,其中 “+”,“-”分別代表自旋向上和自旋向下(a)k//=0A?-1;(b)k//=0.01A?-1;(c)k//=0.02A?-1

圖2 中(a),(b),(c)三圖是在(19)和(20)式的基礎上計算得到的不同k//取值時,透射系數(shù)與自旋極化率對入射能量的函數(shù)關(guān)系.首先,對比圖2(a),(b),(c)三圖可以看到：當k///=0時,自旋向上和自旋向下電子的共振透射峰發(fā)生了明顯的自旋劈裂.說明由于k3Dresselhaus SOC效應,不同自旋電子在阱內(nèi)的束縛能級發(fā)生自旋劈裂,并且這種劈裂隨著電子平面波矢的增加而增大.從圖2(c)中可以清楚地看到,對于自旋向上和自旋向下電子,初始z方向能量分別在7.80和3.94 meV位置出現(xiàn)共振峰.

另一方面,當k///=0時,從圖2(b),(c)可以看到自旋極化率在整個縱向入射能量范圍內(nèi)是變化的.當入射電子縱向能量為3.94 meV時,即為阱內(nèi)自旋向下電子的共振能級時,自旋極化率為-100%;當入射電子縱向能量為7.80 meV時,即為阱內(nèi)自旋向上電子的共振能級時,自旋極化率為100%.這就表明,隨著電子縱向能量的增加,電子將從一種自旋取向的極化反轉(zhuǎn)成為另一種自旋取向的極化.在實驗上可以通過調(diào)整電子平面波矢來控制自旋極化.

圖3 自旋向下、自旋向上電子分別以最低共振態(tài)能量E10=3.94 meV和E20=7.80 meV作為其初始入射能量時,出現(xiàn)在勢阱中的概率隨時間的變化關(guān)系

基于(29)式,圖3給出了不同自旋取向電子在勢阱中出現(xiàn)的概率隨時間的變化關(guān)系.對于自旋向下和自旋向上的電子波包,分別選取最低共振態(tài)能量E10=3.94 meV和E20=7.80 meV作為其初始入射能量.從圖3中可以看到,僅有近24%的波包振幅可以進入到勢阱中.這說明,即使在共振態(tài),電子波包在隧穿過程中仍受到較強的反射作用.其根本原因是在一定能量范圍內(nèi)電子波包含有很大的非共振態(tài)分量.另一方面,從圖中還可以看到,電子波包的概率密度隨時間先增大后指數(shù)衰減,達到最大值所用的時間為構(gòu)建時間,之后衰減所用的時間為隧穿壽命,也為電子從阱區(qū)的逃逸時間.而且,由于電子的初始速度選取不同,自旋向下電子比自旋向上電子經(jīng)歷更長的構(gòu)建時間tb后才到達勢阱中.

通過擬合衰減部分為指數(shù)函數(shù),可以得到不同自旋態(tài)電子的隧穿壽命,自旋向下電子的隧穿壽命τ-是1.554 ps,自旋向上電子的隧穿壽命τ+是0.960 ps.這個結(jié)論同不確定性原理計算的τσ=ˉh/(2Δεσ)一致.這里Δεσ是不同自旋電子共振隧穿峰的半高寬.從我們的結(jié)果發(fā)現(xiàn),在共振條件下,自旋向上和自旋向下電子的構(gòu)建時間和逃逸時間不同,可能是造成自旋極化的原因.

圖4 電子波包在不同自旋電子的共振能級下入射時,通過此雙勢壘量子阱結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的自旋極化率隨時間的變化關(guān)系 (a)E10=3.94 meV為自旋向下電子的最低共振能量;(b)E20=7.80 meV為自旋向上電子的最低共振能量

利用(31)式也可以得到電子在自旋向下和自旋向上基態(tài)共振能量下入射時極化率隨時間的變化關(guān)系.圖4(a),(b)分別是當電子縱向能量取3.94和7.80 meV時,在阱內(nèi)電子極化率隨時間的變化關(guān)系.這兩個能量分別為對應自旋向下和自旋向上電子的共振態(tài)能級.從兩圖中可以看到,電子以不同自旋電子的共振能量作為初始入射能量時,可以得到符號相反的自旋極化率,即穿過此結(jié)構(gòu)時取相應入射能量的自旋態(tài).當經(jīng)歷一定時間以后,兩種情況都達到穩(wěn)定的完全極化.Gong等[13]已指出對于非共振態(tài)隧穿,在取入射能量為不同自旋電子共振能級附近的值時可以得到類似趨勢的曲線,但較共振態(tài)隧穿,非共振態(tài)隧穿較早地在時間范圍內(nèi)出現(xiàn)了自旋極化.

4 結(jié)論

本文研究了對稱性雙勢壘結(jié)構(gòu)AlxGa1-xSb(x=0.15/0.3/0/0.3/0.15)中電子的自旋極化隧穿問題.研究發(fā)現(xiàn),平面波矢非零時,由于k3Dresselhaus SOC效應,自旋向上和自旋向下電子的共振透射峰發(fā)生了明顯的自旋劈裂.相應地,二者在阱內(nèi)的束縛能級也發(fā)生劈裂,并且這種劈裂隨著電子平面波矢的增加而增大.

對于自旋向上和自旋向下電子,當初始z方向動能為各自共振能量時出現(xiàn)共振峰;并且當入射電子縱向能量為阱內(nèi)自旋向下或自旋向上電子的共振能級時,自旋極化率為-100%或100%,即達到完全極化.這就表明,隨著電子縱向能量的增加,系統(tǒng)將從一種自旋取向的極化反轉(zhuǎn)成為另一種自旋取向的極化.

另一方面,在共振條件下,自旋向上和自旋向下電子的構(gòu)建時間和逃逸時間不同,這可能是造成自旋極化的原因.以不同自旋電子的共振能級作為初始入射能量時,可以得到符號相反的極化率,即穿過此結(jié)構(gòu)的電子取相應入射能量的自旋態(tài).當經(jīng)歷一定時間以后,兩種情況都達到穩(wěn)定的完全極化.在實驗上,我們可以通過調(diào)制電子平面波矢來控制電子自旋極化的產(chǎn)生.

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